Les inéquations

Si l’on fait passer tous les termes contenant l’inconnue « x » dans le premier membre et tous les autres dans le second, on obtient une inéquation de la forme :

a x > b ou a x < b

« a » et « b » étant des données.

Leur résolution est immédiate.

Soit par exemple la première inéquation : a x > b

1°) si a > 0 ; x >

2°) si a < 0 ; x <

3°) si a = 0

Remarque : Si une inéquation du premier degré renferme des paramètres, on sera en général amené à distinguer plusieurs cas , car , suivant les valeurs des paramètres , le coefficient « a » de l’inconnue sera positif , négatif ou nul et , dans chacun de ces ca, on a un résultat différent .

Exemple I : Résoudre l’inéquation :

Chassons les dénominateurs. On obtient :

3 ( 3x +5) < 2 ( 5x - 2 ) - ( 4x -1)

9 x + 15 < 6x - 3

3x < - 18

x < - 6

Exemple II Résoudre l’inéquation : m ( x + 2) + 2 x > 3 ( 3x - 5 )

« m » étant un paramètre et « x » l’inconnue..

Cette inéquation est équivalente à :

m x + 2m + 2x > 9x - 15

1°) Si m > 7 , on peut diviser les deux membres par m - 7 qui est positif et on obtient :

x >

ce qui peut s’écrire : x >

2°) Si m < 7 , on peut encore diviser les deux membres par « m-7 » qui est négatif, mais il faut changer le sens de l’inéquation, ce qui donne :

x <

3°) Si m = 7, l’inéquation s’écrit 0 × x > 14 - 15

Elle est donc toujours satisfaite.

c) Inéquation a une inconnue dont la résolution se ramène à celle d’inéquation du premier degré.

I) Inéquations entières : nous avons vu dans le « chapitre « C » @ des équations » que pour résoudre une équation entière on fait passer les termes dans un même membre.

L’équation étant ainsi mise sous la forme « P = 0 » on essaie de mettre « P » sous la forme d’un produit de facteurs.

Pour résoudre une inéquation entière on procède de façon analogue. On fait passer tous les termes dans un même membre. L’inéquation étant ainsi mise sous la forme P > 0 ou P< 0 , on essaie de mettre « P » sous la forme d’un produit de facteurs du premier degré.

Par exemple, s’il est possible de mettre « P » sous la forme d’un produit de trois facteurs du premier degré A ; B ; C l’inéquation s’écrit :

A × B × C > 0 ou A × B × C < 0

Pour résoudre cette inéquation, on étudiera les signes des différents facteurs A ; B ; C on en déduira le signe de leur produit suivant les valeurs de l’inconnue , donc les solutions de l’inéquation.

Afin de présenter les calculs plus commodément, on dispose les résultas dans un tableau.

Dans une première ligne on met les valeurs de l’inconnue « x » pour lesquelles A ; B ; C change de signe, ces valeurs étant rangées par ordre de grandeur croissante. On obtient ainsi des intervalles dans lesquels A ; B ; C ont le même signe.
Dans les lignes suivantes, on étudie les signes de A ; B ; C dans chacun des intervalles. De ces signes on déduit le signe du produit A × B × C , donc les valeurs de « x » pour lesquelles l’inéquation est satisfaite.

Exemple : Résoudre l’inéquation : ( 2x - 3 ) ² > ( 5x - 6 ) ²

Cette équation s’écrit :

( 2 x - 3 ) ² - ( 5x - 6 ) ² > 0

( 2x - 3 + 5 x - 6 ) ( 2x - 3 -5x +6 ) > 0

( 7x - 9 ) ( -3 x + 3 ) > 0

( 7 x - 9 ) ( x - 1) < 0

7x - 9 > 0 donne : 7 x > 9 c’est à dire x >

x -1 > 0 donne : x > 1

Nous mettrons donc dans le tableau les valeurs et 1 ; ce qui nous donne les résultas suivants :

x	-x	1			x
7x - 9	-		-	0	+
x - 1	-	0	+		+
(7x-9) (x-1)	+		-		+

D’où les solutions de l’inéquation : 1 < x <

D ) SIGNE DU BINOME du premier degré

Dans l’exemple précédent nous avons eu à étudier le signe de différents facteurs du premier degré.

On peut se proposer d’étudier d’une façon générale le signe d’un binôme du premier degré : y = a x + b

On peut écrire : y = a ( x )

Si x > - on a x + > 0 ; donc « y » a le signe de « a »

Si x < - on a x + < 0 ; donc « y » a le signe de « -a »

x = - s’appelle la « racine du binôme « a x+b »

Nous sommes ainsi conduits aux résultats suivants :

Définition : on appelle « racine d’un binôme du premier degré » la racine de l’équation obtenue en égalant ce binôme à zéro.

Théorème : Le binôme du premier degré « a x+b » a le signe de « a » pour les valeurs de « x » supérieures à sa racine et le signe de « -a » pour les valeurs inférieures.

Ce théorème permettra de déterminer immédiatement le signe des différents binômes du premier degré sans avoir à résoudre des inéquations, comme on l’a fait dans l’exemple précédent (Résoudre l’inéquation : ( 2x - 3 ) ² > ( 5x - 6 ) ²)

E) INEQUATION QUI RENFERMENT DES DENOMINATEURS CONTENANT L’INCONNUE.

Si une équation renferme des dénominateurs contenant l’inconnue, on ne les chasses pas. Aprés avoir fait passer tous les termes dans un même membre et réduit au même dénominateur on obtient une inéquation de la forme :

> 0 ou < 0

Le signe du quotient étant le même que celui du produit A . B ; pour résoudre ces inéquations il suffit de résoudre les inéquations :

A . B > 0 et A . B >0

On est ainsi ramené à la résolution d’une inéquation entière.

EXEMPLE 1 : Résoudre l’inéquation : < 1

Cette inéquation est équivalente à :

- 1 < 0

< 0

x	-x			2	x
6 - 3x	+		+	0	-
5x - 3	-	0	+		+
	-		+		-

D’où les solutions de l’inéquation : x < et x > 2

EXEMPLE II : Résoudre l’inéquation : < 2

Cette inéquation est équivalente à :

- 2 < 0

< 0

Pour étudier le signe du dénominateur il nous faut distinguer plusieurs cas suivant que le coefficient de « x » est positif , négatif ou nul.

D’autre part, ce signe dépend de la position du nombre « x » par rapport à la racine qui est égale à .

Quant au dénominateur, son signe dépend de la position du nombre « x » par rapport à sa racine qui est

Il faut donc savoir quelle est la plus petite de ces deux racines ; pour cela étudions le signe de leur différence.

m	-z	-9		6	z
m + 9	-	0	+		+
6 - m	+		+	0	-
	-		+		-
	<		. <		<

Finalement, nous voyons qu’il faut distinguer plusieurs cas suivant la position de « m » par rapport aux nombres « -9 » et « 6 ».

1°) m < -9

m	-z				z
Numérateur	+	0	-		-
Dénominateur	+		+	0	-
	-		+		-

2°) -9 < m < 6

m	-z				z
Numérateur	+		+	0	-
Dénominateur	-	0	+		+
	-		+		-

3°) m > 6

m	-z				z
Numérateur	-	0	+		+
Dénominateur	-		-	0	+
	+		-		+

Cas limites :

1°) m = - 9 . L’inéquation s’écrit : < 0

< 0

L’équation est toujours satisfaite .

2°) m = 6 L’inéquation s’écrit : < 0

3x - 1 < 0

x <

En résumé :

m < -9 : x < ou x >

- 9 < m < 6 : x < ou x <

m > 6 : : < x <

m = - 9 : l’inéquation est toujours satisfaite.

m = 6 : x <

@ Info +

F ) SYSTEME d’ Inéquations simultanées.

Résoudre un système d’inéquations simultanées à une inconnue, c’est trouver les valeurs de cette inconnue qui satisfont à la fois à toutes ces inéquations.

Pour résoudre un tel système , il suffit de résoudre successivement toutes les inéquations données et de conserver les solutions communes.

Pour cela, si le résultat n’est pas immédiat, il peut être commode de ranger par ordre de grandeur croissante les valeurs limites trouvées. On détermine ainsi un certain nombre d’intervalles. On barre ceux dans lesquels l’inconnue ne doit pas se trouver. Les intervalles non barrés donnent les solutions du système.

Exemple I : résoudre le système :

1^ère équation : -x > -2 c’est à dire « x < 2 »

2^ème équation - x > 2 c’est à dire x < -2

3^ème équation - 2x < 9 c’est à dire x > 4,5

Le résultat est immédiat : -4 , 5 < x < -2

Exemple II . Résoudre le système :

1^ère inéquation : (on ramène le premier membre sous forme d’un produit)

( 2x - 5)² - (5x-3)² <0

( 2x - 5 +5x -3) ( 2x -5 -5x +3) <0

(7x -8) (-3x -2) < 0

Tableau

x	-x				x
7x -8	-		-	0	+
-3x -2	+	0	-		-
(7x-8)(-3x-2)	-		+		-

Résulta : x < ou x >

2^ème Inéquation : < 1

- 1 < 0

< 0

tableau :

	-x				x
3x-2	-	0	+		+
4x-13	-		-	0	+
	+		-		+

Résultat : < x <

Rangeons les différentes valeurs trouvées par ordre de grandeur croissante et barrons (grisons) les intervalles dans lesquels « x » ne doit pas se trouver.

D’où les solution du système : < x <

Suite %º

Les systèmes d’inégalités à une inconnue

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE :

Dans une inégalité si l’on multiplie ou divise par un nombre négatif que faut – il faire impérativement ?

EVALUATION

Devoir : (corrigé dans le cours n°1 )

	Exercices	Solution :
1-	2x < 23,4
2-	-1,5 > 69
3-	3 ( x + 1 ) > - 2
4-	> 4

Série 2 :

Résoudre les inégalités suivantes :	*Rendre compte de trois façons différentes.*
a) 4 x < 10
b) - 2 x £ 5
c) 3x – 3 > 5x -5
d) 3x – 5 > x + 4
e) 2x -< x +
f) 4x + > x + 4

Série 3.

	Résoudre :	Résolution
1-a	5x - 7 "e 1
1-b	-2x + 2 < 5,7
1-c	8 ( 6x + 3) > 2x
1-d

Réponses : x "d ; x "e 1,5 ; x > ; x >

Série 3 :

a) Résoudre l’inéquation : ( 2x - 5)²< ( 5x - 3)²

b) Résoudre l’inéquation : < 1

Série 4

Résoudre les systèmes suivant :

1°) Résoudre le système :

2°) Résoudre le système

3°) Résoudre le système :

INTERDISCIPLINARITE

1°) Démontrer que la moyenne géométrique de deux nombres est toujours inférieure à la moyenne arithmétique de ces deux nombres.

2° ) Démontrer que la moyenne arithmétique de deux nombres est comprise entre ces nombres.

ACTIVITE Niveau 3^e :

(Pré requis : @ les équations du premier degré et @ les inégalités triangulaires ,et accès au corrigé)

Données :

ABC est un triangle dont les côtés ont pour mesure ( en cm).*

AB = 3x ; BC = 6 ; CA = 2x+1

Dans lequel « x » représente un nombre strictement positif.

1°) faire la figure dans le cas où « x » = 1,5

Placer [ BC ] ; puis AB = « ……… » ; CA = « …….. ».

2°) Pouvez- vous dessiner le triangle quand «x = 8 » ?

Commencer par calculer les côtés : AB = …….. ; CA = ……..

2°) Déterminer les valeurs de « x » pour lesquelles le triangle existe ( sans être aplati). Le triangle existe à condition que la longueur de chaque côté soit strictement inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

- AB < BC + CA se traduit par 3x < 6 + 2x +1 ; en transposant on obtient

3 x - 2x < 6 + 1 ; c’est à dire « x < …….»

- BC <CA + AB se traduit par 6 < …………….. ; en transposant on obtient

6 - 1< 2x + 3x ; c’est à dire « 5 < ………. »

et en divisant les deux membres par « 5 » on obtient : ……… < x

- AC < AB + BC se traduit par 2x +1 < ……………. ; en transposant on obtient

1 - 6 < ……….. ; c’est à dire « - 5 < x »

Ce qui est toujours vérifié puisque « x » est positif par hypothèse.

- En définitive le triangle existe quand 1 < x et x > 7 c’est à dire …..….. < x < ……

4°) Pour quelle valeur de « x »le périmètre du triangle est-il égal à 32 cm ?

5°) Pour quelle valeur de « x », le triangle est -il isocèle ?

- de base [ BC] ; AB = CA

- de base [ BC]

6°)

- Pour quelle valeur de « x » ; CA = 2 AB ?

- Pour quelle valeur de « x », CA = 2 BC ?

- Pour quelle valeur de « x » ; CA = AB ?

7°) Se peut -il que le double de AB soit égal au triple de AC diminué de la moitié de BC ?