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23 / 26.

DOC : livre  Elève .Cours  interactifs - et travaux +  corrigés.

FL3 : LA FONCTION LINEAIRE :    Ses modèles de représentation mathématique ; passage d’un modèle à l’autre .

DOSSIER  N°23

INTERACTIF

LA FONCTION LINEAIRE  

Information « TRAVAUX d’auto - formation  »

Cliquer sur  le mot !.

INFORMATIONS PEDAGOGIQUES :

05/06 NIVEAU :

Formation  Niveau V

 (inclus le CAP )

OBJECTIFS :

- Savoir reconnaître l’équation, la représentation graphique , une fonction linéaire.

- Savoir reconnaître le tableau de proportionnalité représentant la fonction linéaire.

I ) Pré requis:

Lecture ; ? ? ? ? Préambule !

¥

INFO : Les différentes représentations graphiques de fonctions.

¥

Fonction "généralités"

¥

Les Grandeurs proportionnelles

¥

II ) ENVIRONNEMENT du dossier :

INDEX    

Objectif précédent :

1°)Les grandeurs proportionnelles  

2°) DOS. 9  livre niveau V

3°) DOS. 10  livre niveau V

Objectif suivant :

La fonction linéaire : liste des objectifs

2°) la fonction affine .

3°) La fonction affine ,présentation.

Tableau      

Complément de lecture : 1°)Les fonctions :

III )  LECON  n° 23 : LA FONCTION LINEAIRE :

Ses modèles de représentation mathématique ; passage d’un modèle à l’autre

CHAPITRES :

I ) Equation

INFO plus !!!!

II ) Graphe

INFO plus !!!!

III  ) Tableau de variation (de proportionnalité)

INFO plus !!!!

I V ) Représentation graphique.

INFO plus !!!!

V) Pente

Info plus ++++

IV)   INFORMATIONS  «  formation leçon » :

Test

 

COURS 

Travaux  auto - formation.

Résumé (ici)

Corrigé des travaux  auto - formation.

Contrôle

évaluation

1°)liste d’activités en lien avec la fonction linéaire

2°) Interdisciplinarité

Corrigé Contrôle  

Corrigé évaluation  

V )   DEVOIRS  ( écrits) :

 Devoir diagnostique L tests.

Ÿ

 Devoir  Auto  - formatif  ( intégré au cours)

Ÿ

  Devoir Formatif  « Contrôle : savoir » ;   (remédiation)

Ÿ

 Devoir  Formatif  «  Evaluatio  savoir faire »  (remédiation)

Ÿ

Devoir 1 sommatif . dev2  - devoir  3 -

Ÿ

Devoir certificatif : ( remédiation )

Ÿ

* remédiation : ces documents peuvent être réutilisés ( tout ou partie) pour conclure une formation .

 

Leçon

Titre

N°23

LA FONCTION LINEAIRE :

Ses modèles de représentation mathématique ; passage d’un modèle à l’autre

CHAPITRES :

I ) Equation

INFO plus !!!!

II ) Graphe

INFO plus !!!!

III  ) Tableau de variation (de proportionnalité)

INFO plus !!!!

I V ) Représentation graphique.

INFO plus !!!!

V) Pente

Info plus ++++

 

COURS

ORGANIGRAMME :

Il faut traiter dans l’ordre :

 

 


 


i9

MODELES     MATHEMATIQUES  de représentation de la fonction linéaire

:i

 

                   cet objectif traite des généralités sur la fonction linéaire :

                      

                         Une fonction linéaire peut s’identifier à partir de quatre modes de représentation :

I ) Equation

II ) Graphe

III  ) Tableau de variation (de proportionnalité)

I V ) Représentation graphique.

                           Dans ce cours nous prenons   l’équation:

                                      y = x   est pris  comme exemple.

      (elle est de la  forme « y  =  a x  »   ; dans l’exemple  « a »  =  ;    » 0, 67 )

Les transformations possibles :

 

Equation

Graphe

Tableau

Représentation graphique

Equation

 

Graphe

 

Tableau

 

Représentation graphique

 

 

 

i9

I )    l ’  EQUATION 

:i

On peut obtenir une équation  à partir : d’un graphe  ; d’un tableau de proportionnalité ; d’une représentation graphique.

 

  L’ équation de la fonction linéaire est de la forme          y = ax

 

  La notation mathématique de la fonction linéaire           f : xax

traduction en langage littérale : «  fonction »  où « x » a pour image « a » fois « x ».

 

Ce que signifie :  « a x » 

 

                « a » est un nombre donné, (bien entendu différent de zéro ; dans ce cas la fonction linéaire n’existerait pas pour « 0 » multiplié par « x » égal « 0 » ) ;

                «a» est appelé « coefficient directeur » dans la représentation graphique .

 

                « x » est la variable de la fonction.

 

Exemple :

  y = x     est une équation d’une fonction linéaire parce qu’elle est  de la forme  y = ax

la fonction  se notera        f : xx

traduction en langage littérale : «  fonction »  où « x » a pour image «  » fois « x ».

 

Ce que signifie :  « x » 

 

                                «» est appelé « coefficient directeur » dans la représentation graphique .                              « x » est la variable de la fonction.

 

On dira :

      La fonction linéaire de coefficient « » fait correspondre à chaque valeur de la variable « x » le nombre « x ».

 

 

L’équation représentant de la fonction linéaire  est une équation du premier degré à deux inconnues de la forme  y = x

 

Plus généralement : (on dira que J

L’équation représentant de la fonction linéaire  est une équation du premier degré à deux inconnues de la forme  y = a x ; « a » étant le coefficient de l’équation de la fonction linéaire

 

Le rapport  de « y » sur « x »  est , pour la fonction linéaire, égal au rapport  « x » sur « x » ;

                        

 

Dans la fonction linéaire ce nombre est constant il est égal à «»

 

Ce nombre «» est appelé « coefficient de proportionnalité » ;

Le tableau s’appellera « tableau de proportionnalité ».

 

 

A ) Obtention d’ une équation  à partir  d’un graphe  

CALCUL DE « a » à partir d’un couple de nombres représentant une fonction linéaire :

En vue d’obtenir une équation de la forme y = ax

 

On analyse le graphe : G = {( 0 ; 0) ; (3 ;2) ; (9 ; 6 ) }

                     On reconnaît que la droite passe  par zéro .on peut dire le troisième couple de nombres (9 ; 6 )  est de la forme  (x ; ax) ;

             Nous pouvons en déduire que le graphe représentant une fonction linéaire est  d’équation  y = ax  .

;le nombre « 9 » est la valeur de « x » ;le nombre « 6 » est la valeur de « y » ;nous remplaçons ces valeurs dans l’équation  ( y =ax  devient  6 = a 9  , nous en déduisons  que a = , après simplification        a = 

                   nous concluons : le graphe G = {( 0 ; 0) ; (3 ;2) ; (9 ; 6 ) } donne l’équation de la fonction linéaire  y = x

 

B ) Obtention d’ une équation  à partir  d’un tableau de proportionnalité 

On nous donne le tableau suivant :

 

A

B

C

O

D

E

F

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-9

-6

-3

0

3

6

9

 

On nous déclare que le tableau est un tableau de proportionnalité !

On sait qu’en faisant le calcul du rapport   on trouve une valeur à « a »

 

Ainsi on prend un point ( E )  on identifie  x = 2 et y = 6

On fait le calcul :   =  a =  3

 

Donc si « a » = 3; l’équation de la fonction linéaire représentant le tableau sera  y = 3x

 

Vérification :  les couples de nombres  forment une suite de rapports ; ils faut vérifier si ils forment une suite de nombres proportionnels  ou une  suite de rapports égaux

 

= ? = = ? = = ?== ?== ?=

 

il faut faire les calculs ! ! !

 

ou voir la « somme des rapports égaux »      

 

 

 

 

C ) Obtention d’ une équation  à partir d’une représentation graphique.

 

On choisit un point  et l’on  relève ses coordonnées :

                           Le point A à pour abscisse  x =+10 ; et pour ordonnée

y = + 5

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


          Il faut faire le rapport de  pour avoir le coefficient « a » :   = 0,5

                Conclusion : la droite à pour équation y = 0,5 x

i9

II  )  GRAPHE  de la fonction linéaire

:i

On peut obtenir un graphe à partir : d’une équation ; d’un tableau de proportionnalité ; d’une représentation graphique.

                 Le graphe est un ensemble (ou suite)  de couples de nombres ;du type : ( x ; ax)

                       le premier nombre est attribué à « x » appelé « variable »

                       le deuxième nombre est associer au produit  « ax ».

                Si « a »  vaut    ,le   couple aura la forme et sera noté :( x ; x)

                        le Graphe de la fonction linéaire se présentera sous la forme :

 G = { ( x1 ; ax1) ; (x2 ;ax2 ) ; ......... }

A ) Construction d’un graphe à partir de l’équation : y = x

   Obtention d’un couple de nombres  (à partir d’une équation) :

 

On donne une valeur à « x »   (exemple : 9 )

     on obtient un autre nombre  en utilisant l’équation  y = x   ; (y = 9 =(18 :3 ) = 6)

en résumé :   si « x » = 9 alors x = 6

      nous obtenons le premier couple de nombres du graphe de la fonction « x » :  (9 ; 6)

 

             On remarque que l’on peut citer  un couple particulier : (0 ;0)   ( en effet si « x » = 0 alors x

Nous obtenons un premier modèle mathématique de la forme :

     G = {  ( 0 ; 0 ) ; ( x1 ; x1) ; (x2 ; x2 ) ; ......... }

le couple  (x1 ; x1)  dans un repère cartésien signifie :

                qu’ à  x1 on associe  l’abscisse « x »

                qu’ à  « x1 » on associe  l’ordonnée « y1 »

En modèle « limité »  nous  pouvons utiliser le graphe suivant :

le graphe représentant l ’ équation  y = x   est G = {( 0 ; 0) ; ( 3 ; 2 ) ;(9 ; 6 ) ; }

deux points suffissent  , le troisième point servira pour vérifier si le tracé est « bon »

 

soit le graphe obtenu précédemment G = {( 0 ; 0) ; (9 ; 6 )}

ces deux couples de nombres permettent de tracer la représentation graphique de la fonction .

 

B) Obtention d’un graphe à partir d’une représentation graphique .

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


G = { ( -3 ; -9) ; (-2 ;-6 ) ; (-1 ;-3 ) ; ( 0 ; 0 ) ;  (1 ; 3 ) ; (2  ;6 ) ; ( 3 ;9 ) ;  ......... }

 

C) Obtention d’un graphe à partir d’un tableau de variation

 

On nous donne le tableau suivant :

 

 

A

B

C

O

D

E

F

3 x

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-9

-6

-3

0

3

6

9

Pour construire le graphe il suffit de reprendre les couples de nombres  dans l’ordre croissant de « x » ; ce qui donne le graphe :

G = { ( -3 ; -9) ; (-2 ;-6 ) ; (-1 ;-3 ) ; ( 0 ; 0 ) ;  (1 ; 3 ) ; (2  ;6 ) ; ( 3 ;9 )  }

Plus généralement on dira :

                   que le Graphe de la fonction linéaire est de la forme :

 G = {( 0 ; 0 ) ; ( 0 ; 1 ) ; ( x1 ; ax1) ; (x2 ;ax2 ) ; ......... }

 

Ce graphe est « fini » si il est obtenu à partir d’un tableau ; il est « infini » si il est obtenu à partir d’une équation ou d’une représentation graphique.

Avec comme les deux couples particuliers :

       

                                                     ( 0 ; 0 )  et  ( 1 ; a ) 

 

i 19

i 29

III) TABLEAU de variation  dit « tableau de proportionnalité »

:i

(regroupant les couples ( x ; ax) )

 

On peut obtenir un tableau de proportionnalité  à partir d’ un graphe: d’une équation ;; d’une représentation graphique.

 

Voir Fonction généralité  « tableau de variation » :

 

A )  On peut obtenir un tableau de proportionnalité  à partir d’ un graphe

 

Soit le graphe :

 

G = { ( -3 ; -9) ; (-2 ;-6 ) ; (-1 ;-3 ) ; ( 0 ; 0 ) ;  (1 ; 3 ) ; (2  ;6 ) ; ( 3 ;9 ) ;  ......... }

 

On place les couples de nombres dans le tableau suivant :

 

 

 

A

B

C

O

D

E

F

a x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Le tableau de variation sera :

 

 

A

B

C

O

D

E

F

a x

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

 

y

-9

-6

-3

0

3

6

9

 

B)  On peut obtenir un tableau de proportionnalité  à partir  d’une équation.

Soit l’équation y = 3x

1° )On trace le tableau :

 

 

A

B

C

O

D

E

F

a x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

2°) on choisit des valeurs pour « x »

 

 

A

B

C

O

D

E

F

a x

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3°) on donne la valeur à « a » , et l’on effectue tous les calculs pour trouver « y ».

 

 

 

A

B

C

O

D

E

F

3 x

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

 

y = 3x

3-3= -9

3-2 =

-6

3-1 =

-3

30 =

0

3 1 =

3

3 2 =

6

3 3 =

9

 

 

Conclusion :

Le tableau de proportionnalité représentant la fonction :   y = 3x est :

 

 

 

A

B

C

O

D

E

F

3 x

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

 

y

-9

-6

-3

0

3

6

9

 

Remarque : le tableau peut se réduire à 3 colonnes de valeurs : ( suffisant pour tracer une droite)

 

 

A

B

C

O

D

E

F

3 x

x

 

-2

 

0

1

 

 

 

y

 

-6

 

0

3

 

 

 

 


 

C ) On peut obtenir un tableau de proportionnalité  à partir  d’une représentation graphique.

Sur la droite on place des points que l’on nomme :

A ;B ; C ; O ;D ;E ;F

 

Le nombre de points est défini à partir de contraintes imposées ! !

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


On trace le tableau :

 

A

B

C

O     

D

E

F

x

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

Le tableau est « rempli » à partir des résultats trouvés sur la droite :

                  Pour chaque point on relève son abscisse et son ordonnée

 

 

 

A

B

C

O

D

E

F

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-9

-6

-3

0

3

6

9

 

Les coordonnées du point A peuvent se noter verticalement :

A -3                   au lieu de A (-3 ; -9 )

    -9

 

A chaque point (A ;B ;.....) est associé les deux nombres qui serviront de coordonnées

 

 

 

Plus généralement :

Modèle de tableau de proportionnalité :

 

 

 

A

O

 

B

C

 

D

E

 

 

 

relation

x

xA

0

1

Valeurs choisies  de la variable

 

 « ax » 

y

yA

0

a

Valeurs «des « y » obtenues par calcul

 

 

xA et  yA    sont  les coordonnées du point A

ces valeurs peuvent se noter verticalement :

A xA                   ou horizontalement  A (xA ,yA)

    yA

 

i19  

i29  

IV ) Représentation graphique d’une fonction linéaire :

:i

On peut obtenir une représentation graphique  à partir  d’une équation , d’ un tableau de proportionnalité  ou à partir d’ un graphe.

A )   Obtention d’  une représentation graphique  à partir  d’une équation

Soit l’équation  y  =  3 x

    La représentation graphique d ’ une équation passe par la recherche  de plusieurs couples de nombres ,utilisés comme  coordonnées .

  Deux points suffissent pour tracer la droite ;plus un troisième qui servira de moyen de vérification (il doit se trouver sur cette droite )

L’ensemble des points A, B ,C ,D, .... ont pour coordonnés les couples de nombres (x ; 3x ) .

 
On peut tracer un tableau :

 

O

A

B

x

0

1

2

y

0

3

6

 

Tracé : 

B

 

A

 

O

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


B )  Représentation graphique d’une fonction linéaire  à partir d’un graphe :

 

 

Soit                G = {  ( 0 ; 0 ) ;  (1 ; 3 ) ; (2  ;6 )  }

 

  Procédure :

A chaque couple on attribue une lettre majuscule :

Le premier couple représente les coordonnées du point « O »   : O ( 0 ; 0) 

Le deuxième couple représente les coordonnées du point « A » :   A (1 ; 3 )  

 

Le troisième couple servira de « vérificateur »  si   x = 2 ;  y = 6

 

Représentation graphique : voir la représentation graphique précédente.

 

C )  Représentation graphique d’une fonction linéaire  à partir d’un tableau :

 

On donne le tableau suivant  :

 

 

O     

D

E

x

0

+1

+3

y

0

+2/3

+2

                             

                                y

   > 0 ;  la droite est « croissante »

 

 

                                2

 

 

 

 

                                1        

                              +

 

 

 


                                                                                                                                           x     

                                                               1                      2                  3                                       

 

 

   Il suffit de placer les points  O ;D ; E   dans le repère cartésien.

 

 

 

 

Commentaire :

     Le coefficient  directeur « » est un nombre relatif .

                              « » peut s’appeler :

 

n    Coefficient de proportionnalité  (dans le tableau)

n    Coefficient directeur de la droite de la fonction linéaire.

n    Coefficient directeur de la droit d’équation y = x ; dans la représentation graphique

 

                                            Dans un repère cartésien « orthogonal » ; dans la représentation graphique de l’équation y = x ;           «» est appelé « pente de la droite », la « pente » étant  appelée aussi « tangente » ;

la pente est obtenu par le rapport de  « y » sur  « x ».

 Voir les relations trigonométriques  dans un triangle rectangle

 

 

 

Plus généralement :

 

 

 

Les caractéristiques de la représentation graphique d’une fonction  linéaire sont :

 

n    c’est une droite (D)

n    cette droite passe par l’origine « O » d ’ abscisse (0) et d’ordonnée (0)  , noté (0 ;0)

n    elle possède un point caractéristique ; à  d’abscisse valeur  « 1 » correspond la valeur de « a » ; noté P :(1 ; a)

« a» s’appelle coefficient directeur  de la droite , c’est un nombre relatif :

Remarques :

si « a »  est « positif »   ,dans la représentation graphique la droite monte de la gauche vers la droite ,on dira que la fonction est « croissante ».

 

si « a »  est « négatif »   ,dans la représentation graphique la droite descend du haut  gauche du repère vers le  bas  droite ,on dira que la fonction est « décroissante ».

 

 

 

 

Info 2 plus ++

V )  RELATION entre  « a » et  la « pente » et « la tangente » et « coefficient directeur de la droite »

Info 1plus ++

 

 

                        « a » est aussi appelé « PENTE »  et « TANGENTE »

 

     «» est aussi appelé  « pente » ou « tangente » de la droite.  (voir relations trigonométriques dans le  triangle rectangle )

 

 

A

 
 

 

 

 

 


                             yA

 

 


                                          0

·                              xA                                   A’  

 

  la pente est égale au rapport de la longueur « y» sur la longueur  « x»   (uniquement vraie si nous sommes dans le sens croissant ) ;

  Autrement :  on dit aussi égale au rapport de la mesure algébrique  du segment  AA’ sur la mesure algébrique  du segment  OA’ ;

 on dit aussi au rapport  du coté opposé  a l’angle (AA’ ) sur le coté adjacent (OA’) 

  on dit aussi égale à l’abscisse du point  A sur l’ordonnée du point A

                     

 

 


 

Leçon

Titre

N°23

TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur

LA FONCTION LINEAIRE

 

TRAVAUX  N°23    d ’ AUTO - FORMATION :  CONTROLE

a) Quelle condition doit remplir un « tableau numérique  » pour être  le représentant d’une fonction  ?

 

b) Que désigne le mot « variable » ?

1°) Donnez le modèle mathématique de l’équation  représentant la fonction linéaire.

 

2°) Que peut-on représenter  à partir d’une équation  représentant la fonction linéaire ?.

 

3°) Soit la notation   « ax » , comment nomme - t - on les facteurs ?

 

4°) Donnez la forme des couples  qui forment eux mêmes le graphe de la fonction  linéaire.

 

 

5°)  Donner forment du graphe de la fonction linéaire. ( donner les deux couples particuliers)

6°)  Représenter le tableau de « proportionnalité ; précisez ce qu’il « contient ».

 

7° ) « a »  (dans le produit de facteurs  associés à la  fonction linéaire) possède trois appellations , quelles sont - elles ?

 

8° )  Définissez   « la   représentation graphique »

      précisez ,en citant les caractéristiques principales ; placer les dans un repère cartésien.

 

9° )  Comment reconnaît - on une fonction  dite « linéaire » ?

 

TRAVAUX N°23    d ‘ AUTO - FORMATION   EVALUATION

 Soit les fonctions :

    y1 = 2x

   y2 = - 2x

      y3 = -

1°) Dans un repère cartésien orthonormé ;  Faire  la représentation graphique de chaque fonction .

A l' équation          y1 = 2x   

On associe la droite D1  (lire :droite indice 1)

A l' équation          y2 = - 2x

On associe la droite D2 (lire :droite indice 2)

A l' équation          y3 = -

On associe la droite D3  (lire :droite indice 3)

 

2°)  En étudiant le graphique , donner les coordonnées du point d’intersection des deux droites D1 et D2;

3°)  tracer  D3 

            Ensuite : avec un rapporteur donner la valeur de l’angle faite entre les droites D1 et D3  .

             Quel commentaire pouvez-vous avoir sur la position des droites l’une par rapport à l’autre ?

4° )  Faite le calcul  du produit  a1 par a3  .

5°) tracer la droite d'équation y4 =    

mesurer l’angle fait par D2   et D4    ; faire le produit a2 a4

 

6°)comparer les résultats de la question 4° et 5°; quelle conclusion peut - on en tirer ?