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Boule verte

Pré requis (calculs) Sphère metallique

 

Cours fin de troisième –BEP – Seconde.

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

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Objectif précédent :

2°) Un tableau numérique.

3°) grandeurs proportionnelles et fonction linéaire.

Objectif suivant :

1°) Etude d’une fonction.(niveau V)

2°) Tracés

Tableau        Sphère metallique4.02

1°  ) Les fonctions (liste)  

2°) : les 4 modèles de représentations d’une fonction :Sphère metallique

DOSSIER :   NOMENCLATURE : « FONCTION » et « APPLICATION »…

TEST

           FilesOfficeverte

COURS

                FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité

                        Filescrosoft Officeverte

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

 

Préambule :

Exemples d’une Représentation graphique d’une fonction ou d’une fonction.(voir la définition ci dessous)

 

 

 

Exemples de tracés représentant une fonction :

fnf1

fnf3

 

fnf6

A une valeur de « x » correspond au plus une valeur de « y »

 

Exemples de tracés ne représentant pas une fonction :

Remarquez  qu’ à une valeur de « x » correspond plus d’une valeur de « y »

fnf2

fnf4

fnf5

A une valeur de « x » correspond plus d’une valeur de « y »

 

COURS

Généralités : vocabulaire

 

Préalable : recherchez dans le dictionnaire les définitions du mot  « fonction » et « application »

 

Les ensembles de nombres; sont désignés par les lettres :              N ; D ;Q ;  D+ ; D- ;  R               ( pour les plus utilisés)

 

 

l   la lettre  « f » est utilisée  pour désigner le mot «  fonction » .

 

l   Pour définir une « fonction »  il nous faudra  deux ensembles de nombres; qui sont  un  « ensemble de départ » et  un « ensemble d’arrivé » :

 

Le premier ensemble de nombres  que l’on prend s’appellera  « ensemble de départ » 

            Les nombres (ou éléments)  qu’il contient vont servir   à « construire » un second ensemble de nombres qui  lui  s’appellera « ensemble d’arrivée » .

     

-        Ensemble de départ :

 

   ò   Désignation :   Un ensemble  (dit) de départ désigné est par une lettre majuscule ; par commodité nous choisirons de le nommer par la lettre « E » dans lequel chaque élément de l’ensemble sera représenté par une lettre minuscule affecté d’un indice ( nous choisirons   la lettre « x ») .

 

 

   ò   Représentation de l’écriture mathématique de l’ensemble  de départ :

 

     E = í x1 ; x2 ; x3 ; ......xn ý  ou E = í x1 ; x2 ; x3  ý

 

-        Ensemble d’arrivé :

 

  ò Un ensemble  (dit) d ’ arrivée est  désigné est par une lettre majuscule ; par commodité nous choisirons la lettre « A »  dans lequel chaque élément de l’ensemble sera représenté par une lettre minuscule affecté d’un indice ( nous choisirons   la lettre « y ») .

 

  ò   représentation de l’écriture mathématique de l’ensemble  d ’ Arrivée :

 

     A = í y1 ; y2 ; y3 ; ......yn ý  ou   A = í y1 ; y2 ; y3  ý

 

 

l  Information sur l’expression  « EN  FONCTION »   en « f »

 

 en fonction peut signifier « faire avec » ...quelque chose choisie ou imposée.

 

On peut faire en fonction ...du temps

On peut faire en fonction  ...de l’outil disponible

On peut faire en fonction .....des moyens dont on dispose.

 

òEn mathématique on trouve une valeur à « y »  en fonction d’une valeur de « x » (choisie ou imposée) : au lieu d’écrire la phrase  « y »  en fonction d’une valeur de « x » ,  on la remplace par (tout simplement)  : y   =    f(x) )

 

     «  La valeur de  l élément de l’ensemble d’arrivée »  ( y  )   est obtenue  par le calcul  et en fonction de  la valeur   « donnée ou choisie »   de « x » .

 

On dit  alors :     qu’  «   il  y a une « relation entre   y  et  x   »  et  on le traduit

                        Traduction mathématique :   y   R   x     (on utilise la lettre  R   pour remplacer le  mot « relation »)

 

 «On dit aussi : pour qu’il y ait une fonction il faut qu’il existe une relation mathématique   entre les éléments de  l’ensemble de départ  et les éléments de l’ensemble d’arrivé »

 

Puisque « y » est obtenu en fonction de « x» ; que « y2 » est obtenu en fonction de « x» ; .......on peut remplacer   « y» par « f(x1) » ; « y» par « f(x2) » ;  …….. ainsi de suite .

 

On peut donc écrire  et  remplacer :

 

A = í y1 ; y2 ; y3 ; ......yn ý

par

A= í f(x1) ;f(x2) ; f(x3) ; ......f(xn) ý

Ou

 

 

A = í y1 ; y2 ; y3  ý

par

A = í f(x1;f(x2) ; f(x3ý

 

 

lExemple d’une situation de la vie courante où l’on utilise les ensembles (de départ et d’arrivée) :

 

Un automobiliste a observé sa consommation de carburant à différentes vitesses .Il a obtenu le tableau suivant :

 

vitesse en Km/h

50

60

70

80

90

100

110

Consommation en L

5,4

6,2

6,9

7,8

8,7

9,3

10,1

 

L’ensemble de départ est   « vitesse »,  que l’on choisira de noter « V », elle est mesurée et donnée par un nombre (élément de l’ensemble de départ)

donc   V = í 50 ;60 ;70 ;80 ;90 ;100 ;110  ý

L’ensemble d’arrivée est « consommation » , noté « C » ;elle est mesurée  et donnée par un nombre (élément de l’ensemble d’arrivée) :

 donc    C  =í 5,4 ; 6,2 ; 6,9 ; 7,8 ; 8,7 ;9,3 ; 10, 1  ý

 

òAnalyse du tableau :

 

 òOn remarque :  qu’il y a autant d’éléments dans l’ensemble  « V »  que dans l’ensemble  « C »

que chaque élément de  « V » à « pour image » un élément de « C »  

(par exemple :  70 à pour image 6,9)

 

   Convention :

On remplacera l’expression « a pour image »  par le dessin :    ( flèche orientée de vers la droite, la flèche aura un talon (trait vertical lié) )

 

  Ainsi dans l’exemple , on remplacera  l’écriture « 70 a pour image 6,9 » par  l’écriture  706,9

 

En généralisant :Si v1 est un élément de « V » et c1 l’élément correspondant  « C » ,on dira que :

         

 « v1 a pour image c1» ; on traduira en écriture mathématique :  v1c1

 

il y a fonction de « V » vers « C » 

On remarque qu’à chaque élément de « V » correspond un élément  unique de « C », on dira  que l’on a une fonction de l’ensemble « V » vers l’ensemble « C ».

Par convention : on remplacera  le mot vers par le symbole :    ;  (c’est une flèche simple(sans talon) orienté vers la droite )

 

On remplacera  l’expression : il y a fonction ( f )  de « V » vers « C »  par

    

      L’écriture :                   f : V   C

 

Qu’il faudra traduire par : il y a fonction de l’ensemble de départ  « V » vers l’ensemble d’arrivée « C »  .

 

« Fonction »


lGénéralisation        

 

òDéfinition :

                      On dira qu’il y a « fonction » de l’ensemble de départ  ( E) vers l’ensemble d’arrivée ( A),si à chaque élément de l’ensemble de départ correspond un élément unique ( 0 ou 1 image ) de l’ensemble d’arrivée.

 

Notation   (traduction en écriture symbolique )      f  :     E         A

 

 

 

Traduction en écriture littérale :       de   f  :     E         A

 

« f : »         Lire  :        il y a fonction

«  E  »        Lire  :       de l’ensemble de départ  nommé « E »

«  »         Lire  :       la flèche  signifie  « vers »

« A  »        Lire  :            L’ensemble d’arrivé .nommé « A »

 

 nota concernant les ensembles (les plus usités)  :

 

 Les ensembles sont des ensembles de nombres : N ; D ; D± ; R ;….

 

 

ò On précisera :  Si « x1 » est un élément de « E » (ensemble de départ) et  « y1 » l’élément de « A »  (ensemble d’arrivée),

 

on dit que :  « x1 » a pour image « y1 ».

 

nota : On dira aussi que « y » est l’image de « x » par f.

      Exemple :  on écrit  f ( 3) = 6 : on dit que :   « 6 » est l’image de « 3 » par f….

 

le  groupe de mots : « x » a pour image « y » se notera :        x   y      (info : On remplace  le « a pour image » par une « flèche à talon ») :

 

       Notation complémentaire  ( traduction en écriture mathématique )         x   y

 

 

On désigne  « la fonction » par la lettre  « f »,  , l’image de « x » (cette image « y » est obtenue  en fonction de la valeur de « x ») se note alors      f(x)   ( lire :  éff de ixe)  

 

                   Ainsi l’écriture :      x   y     peut s ’écrire ,aussi,     x   f(x) ; Ces deux écritures mathématiques sont équivalentes.

 

 

Nota : « antécédent » :  on peut aussi dire que « y » est l’antécédent de « x » par  f (x)

 

Exemple :  si on écrit  f ( 3) = 6 : on dit que  l’antécédent de « 6 » par f  est  « 3 ».

 

Plus précisément  un exemple d’application :: 

soit la table de multiplication des « 2 » ; je dis que   cette table correspond  la fonction ( que je reconnais  comme étant la forme de la fonction dite : linéaire):   f(x)   = 2x

j’écris aussi que  x x   y     et appliqué au cas : x   2x 

 (  je dis que « x » (dans l’ensemble des nombres de départ)  à pour image « 2x » (dans l’ensemble des nombres d’arrivés ; valeurs obtenues  par le calcul « fois 2 » ) )

   

en résumé :

Soit la fonction

f(x)   = 2x

 

 

 

 

 

 

   x   2x 

Exemple 1 : Ce qui signifie que pour « x=3 » je fais le calcul 2 fois 3 ; j’obtiens « 6 »

 

 

 

 

Exemple 2 : Ce qui signifie que pour « x = 7  » je fais le calcul 2 fois 3 ; j’obtiens « 14  »

Et ainsi de suite …..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Si x = 3 

Alors  3   2(3)  

Soit 

3   6  

« 6 »

 

 

 

 

« 3 » est l’élément de départ .

 

« 6 » est l’élément dans l’ensemble d’arrivé

 

 

 

 

 

 

Et

 

 

 

 

 

Pour obtenir « 6 » j’ai fais le  calcul «  2 » fois « 3 »

Alors je peux dire que « 3 » est l’antécédent de « 6 » dans la fonction :

f(x)   = 2x

 

 

 

 

Pour obtenir « 14 » j’ai fais le  calcul «  2 » fois « 7 »

Alors je peux dire que « 7 » est l’antécédent de « 14  » dans la fonction :

f(x)   = 2x

 

 

 

ò   Pour étudier une fonction on nous donne souvent une relation  (désignée par la lettre :R.    )  mathématique  qui nous permet  de calculer une valeur « y » en fonction de la valeur  de « x » (choisie ou imposée)

exemples :

·       la relation qui lie « x » à « y » est    2x ; on peut alors écrire  f ( x ) = 2x

·       la relation qui lie « x » à « y » est    2x +1; on peut alors écrire  f ( x ) = 2x +1

·       la relation qui lie « x » à « y » est    2x² +1  ; ; on peut alors écrire  f ( x ) = 2x²+1

 

 

     Cette relation  (R.   )  devient le deuxième membre de l’égalité   :  y = ...R.   ... ; que l’on appelle « équation » (voir définition du mot : équation).

 

      La valeur de « y » étant obtenue en fonction d’une valeur donnée à « x » on peut écrire que :     

y   =   f(x)  =   R.     (contenant la variable x »)

 

 

 

 

òlEn écriture mathématique on présente la  « fonction » de la façon suivante :

 

Forme générale :

 

  :  E    A

       x   f(x)

 

avec  y =  ........

 

Lire :  Il y a « fonction » de l’ensemble des nombres E  vers l’ensemble des nombres A où «  x » à pour  image  f(x)

 

Dans une application : A et E seront  remplacés par des lettres désignant chacune un ensemble de nombres

Et   f(x)   sera remplacée  par  la relation mathématique  exprimée en fonction de  la variable « x ».

 

Exemple :

 

  :  R   R

       x   2x 

Lire :  Il y a « fonction » de l’ensemble des nombres Réels vers l’ensemble des nombres Réels où « x » de l’ensemble de départ à pour  image  « 2x » dans l’ensemble d’arrivé.

  Ce qui permet d’écrire  que si  f(x) = 2x  alors la fonction aura pour équation « y =2x »

 

Ainsi : f (3) = 6 ; :

Alors on peut écrire que :

  • l’image de « 3 » par f est « 6 »
  • l’antécédent de « 6 » est « 3 »

 

*la relation  « 2x » : cette relation permet de prendre des nombres dans l’ensemble R et de construire un autre ensemble R   ;

 Remarque : L’ensemble des nombres désigné par la lettre  R , contient tous les nombres dit :   les  Réels ( relatifs ; décimaux ; rationnels ;irrationnels ...............)

 

a)

f : N R

   x   2, 5 x 

La relation est du premier degré :  ( forme : linéaire),

Ce qui permet d’écrire l’équation  y = 2,5x , cette  forme sera utilisée pour faire une représentation graphique dans un repère cartésien.

b)

:  N   D

      x   3x +2 

La relation est du premier degré :  ( forme : affine )

Ce qui permet d’écrire l’équation  y = 3 x + 2

c)

:  R   R

      x   2x2 +3x -1 

La relation est du second degré :l’équation est  y =  2x2 +3x -1 

 

Une fonction peut être représentée par un tableau 

Lattention : il y a quatre modes  de représentations utilisés en mathématique pour « parler » d’une fonction ; Info plus :cliquer ici )

 

Dans les exemples  qui suivent les tableaux sont donnés tel quel , on ne connaît pas la relation qui a permis de le remplir, on veut se  poser la question : le tableau numérique représente - t- il une fonction ou pas ?

 

òlTableau représentant une fonction :

 

Exemple :1

 

vitesse en Km/h

50

60

70

80

90

100

110

Consommation en l

5,4

6,2

6,9

7,8

8,7

9,3

10,1

 

Exemple :2

 

vitesse en Km/h

50

60

70

80

90

100

110

Consommation en L

5,4

6,2

 

7,8

8,7

9,3

10,1

 

Commentaire : Ces deux tableaux représentent une fonction ,parce que chaque élément  (nombre) de l’ensemble de départ (vitesse) fait correspondre 1 élément (au plus !) dans l’ensemble d’arrivée (consommation).

 

òlTableau ne représentant pas une fonction :

 

Exemple :3

 

vitesse en Km/h

50

60

70

80

90

100

110

Consommation en l

5,4

6,2

6,9  /  7.3

7,8

8,7

9,3

10,1

 

Exemple : 4 :

 

vitesse en Km/h

50

60

60

80

90

100

110

Consommation en L

5,4

6.2

6,9

7,8

8,7

9,3

10,1

 

Commentaire : l’élément 70  dans l’exemple 3  et 60 dans l’exemple 4 ont deux images  dans l’ensemble d’arrivée, ces deux tableaux ne représentent  pas  une « fonction »

 

 

« APPLICATION »   si il y a « fonction » ,  il peut y avoir « application »

 

òRelation entre fonction et application :

 

Une fonction est une application si tout élément de l ’ensemble de départ à une image ,et une seule, dans l’ensemble d’arrivée .

 

òAttention :Toutes les fonctions ne sont pas des applications :

 

òTableau représentant une application :

 

Exemple  5 :

 

vitesse en Km/h

50

60

70

80

90

100

110

Consommation en l

5,4

6,2

6,9

7,8

8,7

9,3

10,1

 

Commentaire : ce tableau représente une fonction  et une application , à chaque élément de l’ensemble de départ correspond un élément  dans l’ensemble d’arrivée.

 

òTableau ne représentant pas une application :

 

Exemple 6 :

 

vitesse en Km/h

50

60

70

80

90

100

110

Consommation en l

5,4

6,2

 

7,8

8,7

9,3

10,1

 

Exemple 7 :

 

vitesse en Km/h

0

60

70

80

90

100

110

Consommation en l

 

6,2

6,9

7,8

8,7

9,3

10,1

 

Commentaire : les deux tableaux  (6 et 7 ) ne sont pas des applications parce qu’il manque une image dans l’ensemble d’arrivée.

 

 

TRAVAUX AUTO - FORMATIFS.

 


CONTROLE :    Obj  FG1

 

1°)  Les lettres majuscules N ; D ; R  désignent des ensembles de nombres ; donner le nom de ces nombres.

 

2° )  Quelle lettre utilise t - on pour désigner  « une fonction » ?

 

3° )  Combien d’ensembles de nombres met en jeu une fonction ?

 

4° )  Quel nom donne t - on  à ces deux ensembles ?

 

5° ) Traduire  «     »

 

6°)  Traduire en langage littéral  « f(x) »

 

7°) Traduire en langage littéral « y    x »

 

8°) Dites ce que vous savez sur l’écriture (signification)     A = í f(x1;f(x2) ; f(x3ý

 

9° ) Traduire : ( quel signification on chaque lettre est signe ?)

v1c1

v1 :.............................................

 :.................................

c1 :.......................................................

 

10°) Idem :

 

f : V C

f :  ......................................

V :.................................

  ...............................

 C  ...............................

 

11°   )Qu’est ce qui permet d ’ obtenir limage de « x » ?

 

12 °) Quand dit-on qu’il y a fonction ?

 

13°) Que faut-il pour qu’une fonction soit une application ?

 

14° )Peut-on dire que toutes les fonctions sont des applications ?


 

 

EVALUATION :

Parmi ces  tracés barrer les représentants  d’une non - fonction :

Ici : Tracer  une non fonction

fnf5

fnf1

fnf2

Ici : Tracer  une « fonction »

fnf4

fnf3

fnf6

 

I I ) TRADUIRE :

  a)  f : N R

            x   2, 5 x 

 

 b )  f :  N   D

             x   3x +2 

 

c)   f :  R   R

           x   2x2 +3x -1 

 

Dire si la relation qui existe entre les éléments de l’ensemble  E  et les éléments de l’ensemble F est une fonction , et une application . Justifier votre réponse .

on donne      x Î E    et     y   Π F

 

N°1

x

62

79

124

156

163

182

195

y

33

45

57

87

96

135

167

 

N°2

x

62

79

124

156

163

182

195

y

33

45

 

87

96

135

167

 

N°3

x

62

79

124

156

163

182

195

y

33

45

57

87 ;135

96

 

167

 

N°4

x

7

8

9

10

11

12

13

y

7

7

9

11

15

17

19

 

 

N°5

x

0

1

2

3

7/5

8

2

y

2

3

2

5

7

3

5