FL 7 généralités

     DOSSIER : FONCTIONS LINEAIRES   /  Objectif cours 44

Pré requis

Relation trigonométrique : la tangente

 

Fonction "généralités"

Repère cartésien 

ENVIRONNEMENT du dossier

INDEX    

Objectif précédent  

1°) la représentation graphique d’une fonction

2°) exemple

Objectif suivant

)Des représentations graphiques

2° )fonction affine

Tableau      

2°) la fonction linéaire (info)

DOSSIER Construire LA REPRESENTATION GRAPHIQUE  d’une FONCTION LINEAIRE

1°) représentation graphique à partir d’une équation.

2°) représentation graphique à partir d’un graphe.

3°) représentation graphique à partir d’un tableau    

4°) Fonctions linéaires « croissantes » ou « décroissantes » :

5°) RELATION entre  « a » et  la « pente » et « la tangente » et « taux d’accroissement ou de variation »

 

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                        

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

 

 

 

 



COURS

 

 

 

Les transformations possibles :

 

Equation

Graphe

Tableau

Représentation graphique

Equation

 

Graphe

 

Tableau

 

Représentation graphique

 

 

 

Niveau sup. :

INFO plus ++++


 Représentation graphique d’une fonction linéaire :

On peut obtenir une représentation graphique  à partir  d’une équation , d’ un tableau de proportionnalité  ou à partir d’ un graphe.

A )   Obtention d’  une représentation graphique  à partir  d’une équation

                       Soit l’équation :       y  =  3 x

  La représentation graphique d ’ une équation passe par la recherche  de plusieurs couples de nombres ,utilisés comme  coordonnées .

  Deux points suffissent pour tracer la droite ;plus un troisième qui servira de moyen de vérification (il doit se trouver sur cette droite )

L’ensemble des points A, B ,C ,D, .... ont pour coordonnés les couples de nombres (x ; 3 x )

 

On peut construire  un tableau et le remplir :

 

O

A

B

x

0

1

2

y

0

3

6

 

Placer le point « O »

Puis les points :

 B :  ( 2 ; 6)

 

Tracer le droite passant par OB  et placer le point « A » , vérifier ainsi que « A » est sur la droite.

 

 

 

 

 

B )  Représentation graphique d’une fonction linéaire  à partir d’un graphe :

 

Soit    le graphe             G = {  ( 0 ; 0 ) ;  (1 ; 3 ) ; (2  ;6 )  }

 

  Procédure :

A chaque couple on attribue une lettre majuscule :

Le premier couple représente les coordonnées du point « O »   : O ( 0 ; 0) 

Le deuxième couple représente les coordonnées du point « A » :   A (1 ; 3 )  

 

Le troisième couple servira de « vérificateur »  si   x = 2 ;  y = 6

 

Représentation graphique : voir la représentation graphique précédente.

 

C )  Représentation graphique d’une fonction linéaire  à partir d’un tableau :

( 2/3 )   >   0 ;  la droite est « croissante » 

On donne le tableau suivant  :

 

O     

D

E

x

0

+1

+3

y

0

+2/3

+2

  Pour faire la représentation graphique il n’y a pas de problème particulier , il suffit de placer 2 points et vérifier si le troisième se trouve sur la droite tracée et passant par les 2 point s précédemment tracés.                          

  Il suffit de placer les points  ;D ; E   dans le repère cartésien.

 

 

 

 

Commentaire :

  Dans l’équation :y =(  2/3 )x        ;      Le coefficient  directeur « 2/3 » est un nombre relatif .

                       Le nombre    « 2/ 3  » placer devant « x »  peut s’appeler :

 

n     Coefficient de proportionnalité  (dans le tableau)

n     Coefficient directeur de la droite de la fonction linéaire.

n     Coefficient directeur de la droit d’équation y = x ; dans la représentation graphique

  Dans un repère cartésien « orthogonal » ; dans la représentation graphique de l’équation y = x ;           «» est appelé « pente de la droite » ou « taux d’ accroissement » , la « pente » étant  appelée aussi « tangente » ;

la pente est obtenu par le rapport de  « y » sur  « x ».

 

 Voir les relations trigonométriques  dans un triangle rectangle

 

Plus généralement :

 

Les caractéristiques de la représentation graphique d’une fonction  linéaire sont :

 

n     c’est une droite (D)

n     cette droite passe par l’origine « O » d ’ abscisse (0) et d’ordonnée (0)  , noté (0 ;0)

n     elle possède un point caractéristique ; à  d’abscisse valeur  « 1 » correspond la valeur de « a » ; noté P :(1 ; a)

« a» s’appelle coefficient directeur  de la droite , c’est un nombre relatif :

 

4°) Fonctions linéaires « croissantes » ou « décroissantes » :  

Par conventions :

si « a »  est « positif »   ,   dans la représentation graphique la droite monte de la gauche vers la droite ,on dira que la fonction est « croissante ».

 

si « a »  est « négatif »   ,dans la représentation graphique la droite descend du haut  gauche du repère vers le  bas  droite ,on dira que la fonction est « décroissante ».

 

Exemples :

 

Soit  l ‘équation « y = 2x »

 

« a = + 2 »  , donc « a » est positif ,  on conclut que la droite « y = 2x » est la représentante de la fonction f(x) = 2x ; c’est  une      fonction croissante

 

 Soit  l ‘équation « y = -3 x »

 « a = -3  »  , donc « a » est négatif ,  on conclut que la droite « y = -3 x » est la représentante de la fonction f(x) = -3 x ; c’est  une      fonction décroissante

 

 

 

5°) RELATION entre  « a » et  la « pente » et « la tangente » et « taux d’accroissement ou de variation »

 

               le coefficient  « a » est aussi appelé « PENTE »  et « TANGENTE »

 

CAS traité : droite croissante :

     «2/3 » est aussi appelé  « pente » ou « tangente » ou « taux d’accroissement » de la droite.  (voir relations trigonométriques dans le  triangle rectangle )

 

Problème abordé en trigo .

 

 

la pente est égale au rapport de la longueur « yA » sur la longueur  « xA »   (uniquement vraie si nous sommes dans le sens croissant ) ;

  Autrement :  on dit aussi « la pente est égale au rapport de la mesure algébrique  du segment  AA’ sur la mesure algébrique  du segment  OA’ »

 on dit aussi « la pente est au rapport  du coté opposé  a l’angle (AA’ ) sur le coté adjacent (OA’) » 

  on dit aussi « la pente est égale à l’abscisse du point  A sur l’ordonnée du point A »

la pente  est égale à la relation :    « a » =    ;    si xA = 1  alors  « a » = y A

 

Il est possible de donner la pente des droites  D1 ; D2 ;D3 ;D4 ;

On trace une droite parallèle à l’axe « y » en « x » = 1

Pour D1   : « a » = +2

Pour D2   : « a » = - 2

Pour D3   : « a » = - 0,5

Pour D4   : « a » =  +0,5

 

PENTE : On pensera à la pente de la route !!!!


TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE :

 

1° )  Définissez   « la   représentation graphique » ;     précisez ,en citant les caractéristiques principales ; placer les dans un repère cartésien.

 

2° ) quand dit-on qu’une fonction linéaire est croissante ?

3° ) quand dit-on qu’une fonction linéaire est décroissante ?

 

4°)  quel calcul doit-on faire pour obtenir la pente d’une droite ?

faire un dessin :

 

EVALUATION :

 

 Soit les fonctions :

 

    y1 = 2x

   y2 = - 2x

      y3 = -

 

1°) Dans un repère cartésien orthonormé ;  Faire  la représentation graphique de chaque fonction .

A l' équation          y1 = 2x   

On associe la droite D1  (lire :droite indice 1)

 

A l' équation          y2 = - 2x

On associe la droite D2 (lire :droite indice 2)

 

A l' équation          y3 = -

On associe la droite D3  (lire :droite indice 3)

 

2°)  En étudiant le graphique , donner les coordonnées du point d’intersection des deux droites D1 et D2;

 3°)  tracer  D3 

            Ensuite : avec un rapporteur donner la valeur de l’angle faite entre les droites D1 et D3  .

Angle = 90°

             Quel commentaire pouvez-vous avoir sur la position des droites l’une par rapport à l’autre ?

4° )  Faite le calcul  du produit  a1 par a3  .

5°) tracer la droite d'équation y4 =    

a)         mesurer l’angle fait par D2   et D4    

b)     faire le produit a2 a4

)Comparer les résultats de la question 4° et 5°  ; quelle conclusion peut - on en tirer ?

 

 

Dire quelle représentation est dans le sens  croissant ou décroissant ? ?justifier