Pré requis:

Régionnement et inégalité des distances (5ème)

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Système d’équation du premier degré à une inconnue

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Résolution de l’équation du premier degré à  deux inconnues

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Fonction linéaire (représentation graphique)

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Fonction affine (représentation graphique)

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ENVIRONNEMENT du dossier:           

Index     Boule verte

Objectif précédent :

1°) les inégalités…

2°) Inégalité degré 1 à une inconnue  

3°) les inégalités du premier degré à deux inconnues.

 

Objectif suivant :

1°) Présentation des résolutions des systèmes de deux équations du premier degré à 2 inconnues.

 

2°)  les systèmes  d’inégalités du premier degré à une inconnue :  Cours n°1

 

 

 Voir « les inéquations » ,cour niveau 4

 

DOSSIER : LES  INEQUATIONS du premier degré et du second degré.

Les systèmes d’équations . (niveau  IV )  

 

 

 

 

 

 

 

I ) L’  INEQUATION DU PREMIER DEGRE  A UNE INCONNUE ( définition ;  résoudre t méthode de résolution ;….)

 

Retour au cours.

(non inclus dans cette leçon mais à consulter) II )   L’inéquation du premier degré à  2 inconnues .

 

 

III ) L’  INEQUATIONS DU SECOND  DEGRE A UNE INCONNUE.

 

 

IV ) Les   SYSTEMES De 2 INEQUATIONS du premier degré à  1   INCONNUES

 

 

V ) Les   SYSTEMES De 2 INEQUATIONS du premier degré  à  2  INCONNUES

 

Aller au cours !!!.

(non inclus dans cette leçon mais à consulter) V I ) Les   SYSTEMES De 3   INEQUATIONS du premier degré  à  2  INCONNUES

 

 

 

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COURS

 

I ) INEQUATIONS A UNE INCONNUE DU PREMIER DEGRE

 

Définition

 

Une inéquation est une relation d'ordre mathématique qui comprend une inconnue en général notée x. Elle comprend les sigles suivants :

 

 

 

 

·       Elle est du premier degré lorsque la puissance de « x » ne dépasse pas 1

·       Elle est du second  degré lorsque la puissance de « x » est de « 2 » .

 

Résoudre une inéquation :

Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour que l'inéquation soit vérifiée.

Ces valeurs sont les solutions de l'inéquation.

 

Exemple : Résoudre l’inéquation

 

4x - 1

> 

x + 2

premier
membre

 

second
membre

 

 

 

 

·        Si x = 0, alors le premier membre vaut:    4  ( 0 ) - 1 = ( 0 ) - 1 = -1  et le second membre vaut: 0 + 2 = 2.

Comme -1 > 2 est faux, alors 0 n'est pas solution de l'inéquation.

·        Si x = 3, alors le premier membre vaut: 4 * 3 - 1 = 12 - 1 = 11
et le second membre vaut: 3 + 2 = 5.

Comme 11 > 5 est vrai, alors 3 est une solution de l'inéquation.

On remarque qu'il y a une infinité de solutions possibles. On parlera donc d'ensemble de solutions.

Pour trouver les solutions d'une inéquation, la méthode suivante est utilisée.

 

· Méthode de résolution

 

Objectif :  "Isoler x" dans un membre (généralement le premier membre).

 

Procédé :  Transformer l'inéquation à l'aide des règles 1 ,2 et 3 énumérées ci après.


Une inéquation a les mêmes solutions que toutes les inéquations obtenues:

 

·        R1: En ajoutant ou en retranchant un même nombre aux deux membres de l'inéquation:

Si   a < b   alors   a + c < b + c   (ex: a + 5 < b + 5)
              alors   a - c < b - c   (ex: a - 5 < b - 5)

·       R2: En multipliant ou en divisant par un même nombre positif non nul les deux membres de l'inéquation:

Si   a > b   et   c > 0   alors   a * c > b * c   (ex: a * 3 > b * 3)
                               alors   a / c > b / c   (ex: a / 3 > b / 3)

·       R3: En multipliant ou en divisant par un même nombre négatif non nul les deux membres de l'inéquation et en changeant le sens de l'inégalité:

Si   a > b et   c < 0   alors   a * c < b * c   (ex: a * (-4) < b * (-4))
                             alors   a / c < b / c   (ex: a / (-4) < b / (-4))

 

Exemple :

Résoudre l'inéquation :       4x - 1 > x + 2

 

• On regroupe les "termes en x" dans le premier membre à l'aide de R1: (on retranche x)

4x - 1 - x > x + 2 - x
On réduit :         3x - 1 > 2                               

 

• On regroupe les "termes sans x" dans le second membre à l'aide de R1: (on ajoute 1)

3x - 1 + 1 > 2 + 1
On réduit :            3x > 3                       

 

• On "isole x" à l'aide de R2: (on divise par 3 dans les deux membres)

3x / 3 > 3 / 3
On réduit :       x > 1                      

 

Conclusion :  Les solutions sont tous les nombres strictement plus grand que 1.

 

On note également l'ensemble des solutions sous la forme d'un intervalle dans ce cas cet intervalle est : ] 1 ;  + ¥ [ ;   ( "+ ¥ " se lit "plus l'infini", ce sont tous les nombres positifs très grands ).

 

* Précisions sur la notations des intervalles de nombres :

 


[ 2 ; 5 ] : intervalle 2 ; 5 fermé  ce sont tous les nombres x tels que :

 

[ 2 ; 5 [ : intervalle 2 fermé ; 5 ouvert ce sont tous les nombres x tels que :

 

] 2 ; 5 [ : intervalle 2 ; 5 ouvert, ce sont tous les nombres x tels que :

 

] - ∞ ; 2 ] : ce sont tous les nombres x tels que

] - ∞ ; 2 [ : ce sont tous les nombres x tels que :

 

[ 2 ; + ∞ [ : ce sont tous les nombres x tels que :

 

] 2 ; + ∞ [ : ce sont tous les nombres x tels que :


 

+Exercice n°1

Donner les solutions des inéquations suivantes sous forme d'intervalle :

 

5x + 2 > -x -4                  3x + 8 > 5             -4x + 2 > 0            7x -4 < 18

 

 

II )  INEQUATIONS A UNE INCONNUE DU SECOND  DEGRE

 

Ces inéquations se ramène à l'étude du signe du polynôme ax² + bx + c. Pour mémoire ( voir cours sur les équations et polynômes  du second degré ) :

 

Si le polynôme n'a pas de solutions, alors pour tout réel x, le polynôme est du signe de « a »

 

· Si le polynôme a une ou deux solutions, alors on effectue la factorisation du polynôme et on construit un tableau de signe.

 

Exemple :  Résolution de 15x²-17x-4 < 0

 

L'équation 15x²-17x-4 = 0 admet deux solutions -1/5 et 4/3 donc :

15x²-17x-4 = 15(x+1/5)(x-4/3)

L'inéquation se ramène donc à  15(x+1/5)(x-4/3) < 0

Il faut donc étudier le signe du produite (x+1/5)(x-4/3)

On fait un tableau de signe  :

Valeurs de x

          -1/5            4/3     

Signe de x+1/5

          -          0      +                 

Signe de x-4/3

               -              0     +

Signe de (x+1/5)(x-4/3)

          +      0       -    0     +

Signe de 15x²-17x-4

         +        0       -    0     +

 

 

 

 

 

 

D'après le tableau de signe l'ensemble solution de cette inéquation est ] -1/5 ; 4/3 [

 

+Exercice n°2

Résoudre les inéquations suivantes :

-2x²+3x+8 > 0                 4x²+8x+15 > 0                13x² - 2x + 5 > 0


 

III ) SYSTEMES D'INEQUATIONS A DEUX INCONNUES

 

Un système  de 2 inéquations à deux inconnues x et y est tel que :

 

Résoudre un tel système consiste à trouver toutes les valeurs de x et y qui vérifient à la fois les deux inéquations.

 

Pour résoudre un tel système on utilise une méthode graphique.

On exprime les deux inéquations en isolant y dans un membre :

 

Inéquation n°1 :  on transforme


 

 

Inéquation n° 2  :  on transforme

 


 

Le système     est donc équivalent à :

 

Dans le cas où  y = 2x - 8 l'ensemble des couples solutions (x ; y) sont  graphiquement situés sur la droite d'équation y = 2x - 8.

Ainsi l'ensemble des solutions de l'inéquation  est constitué par l'ensemble des points dont les coordonnées sont situés au dessous de la droite d'équation y = 2x - 8

 

De la même façon, les solutions de l'inéquation sont situés au dessus de la droite d'équation .

Les solutions du système

 

sont donc constituées des coordonnées (x ; y )  des points situés à l'intersection des zones énumérées ci-dessus.

 

Cela se traduit donc graphiquement par la zone hachurée ci-dessous :

 

 

 

 

 

 

On constate donc   graphiquement que cette zone commence au point d'intersection des deux droites.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+Exercices n°3

 

Résoudre graphiquement les systèmes d'inéquations proposés. Colorier les zones solutions des systèmes.

 

                  

 

 

 

 

 

Autre exemple de résolution d’un SYSTEME avec 2 INEQUATIONS :

 

Par définition : la donnée simultanée de deux (ou plusieurs) inéquations s’appelle un « système d’inéquations ».

 

Résoudre un système d’inéquations :   c’est chercher toutes les solutions « communes » aux inéquations.

 

Application 2:

On demande de résoudre graphiquement le système :

 

Transformations : 

On transforme (1)                y   >2 x -1

On transforme (2)  

-2y > -x - 4    Û  2y < x + 4   soit y < +2

 

·       Ï le système devient :

 

 

·       On trace les  droites :

  d’équation :  y = 2x -1

et 

  d’équation : y’ =  +2

 

insis1

 

Pour chaque inéquation on considère le demi plan qui convient (on considère le point origine O (0 ;0) ; on cherche si il appartient ou pas au demi plan )

La solution graphique du système correspond à tous les points communs aux deux demi plans (zone non barrée)

 

Remarques : les droites    et     sont sécantes au point de coordonnées ( 2 ;3) ; Ce point  n’est pas solution du système. ( parce que nous avons des inégalités strictes) 


Application  3 :

On demande de résoudre le système suivant :

Solution graphique :

Vous remarquerez que la partie du plan non hachurée est solution, ainsi que les deux droites, car les inégalités sont données au sens large.

69003

 

 

 

Informations sur le corrigé des exercices :

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE :

 

 

 

 

 

 

EVALUATION

 

 

A)

 

Résoudre graphiquement  les inégalités suivantes :

 

 

 

x - 2y + 4 > 0

(corrigé dans le cours)

 

 

y – 3 > x -5

 

 

 

2x – 5 > x + 4

 

 

 

2y -< x +  

 

 

 

- 4y + > x + 4

 

 

 

B) Résoudre le système suivant :

 

Corrigé dans le cours.