Chapitres :

Partie I )   Les fonctions « nomenclature »

·       Variables et constantes.

·       Fonction d’une variable.

·       Les fonction algébriques et transcendantes.

·       Fonctions de plusieurs variables ;

Partie  II ) Les différents modes de représentation d’une fonction..

III ) voir les études d’une fonction..

Partie  I  )  Les fonctions  « nomenclature ».

« variables et constantes »

On dit qu’une quantité est « variable » quand elle est susceptible de passer par différentes valeurs ;

Par opposition , on dit qu’une quantité est « constante » lorsque sa valeur est fixe.

On désigne généralement les variables par les dernières lettres de l’ alphabet « x » ; « y » ; « z » ; « t » ; « u » ; « v » ; « w » ;… ;et les constantes par les premières lettres  « a » ; « b » ; «c » ;…. 

« Fonctions d’une variable ».

On dit qu’une quantité variable « y » est fonction d’une autre quantité variable « x » quand « y » dépend de « x » suivant une loi connue , de telle manière qu’à chaque valeur attribuée à « x » corresponde une valeur bien déterminée de « y ».

La quantité « x » qu’on peut faire varier d’une manière arbitraire porte le nom de « variable indépendante ».

Une fonction « y » de la variable « x » est définie au point de vue mathématique , dès qu’on se donne la relation qui permet de calculer « y » quand on connaît « x ».

Exemple 1  : la longueur « y » de la circonférence , le volume « z » d’une sphère sont des fonctions de leur rayon « x » définies par les relations :

«  y =  2  x   »

«  z =    »

Le sinus « y » d’un angle « x » est une fonction de cet angle : «  y = sin . x »

Exemple 2  : Soit l’équation :  «  y² - xy – x² = 0 »

A toute valeur de « x » , elle fait correspondre deux valeurs de « y » que l’on obtient en résolvant .

«  y =  =

Ces deux fonctions :    et 

S’appellent des « fonctions implicites » parce qu’elles sont définies par une équation non résolue par rapport à « y ».

Au contraire, les fonctions définies par une équation de la forme :  «  y = f (x ) » qui est résolue par rapport à « y » sont dites « fonctions explicites ».

 Dans certain cas , il n’est pas possible « d’expliciter » une équation, c'est-à-dire de la résoudre par rapport  à « y » en fonction de « x ». Ce serait le cas de l’équation :

« y² - xy – 1 = 0 »

D’une manière générale une relation  quelconque  qui lie la fonction « y » ou « z » à la variable « x » dont elle dépend , peut se représenter par l’une des notations :

«   y = f ( x ) »

«   y = F ( x ) »

«   z  = ( x ) »

Pour désigner la valeur numérique que prend une fonction «  f ( x ) »lorsqu’on donne à la variable une valeur particulière , on remplace à l’intérieur des parenthèses « x » par cette valeur.

Ainsi  «  f ( 0 ) » ; «  f ( 1 ) » ; «  f ( -2 ) »  désignent les valeurs numériques de «  f ( x ) » pour «  x = 0 » ; «  x = 1 » ; «  x = ( - 2)  »

« Fonction algébriques » et  « fonctions transcendantes. »

On distingue parmi les fonctions , les « fonctions algébriques »   et les « fonctions transcendantes ».

Les fonctions algébriques sont celles où l’équation qui lie la fonction à la variable ne renferme qu’un nombre limité d’opérations de l’algèbre élémentaire : addition ; soustraction, multiplication , division , fraction , élévation à une puissance constante , ou extraction de racine déterminée.

Toutes les autres fonctions sont appelées «  fonctions transcendantes »

Exemples de fonctions algébriques :

«  y = 2 x² - 5 x + 4 »    ;   ; ……

Exemples de fonctions transcendantes :  

«  y = sin x »   ; «  y =  log x »

Fonctions de plusieurs variables .

On dit qu’une quantité variable « z » est fonction de deux autres quantités variables « x » et « y » , quand « z » dépend de « x » et de « y » suivant une loi connue , de telle manière qu’à chaque système de valeurs attribuées à « x » et à « y » corresponde une valeur bien déterminée de « x ».

Les quantités « x » et « y » auxquelles on peut donner des valeurs arbitraires et indépendantes l’une de l’autre sont appelées « variables indépendantes ».

Une fonction « z » de deux variables « x » et « y » est définie au point de vue mathématique lorsqu’on donne une relation permettant de calculer « z » quand on connaît « x » et « y ».

Exemple :  L’aire « z » d’un rectangle est une fonction de ses deux dimensions « x » et « y » définie par la relation : «  z = x y »

On rencontre également des fonctions de trois variables , de quatre variables , ……

Lorsqu’ on ne voudra pas préciser la nature de la fonction, on représentera une fonction « z » de deux variables « x » et « y » , une fonction « y »  de trois variables «  u ; v ; w » , par des notations de ce genre :  «  z =  f ( x ; y ) » ;  « y =  f ( u ; v ; w ) »

Une fonction de plusieurs  variables peut être algébrique ou transcendante.

Résumé :

 On dit qu’une variable « y » est fonction d’une autre variable « x » , si l’on peut  calculer « y » lorsqu’on se donne la valeur de « x ».

On distingue les fonction algébriques , dont la définition ne fait intervenir que les opérations de l’algèbre , et les fonctions transcendantes qui , par définition , ne sont pas algébriques.

Il peut se faire qu’une variable « z » soit à la fois fonction de plusieurs variables telles que « z » et « y ».

Partie 2 : Les 4  différents modes de représentation d’une fonction.