Pré requis:

Les fonctions et applications (généralités)

Les ensembles de nombres.

.

L’ensemble des nombres  « réels » : noté par la lettre « R »

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index        

Objectif précédent :

1°) Cours niveau V

2°) Les tracés en niveau V

3°) Les fonctions numériques ( vu en seconde et première)

Objectif suivant

1°) Etude des fonctions usuelles.

2°) Tracés niveau IV

3°) Le nombre dérivé

4°) complément : L’étude de fonction (niveau 4 ) Bac…

Présentation

Sommaire : les fonctions.

Niveau IV : DOSSIER : ETUDES N°2 sur    LES FONCTIONS NUMERIQUES

Chapitres :

I)                  VOCABULAIRE.

II)               Ensemble de définition d’une fonction numérique ;

III)             Ensemble d’étude d’une fonction Numérique

IV)           PARTICULARITES D’UNE FONCTION NUMERIQUE.

·        PARITE d’une fonction

     V ) Taux d’accroissement « symbole : q   ( lire Téta)»     d’une fonction numérique sur un intervalle :

TEST

 

COURS

                

Devoir  Contrôle Etudes n°1

Devoir évaluation  Etudes n°1  

 

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle  

Corrigé évaluation 

 

COURS

 

I)                  VOCABULAIRE.

 

 

Définition d’une fonction numérique

« E »   et    « F »   étant des ensembles numériques , toute correspondance  f   de  « E vers F » , qui a tout élément « x » de E associe « au plus » un élément de F est appelée « fonction numérique » de « E vers F ».

L’image de « x » par   f   se note f(x)  où « » appartient à E  et f(x)  appartient à F.

 

Exemples de   f : R  R

Nom de fonction : (modèles types)

xa x

Fonction linéaire

xa x  + b

Fonction  affine

xx2

Fonction monôme du second degré

xx3

Fonction monôme du troisième degré

x

Fonction racine carrée

x

Fonction  homographique

 

II) Ensemble de définition d’une fonction numérique : ( Application )

 

L’ensemble de définition, noté Df d’une fonction  numérique « » de «  E vers F » est l’ensemble des éléments de « E » qui ont une image dans « F ».

Exemples  à retenir : soit des f : R  R

  Pour « »

  Le     D f  est

Commentaire L On retiendra ces exemples.)

xx2

D f  =  R

Toutes valeurs de « x » peut avoir son carrée :Dans ce cas  le domaine de définition est l’ensemble des réels .

x

D f  =   R +

La racine carrée ne s’effectue que sur des nombres positifs.(sont donc exclues les valeurs négatives) Dans ce cas  le domaine de définition est l’ensemble des réels positifs ou nuls .

x

D f =    R *

Lire : « R étoile plus »

« * » signifie que le nombre « 0 » est exclu.En effet on ne peut diviser par 0

Dans ce cas  le domaine de définition est l’ensemble des réels  non nuls ;on noter aussi :  Df =  R \ .

 

III ) Ensemble d’étude d’une fonction Numérique

 

L’ensemble d’étude ( noté   If  )  d’une fonction numérique f de «  E vers F » est l’ensemble des éléments de Df    sur lequel on étudie la fonction.

Condition :     ( If est inclus dans Df )

 

Commentaire : If    est un intervalle qui limite l’étude de la fonction .

 

           Les  valeurs de I sont  des valeurs numériques  appartenant à « x ». la valeur « 0 » est toujours  citée soit comme « bornes » soit comme « milieu ou symétrique» .

 

IV ) PARTICULARITES D’UNE FONCTION NUMERIQUE.

 

A) PARITE d’une fonction

 

On doit répondre à la question : est ce que la fonction est « paire » ou « impaire » ?

 

1°) Fonction paire : (puissance « paire »)

 

Une fonction f de E vers F est dite « paire » si pour tout « x » pour lequel f(x) existe, f (-x) existe également  et    on écrit : f(-x) = f(x)

                Dans un repère orthonormal la représentation graphique d’une fonction  paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (axe des « y »).

Exemple : la fonction f de R vers  R telle que f(x)  = a x2   est paire.

Sa représentation graphique est une parabole

Cas   a < 0

Cas : a >0

 

 

 

 

 

 

 

 

2°) Fonction impaire : (puissance « impaire »)

              Une fonction f de E vers F est dite « impaire » si pour tout « x » pour lequel f(x) existe , f(-x) existe également  et    on écrit : f(-x) = - f(x)

                     Dans un repère orthonormal la représentation graphique d’une fonction  impaire est symétrique par rapport à l’origine des axes .

Exemple : la fonction f de R vers  R telle que f(x)  = x3   est impaire.

 

A)  PERIODICITE : 

 

Fonction périodique :  (exemple : sinusoïde)

 

               Une fonction numérique f de E vers F est dite « périodique » et de période T si pour tout « » pour lequel f(x) existe , f(x +T ) existe également et f(x +T )= f(x)

( tout multiple d’une période est une période , on réserve souvent le nom de période de la fonction à la plus petite période positive )

 

                               Dans un repère orthonormal ( orthonormé) la représentation graphique complète d’une fonction périodique se déduit de sa représentation graphique sur une période par translation de vecteur T.

exemple : de sinusoïde

 

C) SENS de variation d’une fonction numérique :

 

1° ) Fonction croissante sur un intervalle

 

Si quels que soient    les réels x1  et     x2 distincts de I , 

                x2 > x1   entraîne    f( x2 ) ³ f( x1 )

 

 

2°) Fonction décroissante sur un intervalle

 

Si quels que soient    les réels x1  et     x2 distincts de I , 

                x2 > x1           entraîne   f( x2 ) £  f( x1 )

 

3° ) Fonction constante sur un intervalle

 

Si quels que soient    les réels x1  et     x2 distincts de I , 

                x2 > x1           entraîne   f( x2 ) =  f( x1 )

 

Remarques :

 

Si quels que soient les réels x1  et     x2 distincts de I ,

x2 > x1   entraîne    f( x2 ) > f( x1 )  , f est strictement croissante sur I .

x2 > x1   entraîne    f( x2 ) < f( x1 )  , f est strictement  décroissante sur I .


« Monotone »  :

Si une fonction est (strictement ) croissante ou décroissante sur un intervalle , elle est dite (strictement) « monotone »  sur cet intervalle. 

Exemple :

Soit  fonction f(x) dont on donne la représentation graphique dans un repère cartésien est :

 

 

la  fonction f(x) est croissante sur [ab]:

 

 

la  fonction f(x) est constante sur

   [b c]:

 

 

L a  fonction f(x) est décroissante sur [cd]:

 

 

D) Extremum d’une fonction sur un intervalle .

 

 

 

 
L’extremum d’une fonction sur un intervalle est soit un maximum , soit un minimum

 

.

 

 
« Maximum » :

 

Le point  S est le « maximum »

(sommet de la courbe)

 

Soit le point S ( Sx ; Sy)

 

Sy = f(Sx)  est une valeur maximale ou un maximum de f sur l’intervalle I si pour tout x de I les f(x) < f(Sx)

 

Ou les f(x) < Sy

 

« Minimum » :

 

Le point S est le minimum

 (le point le + bas  de la courbe)

 

Soit le point S ( Sx ; Sy)

 

Sy = f(Sx)  est une valeur minimale ou un minimum de f sut l’intervalle I si pour tout x de I  les f(x) ³ f(Sx)

Ou f(x) ³ Sy

Ici : S (1 ; -4 )

 

Extremum d’une fonction sur un intervalle :  Applications

 

 

Exemple 1:

                 avec les fonctions de la forme ax2 avec « a » négatif.

 

Pour la fonction f : x -x2

 

Elle admet sur R un maximum égal à 0 pour x0  = 0

Ce qui est vraie pour les autres représentations graphiques ! !

Exemple 2:

                 avec les fonction de la forme ax2 avec « a » négatif.

 

Pour la fonction f : x  x2

 

Elle admet sur R un minimum égal à 0 pour x0  = 0

Ce qui est vraie pour les autres représentations graphiques ! !

 


 

Commentaire : pour savoir si une droite (ou autre ) est « croissante »  ou « décroissante » il faut calculer son   :  taux d’accroissement.

 

@ taux de variation

Taux d’accroissement « symbole : q   ( lire Téta)»     d’une fonction numérique sur un intervalle :

Info : nombre dérivé

 

Soit une fonction numérique f de R vers R dont l’ensemble de définition Df et soit  x1 et x2 deux réels distincts de Df

 

On appelle « taux d’accroissement » (ou taux de variation) de f entre x1 et x2 le rapport           

 

A propos d ‘écritures :se note aussi =    = q    ;

     sachant que  Dy  lire « delta i grec » et Dx est « delta ix » ; Dx représente  une infime partie de « x » soit (x2 - x1 ); Dy   représente une infime partie delta « y ».soit  ( y2-  y)

 =

 

 

Calcul de  Dy = y2-  y;  

 

 y2   est obtenu en  f (x2)   et puis   yest obtenu en  f (x1) ;

on peut aussi écrire :    Dy = f (x2) - f (x1

 

      Dy peut être remplacé par  f (x2 - x1  et     Dx   peut être remplacer  par   x2-x1

 

nous pouvons utiliser indifféremment :        =

 

 

Exemple :

Soit la fonction f : x 0,5 x;    Calculer le taux d’accroissement.

Résolution :

Domaine de définition : Df  = R et quels que soient x1 et x2  distincts de Df

Calcul de q:

 = 0,5 (x2+ x1 )

 

SOS calcul q :

0,5 x22  - 0,5 x12  = 0,5 (x22  -  x12)

(x22  -  x12)  est de la forme

 

 @Les identités b. Remarquables a 2 - b2 = (a+b) (a-b)

avec  « a » = x2  et b = x1

donc on peut écrire que :

(x22  -  x12)= (x2+ x1 )( x2 - x1 )

on remplace :

 

on simplifie :

Exemple : calcul du taux d’accroissement dans l’intervalle [1 ; 3 ] :

Pour x1 = 1  et   x2 = 3

On sait que q  =  0,5 (x2+ x1 )

q  =  0,5 (3+1 )

q  =  0,5 (4 )

q  =  2       ( la taux est positif , dans cet intervalle la fonction est croissante)

 

Faire le même calcul avec des valeurs négatives : exemple [ -3 ; -1 ] 

(le taux est normalement négatif)

 

Représentation de  q dans la représentation graphique de la courbe :

 

Soit (C ) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal , q représente le coefficient directeur de la sécante ( MN) à la courbe ( C )

 

q : Application au sens de variation d’une fonction :

 

Si quels que  soient  x1 et x2  distincts de I :

 

q ³ 0  ,  f est croissante sur I

 

 

q =  0  ,  f est constante  sur I

 

 

q £ 0  ,  f est décroissante sur I

 

 

 


 

Application :

 

Soit  fonction f(x) dont on donne la représentation graphique dans un repère cartésien est :

la  fonction f(x) est croissante sur [ab]:

le  q ³ 0  ,  f est croissante sur [ab]:

la  fonction f(x) est constante sur

   [b c]:

le q =  0  ,  f est constante  sur [b c]:

 

L a  fonction f(x) est décroissante sur [cd]:

Le q £ 0  ,  f est croissante sur [cd]:

 

Remarques :

 

q > 0  ,  f est strictement croissante sur I

q < 0  ,  f est strictement décroissante sur I

 

exemple :

 

Soit la fonction f définie de R vers R par : f (x) =0,5 x2  est strictement décroissante  sur R - (lire R moins) car   quels que soient    x2  et  x1  distincts de R - ;   q  =  0,5 (x2+ x1 ) est strictement négatif.

Représentation graphique.

         Etant donné une fonction numérique f de variable réelle « x » , on appelle «  courbe représentative de f dans un repère cartésien » , l’ensemble des points de coordonnées ( x ; f(x))

 

Exemples

 

 

 

 

Travaux auto formatifs 

 

CONTROLE:

 

Quand dit on qu’ une  fonction est « paire » ?

 

Compléter la phrase :

 

 

Donner un exemple de fonction paire :

 

Quand dit on qu’ une  fonction est  « impaire » ?

 

Compléter la phrase :      Dans un repère orthonormal la représentation graphique d’une fonction  paire est ……………………

 

Donner un exemple de fonction impaire :

 

 

Compléter les phrases suivantes :

 

Sur sens de variation d’une fonction numérique :

 

A ) Si quels que soient    les réels x1  et     x2 distincts de I , 

                x2 > x1   entraîne    f( x2 ) ³ f( x1 ) 

                la fonction est ………………………………

 

B) Si quels que soient    les réels x1  et     x2 distincts de I , 

                x2 > x1           entraîne   f( x2 ) £  f( x1 )

                la fonction est ………………………….

 

 

C ) Si quels que soient    les réels x1  et     x2 distincts de I , 

                x2 > x1           entraîne   f( x2 ) =  f( x1 )

                     la fonction est ………………………….

 

f est strictement croissante sur I si …………………………………………

f est strictement  décroissante sur I ………………………………………..

 

        Quand dit-on qu’une fonction est strictement « Monotone »sur un intervalle I ?:

 

 

 

 

 

EVALUATION:

Reprendre les exercices vus dans le cours.