PRE REQUIS

(s.o.s calculs)

.

Fonctions « pré requis »

 

Définitions de « fonction » et « application »

 

Fonction linéaire

.

Fonction  affine

.

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index         

Objectif précédent :

 1°)  Lecture : les principaux tracés.

 2°) FG. REP. GRAPH TYPES.

Objectif suivant :

1°) la fonction affine.

2°) Etudes de fonctions numériques.

3°) Etudes de fonction usuelles.

4°) Niveau IV ( bac pro.)

5°) Représentation graphique d’une fonction (niveau 4)

tableau :

  1. INFO. Géné.   
  2. INFO PLUS sur l’étude des fonctions.

 

 

 

 

 

DOSSIER : LES FONCTIONS N°1

Etude de la représentation graphique d’une FONCTION NUMERIQUE.( généralités )

 

 

·      Rappels sur le tracé d’une fonction ou non fonction.

.

 

·      Etude du tracé d’une fonction.

.

 

·      Sens de variation (tableau de variation)

.

 

·      Maximum, minimum.

.

 

·      Parité.

.

 

·      Résumé : ce qu’il faut savoir faire lorsque l’on demande d’étudier el graphique d’une fonction….

 

 

 

Résumé

Travaux auto formatifs.

 

 

 

TEST

 

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle  

Corrigé évaluation :

 

Intérêt : savoir étudier un tracé dans des matières interdisciplinaires (physique,chimie ,  géographie, histoire, statistique,….)


 

 

COURS

 

 

info@

RAPPELS sur le tracé d’une fonction ou non fonction.

 

 

RAPPELS :  Exemples de tracés représentant une fonction :

 

fnf1

fnf3

fnf6

A une valeur de « x » correspond au plus une valeur de « y »

Exemples de tracés ne représentant pas une fonction :

fnf2

fnf4

fnf5

A une valeur de « x » correspond plus d’une valeur de « y »

 

@%Äinfo

I )  Définition

 

 

Lecture du symbole : la flèche « à talon »  elle remplace l’expression « à pour image »

 

Soit une équation de la forme « y »  égale  à une expression exprimée en fonction d’une variable « x » :    notée               y = f(x) 

 

Il y a « fonction »  notée  « f » » si  à un nombre « x »  on fait correspondre au plus un nombre « y » .

 On écrit indifféremment : 

 

f : x  f(x)

Lire : il y a fonction ; où « x » à pour image « f(x) » 

 

f : x    y

Lire : il y a fonction ; où « x » (en abscisse) a pour image « y » (en ordonnée)

 

 

 

%Ä@info

II )  REPRESENTATION GRAPHIQUE d’une fonction.

@%º info

 

Pour faire une représentation graphique ,on doit faire des calculs , à partir de valeurs de « x ».

Plus on prendra de valeurs , plus on obtiendra de « coordonnées » de points à placer dans un repère  et plus le tracé de la courbe sera précis.

CHOIX des valeurs de « x » et  « intervalle de définition ».

Les valeurs de « x » sont choisies, dans des limites qui sont, ou non,  fixées par avance (ou imposées)

- Si ces limites ne sont pas imposées , il n’y a pas « d’intervalle » qui fixent ces limites.

- Si ces limites  de « x » sont fixées (valeurs minimales et valeurs maximales de « x »), on dit que l’on définit « un intervalle de calcul ou d’étude ».

Cet intervalle (limité ou pas)   est appelé « l’ensemble de définition. »

finterval

Le tracé de la courbe est obtenue  et limitée par les valeurs de « x » appartenant à l’intervalle limité par la valeur minimale « a » et la valeur maximale « b » noté :[ a ; b]

 

 

  Exemple d’application :

 

ftablograficexempl

 

Ici  L’intervalle d’étude est  [1000 ; 6000 ]

 

 

 

 

 

Procédure à appliquer pour construire la représentation graphique d’une fonction :

 

-  Rechercher des couples de valeurs ( x ; y ) avec l’équation  y = f (x) ,

Au début , pour les premiers tracés ;ces valeurs seront placés dans un tableau de préférence .

x

« x »

        Les valeurs de « x » sont à choisir « judicieusement »

Ligne des « Abscisses »

 

0

 

y

« f(x) »

Ces valeurs sont obtenues par calculs  (s.o.s calculs)

Ligne des « ordonnées »

 

f(0)=

 

 

    - Placer  les points  de coordonnées ( x ; y ) ; (coordonnées obtenues par calcul)

    -  Relier les points  par une courbe « continue » ( ce peut être une droite si les points sont alignés)

 

fgraphic

La courbe obtenue est appelée :

 

« courbe représentative »

ou

« représentation graphique »

 

 

III )   ETUDE DE LA REPRESENTATION GRAPHIQUE

Voir exemples.

Exemple d’application :

ftablograficexempl

 

Ici  L’intervalle d’étude est  [1000 ; 6000 ].

On remarque qu’entre 1000 et 5000 tr/ min  la puissance du moteur augmente, et qu’entre 5000 et 6000 tr/min la puissance diminue.

 

On constate qu’à 5 000 tr/min la puissance est maximum.(120 kW )

Nous pouvons résumé ces variations par le tableau suivant :

ftabloexempl

les flèches indique le sens de variation de la fonction.

 

%Ä@ info

A) DETERMINATION DU  SENS DE VARIATION (tableau de variation). 

%º@ Par le calcul :calcul du taux d’accroissement.

Dans un intervalle  donné I =  [a ;b] ;on peut rencontrer 3 possibilités

Le  « sens de variation » est  indiqué dans un tableau dit de variation.

I)               La fonction est  CROISSANTE.

 

Une fonction est dite croissante sur un intervalle [ a ; b ] si les valeurs de « y » augmentent quand celles de « x » augmentent.

 

fcrois

fcroisscalcul

 

On établit le tableau de variation suivant :

La flèche indique le sens de variation de la fonction.

ftablo3

Si pour tous nombres x1 et x2 d’un intervalle I = [a ;b], tels que  x1 < x2 .  et si   f ( x1 )  £   f (x2) ,on peut dire  alors que la fonction est croissante sur I  (%º@ Par le calcul :calcul du taux d’accroissement.)

 

II)             La fonction est  DECROISSANTE.

 

Une fonction est dite « décroissante » sur un intervalle [ a ; b ] si les valeurs de « y » diminuent quand celles de « x » augmentent.

fdécroi

fdécroisscalcul

On établit le tableau de variation suivant :

La flèche indique le sens de variation de la fonction.

ftablo2

Si pour tous nombres x1 et x2 d’un intervalle I = [a ;b], tels que  x1 < x2 .  et si   f ( x1 )  ³   f (x2) ,on peut dire  alors que la fonction est décroissante sur I  ((%º@ Par le calcul :calcul du taux d’accroissement.)

III )  La fonction est  CONSTANTE.

 

Une fonction est dite « constante » sur un intervalle [ a ; b ] si la valeur de « y » est constante quand « x » varie.

 

fconstan

fconstcalcul

 

On établit le tableau de variation suivant :

La flèche indique le sens de variation de la fonction.

ftablo1

Si pour tous nombres x1 et x2 d’un intervalle I = [a ;b], tels que  x1 < x2 .  et si   f ( x1 )  =   f (x2) ,on peut dire  alors que la fonction est constante sur I  ((%º@ Par le calcul :calcul du taux d’accroissement.)

 

 

Exemple d’ étude d’un tracé:

 

fnf8

- On identifie des segments différents.

- On détermine des intervalles.

- Dans un tableau , on indique par une flèche, si dans l’intervalle choisi la fonction est croissante , décroissante, ou constante.

fnf7

INFO : On peut connaître le sens de variation d’une fonction, par le calcul ,il faut savoir calculer , dans un intervalle donné ,« le nombre dérivé » et étudier le signe (+ ou - ) de ce nombre.

Ce nombre dérivé est aussi appelé « taux d’accroissement ».Savoir calculer ce  nombre dérivé (via le taux d’accroissement) c’est  savoir calculer la pente (tangente) d’un triangle rectangle.

(évidemment : pour qu’un triangle soit rectangle dans  un repère ,il faut que le repère soit orthogonal)

 

Lecture.

B) RECHERCHE d’un MAXIMUM ou MINIMUM sur le graphique.

@%ºinfo détermination par le calcul de la dérivée.

 

Préambule :

 

Certaines fonctions croissent puis  décroissent,et vis versa, par exemple lorsque le tracé est une parabole, on dit que la fonction passe un point maximum ou un point minimum.

Ce point est identifiable sur un tracé, c’est le  point le plus haut ou le plus  bas de la courbe et les coordonnées sont relevables sur le tracé.

 

Exemples types  :  de la fonction dite « polynomiale » du second degré.  ( type :  y = a x² + bx + c )

Les tracés de ces types de fonctions sont des courbes appelées : paraboles.

Remarque : les fonctions du type  f(x) = a x²  ont la même forme de courbe…

 

etud_fonct_tablo_var_93_4016

etud_fonct_tablo_var_93_5017

 

Pour informations :

En absence du tracé de la courbe , Comment rechercher les coordonnées du point « maxima » ou « minima » ? :

Ces coordonnées peuvent être obtenues par calculs ; Il faut  savoir

1°) calculer « une  tangente »

2°) calculer le taux d’accroissement et étudier  ce que devient ce  taux d’accroissement  au voisinage du point de « changement de pente ». (ce qui implique de connaître la notion de limite lorsque l’on veut que  f(x)/x  tend vers 0).

3°) Il faut apprendre à calculer de la dérivée d’une équation ……….(nous verrons cela au niveau III) 

 

 

1°) MAXIMUM :

On appelle « maximum » la valeur maximale atteinte par f(x). On dit que la fonction « f » atteint un maximum en « x M »

 

Représentation graphique :

Il s’en suit le tableau de variation ci - dessous :

La fonction croit [a ; x M ]  et décroît dans l’intervalle [ x M ; b]]

fmaxigrafic

fmaxitablo

 


 

2°) MINIMUM :

On appelle « minimum» la valeur minimale atteinte par f(x). On dit que la fonction « f » atteint un minimum en « x m »

Exemple de représentation graphique :

Il s’en suit le tableau de variation ci - dessous :

La fonction croit [a ; x m ]  et décroît dans l’intervalle [ x m ; b]]

fminigraf

fminitablo

 

INFO :Symétrie centrale.

Symétrie orthogonale.

RECHERCHE de la PARITE  (en lecture sur le graphique)

Par le calcul

On dit qu’une fonction, peut être, « paire » ou « impaire ».Cette parité est remarquable sur un tracé.

 

1°) Fonction « paire » :

 

Pour affirmer qu’une fonction est « paire » on peut soit le montrer  par le calcul ; soit sur le vérifier sur le tracé.

a) Par le calcul : Une fonction est dite « paire » si  pour toutes les valeurs de « x » :   f (-x) = f (x)

Ce qui se montre par le calcul (exemple la courbe de f(x) = x²)

b)   le tracé :  La courbe représentative d’une fonction « paire » admet l’axe des ordonnées pour axe de symétrie.

 

fpaire2

fpaire

 

Cas des fonctions périodiques: la courbe de la fonction cosinus ( appelée : sinusoïde)

 

Cette représentation graphique est le tracé d’une fonction dite « périodique ».

La courbe sinusoïde de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, elle est « paire ».

fpairsinus

.

 

2°) Fonction « impaire » : Pour affirmer qu’une fonction est «im paire » on peut soit le montrer  par le calcul ; soit sur le vérifier sur le tracé.

 

a)   Par le calcul : Une fonction est dite « impaire » si,  pour toutes les valeurs de « x » :f (-x) = - f (x)

 

Ce qui se montre par le calcul (exemple la courbe de f(x) = x3)

 

La courbe représentative d’une fonction « impaire » admet l’ origine « O » du repère  pour entre  de symétrie.

fimpair2

fimpaire

Cas des fonctions périodiques: la courbe de la fonction sinus ( appelée : sinusoïde)

Cette représentation graphique est le tracé d’une fonction dite « périodique ».

La courbe sinusoïde de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine « O » du repère , elle est «impaire ».

fsinusimpaire

 

@Tracé d’une sinusoïde %Ä

C) IDENTIFIER si une FONCTION PERIODIQUE.

 

Ce type de fonction est rencontrée en science :le tracé d’une telle fonction est obtenue par un oscilloscope.(courant alternatif)

 Le courant électrique alternatif est visualisé sur l’écran d’un oscilloscope .ll en est  de même pour le son émis par un appareil.

En réalité , l’oscilloscope visualise la variation d’une tension en fonction du temps.

Une fonction est dite « périodique » si dans un intervalle donné le tracé de la courbe se reproduit, indéfiniment.

 

La période est mesurée sur l’axe de la variable « temps ».Elle est généralement « T ».

fnf9

 


Exemple :

La fonction est périodique de période « T » si : f(x) = f (x+T)=  f (x+2T)=  f (x+3T)= ….

 

fpériod

 

Les fonctions périodiques les plus  simples étudiées sont les sinusoïdes.

fsinusimpaire

Fonction « sinus »

(fonction impaire)

fpairsinusf

onction « cosinus » (fonction paire)

 

INFO :  MOTS CLEFS : l’ensemble de définition ;taux d’accroissement, tableau de variation , représentation graphique ; utiliser le repère cartésien . le plus utilisé est le repère cartésien orthonormé ( dit aussi « orthonormal » )

 

EN RESUME :

Lorsque l’on vous demande d’ étudier la représentation graphique d’une fonction on doit :

-1°) Savoir Identifier, par la forme du tracé, le type de l’équation qui à permis de réaliser ce tracé..(l’allure de la courbe) : linéaire, affine , du second degré, du troisième degré , racine , inverse (homographique), sinusoïde  représentant un sinus ou un cosinus ;…..Il savoir dire si la fonction est périodique ou non périodique.

- 2°) Identifier ce qui caractérise  le tracé  d’« une  fonction ».

-Savoir  donner  le domaine de définition. (pour quelles valeurs de « x » le tracé sera  le représentant de la fonction)

- Savoir identifier les bornes des intervalles de « x ». ou savoir  donner les valeurs mini et maxi de « x » qui limite l’étude du tracé .

- Savoir identifier dans un  intervalle donné, l’allure de la courbe. Dire  si  la fonction est croissant, décroissante, constante.

- Dans un tracé  continu d’une fonction  pouvant être successivement : « croissant », « décroissant », « constant », il faut savoir identifier le point de passage de changement de « pente » : Est-il « maximum » ou « minimum ». et éventuellement  quelles sont les coordonnées de ce point ?

- 3°) Pour rendre compte de l’étude d’une fonction (observation sur le tracé) il faut savoir construire et compléter et remplir un tableau de variation.

Pour « x »  :

- on indiquera : «les valeurs des bornes de chaque  intervalle»,

-  la valeur de  « x » qui indique un changement de pente.

- Si la courbe coupe l’axe des « x » on donnera l’ abscisse ou les abscisses de ces points.

Pour  f(x) :

- pour les valeurs  particulières de « x » on calculera les valeurs « f(x) » correspondantes. De ces valeurs partira et arrivera la flèche 

4°) On complétera l’étude  en indiquant

-       si la fonction est « paire » ou « impaire ».

-       si elle est périodique (ou non périodique)

 

 

 

 

 

 

Exemple d’application :

 

évaC1

 

Maximum de f   =  3

 

Minimum de f   = - 3

 

f(x)     :  - 4 ; 1 ; 4

 

f(x)     2  ; 0 et  - 3 

 

f (x)     £ 2 :    x Î [ - 5 ; - 3 ]  È  [ 0 ; 5 ) ]

 

f (x)     Î [ 2 ; 3 ] ;   réponse :     x Î [ - 3 ; 0  ] 

 

 

 

 


 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE:

 

1°) Sur quelles caractéristiques peut  porter  l’étude de la représentation graphique d’une fonction ?

 

(Préciser pour chaque caractère)

 

 

 

 

EVALUATION:

 

Travaux : cliquer ici

CORRIGE

 

N°1 : Utiliser les quadrillages pour représenter graphiquement les fonctions suivantes :

 

évaF2

 

évaF1

 

Donner le sens de variation des fonctions « f » et « g » sur les intervalles indiqués, en complétant les phrases suivantes :

 

Sur [ 1 ; 6 ]   ; « f »  est une fonction …………………………………………….

Sur [ 0 ; 5 ] ; « g » est une fonction ………………………………………………

 

Toujours à propos des fonction « f » et « g » , dans chacun des cas ci - dessous, entourer la réponse qui convient et barrer l’autre :

 

Pour les petites valeurs  positives de « x » , f(x) prend des :

 

Pour les grandes  valeurs  positives de « x » , f(x) prend des :

 

 

Pour les grandes valeurs  positives de « x » , g(x) prend des :

 

 

 

 

 

N°2   ( SOS Corrigé)

 

évaC1

 

N°3

 

évaA2

 

 

 

évaB1

 

S0S corrigé.

 

évaD1

Voici la représentation graphique d’une fonction « h » définie sur l’intervalle [ - 2 ; 4 ]

Utiliser le graphique pour répondre aux questions suivantes :

 

On notera que le point  « · » sont sur la  courbe et ont pour coordonnées des nombres entiers.

 

1°) Dresser  le tableau de variation de « h »

 

2°) Donner les solutions de l’équation : h (x) = 0

 

3°) Etudier le signe de h(x) sur l’intervalle [ - 2 ; 1]

 

4°) Donner  l’ensemble des solutions de l’inéquation :

h(x)  ³  3

 

 

 

 

 

ACTIVITES  COMPLEMENTAIRES :

 

LES FONCTIONS :

I ) Génération et description des fonctions 

Liste des tests

 

a) exemples de modes de génération de fonctions.

 

 

 

 

 

 

Exemples de description d’une situation à l’aide d’une fonction.

 

 

 

 

 

 

Représentation graphique d’une fonction dans un repère ortho normal  ou orthogonal.

 

 

 

 

 

 

b) Exemples simples de calculs de valeurs d’une fonction à l’aide d’une calculatrice.

 

 

 

 

 

 

c) Parité , périodicité. : maximum , minimum d’une fonction, fonctions croissantes, fonction décroissantes

T3

 

 

 

 

 

d) exemples de lecture de propriétés de fonctions à partir de leur représentation graphique.

T3

 

 

 

 

II ) Fonctions usuelles.

Liste des tests

 

a) Variations et représentation graphiques des fonction :

x ® a x + b ; x ®  x² ; x ®  x 3 ; x ®  ; x ®

 

T1

T2

T4

T5

 

 

b) Exemples simples d’études de comportements de fonctions tels que :

signe , variations, recherche de maximum et de minimums, représentations graphiques dans un repère (orthonormal ou orthogonal).

T4

T5

 

 

 

 

c) Exemples simples d’étude graphique d’équation de la forme f (x) = l  l  a une valeur numérique donnée.

T4

T7

 

 

 

 

d)Etude des fonctions cosinus et sinus :

périodicité , symétries, sens de variation. Courbes représentatives.

T7

T9