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DOC : Formation
Individualisée LA PARABOLE. |
DOC : Elève. |
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Notions |
:i |
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Les
ensembles de nombres |
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Les
tableaux numériques à doubles entrées |
:i |
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Fonction
et application |
:i |
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Les
repères cartésiens |
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DOSSIER N° :
Matière : MATHS Leçon : LES FONCTIONS |
Information « TRAVAUX » |
Savoir construire une parabole dans
un repère cartésien
Equation de la forme : y = a x²
; cas avec : a > 0 et cas avec a < 0
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Formation Niveau
V (BEP) |
OBJECTIFS : - définir une parabole et
Savoir identifier et tracer y = a x² ; (avec « a » = 1) |
II ) ENVIRONNEMENT du dossier :
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Dossier précédent : |
Dossier suivant : 1°)Etude de la fonction « ax²
+ bx +c » |
Info : Ici :
Info plus le tracé de la fonction « x² » et « -x² »….. |
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Travaux auto
- formation. |
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Corrigé des travaux
auto - formation. |
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Corrigé |
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V ) DEVOIRS
( écrits):
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Devoir diagnostique L tests. |
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Devoir
Auto - formatif (intégré
au cours) |
Ÿ |
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Devoir Formatif « Contrôle :
savoir » ; (remédiation) |
Ÿ |
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Ÿ |
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Devoir sommatif. |
Ÿ |
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Devoir certificatif : (remédiation) |
Ÿ |
* remédiation : ces
documents peuvent être réutilisés ( tout ou partie) pour conclure une formation
.
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Leçon |
Les études de FONCTIONS : |
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Niveau V ; IV |
La Fonction « a
x² » est une fonction
dite : « paire » :
(puissance « paire »)
Rappel sur l’écriture
utilisée :
Le mot « Fonction » :est noté
« f »
La lettre « x »
est appelée « variable ».
(ce sera un nombre pris dans un ensemble de nombre)
Pour l’écriture « f
(x) » ; lire « éffe de ixe » ;
comprendre « en fonction de
x »
Pour passer de « x » à « f(x) » on a besoin d’une relation
mathématique notée : R
Convention
d’écriture : La flèche à
talon : « 
» doit se traduire par : «à pour
image »
x
f (x)
on doit lire :
« ixe a
pour image « éffe » de « ixe » »
exemple soit l’équation
« y= 4x » pour « x = 5 » on trouve « y = 20 » ; f(x) = 20
ainsi pour 5 20
on lit : pour «5 » (nombre
appartenant aux nombres de l’ensemble de départ) on obtient « 20 » (nombre appartenant aux nombres de l’ensemble d’arrivée)
ainsi pour : y = 4x
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« x » |
« a pour image » |
f(x) |
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-2 |
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-8 |
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1 |
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4 |
|
2 |
|
8 |
|
7 |
|
28 |
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8,4 |
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33,6 |
On peut prolonger le tableau suivant :
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f(x) |
Egale |
y |
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f (-2) |
= |
-8 |
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f (1) |
= |
4 |
|
f (2) |
= |
8 |
|
f (7) |
= |
28 |
|
f (8,4) |
= |
33,6 |
ACTIVITE : TRACE de la « Parabole »
Calculer les carrés des
nombres entiers consécutifs, en commençant par l’unité.
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Carré de 1 égale |
1 ´ 1 = 1
² = 1 |
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Carré de 2 égale |
2 ´ 2 = 4 |
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Carré de égale |
3 ´
3 =
9 |
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Carré de égale |
´ = |
|
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Carré de égale |
´ = |
|
|
Carré de égale |
´ = |
|
|
Carré de égale |
´ = |
|
|
Carré de égale |
´ = |
|
|
Carré de égale |
´ = |
|
|
Carré de égale |
´ = |
|
|
Carré de égale |
´ = |
|
|
Carré de égale |
´ = |
|
On trouverait ainsi les
carrés des « n » premiers
nombres. (appelés aussi
« carrés parfaits ».)
Nous remplaçons les nombres
par la lettre générale « x » , le carré de ces nombres sera
représenté par la lettre « y » , et l’on aura : y =
x²
Construisons le graphique
de cette fonction , « x » étant la variable et prenant les valeurs 1 ; 2 ; 3 ;
4 ; …….etc.
On obtiendra pour les
valeurs correspondantes de « y » : 1 ; 4 ; 9 ; 16 ;
….etc. ;
En portant ces valeurs sur
les deux axes ( voir « repère cartésien) )
On obtient des points
d’intersection O’ ; O’’ ; O’’’
Joignons ces points. On
voit qu’on n’obtient plus une droite , mais une courbe d’une « forme
spéciale ».
Donnons maintenant à
« x » des valeurs négatives , soit : -1 ; - 2 ; - 3 ; -4 , les valeurs correspondantes de
« y » seront : + 1 ; + 4 ; + 9 ; +16 ; ….etc. ( ici : SOS calculs ) et la courbe
représentative sera la ligne O, ; O,, ; O ,,, .;
On remarque que cette
portion de courbe est absolument le symétrique de la portion de courbe
O’ ; O’’ ; O’’’
Les deux portions de
courbes n’en forment qu’une, Cette courbe est tangente à l’axe « x’
x » en « O »
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En géométrie, cette courbe est
appelée « parabole ».
On définit la parabole
ainsi :
La distance d’un point de la parabole à l’axe
« x x’ » est proportionnelle au carré de la distance de ce point à
l’axe « y y’ »
(voir une explication avec l’ exemple : exercice n°1 sur la
chute des corps)
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h (x) = x² ; de la
forme « y = a x² » , avec « a = 1» positif |
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Graphique général de y = a x² |
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Que « x » soit
positif ou négatif , « x² » sera toujours positif. Si « a » est
positif, « x » pouvant être positif ou négatif , la courbe est
identique à celle ci dessus, c’est à dire qu’elle se trouve au - dessus de la
ligne représentant l’axe « x ‘ O x » Si « a » est négatif,
« x » pouvant être positif ou négatif , la courbe obtenue est une
parabole symétrique à la première, mais disposée au - dessous de la
ligne « x’ O x ». |
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La Fonction
« a x² » est une fonction
dite : paire : (puissance
« paire »)
Une
fonction f de E vers F est dite « paire » si pour tout
« x » pour lequel f(x) existe,
f (-x) existe également et
on écrit : f(-x) = f(x)
Dans un repère orthonormal la
représentation graphique d’une fonction
paire est symétrique par rapport à l’axe
des ordonnées (axe des « y »).
Exemple :
la fonction f de R vers R telle que f(x) = a x2 est paire.
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Sa représentation
graphique est une parabole lors que l’on prendre une valeur de
« a » différente de « 1 »
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Cas a < 0 |
Cas :
a >0 |
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Leçon |
Titre |
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N° |
TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION Sur le
tracé d’une parabole |
1°) donner la définition
d’une parabole
2°) dans un repère
cartésien donner l’allure d’une parabole .
3°) donner l’équation qui
permet de tracer une parabole .
TRAVAUX N° d
‘ AUTO - FORMATION EVALUATION
Tracer
dans un premier repère
cartésien une parabole :
Avec : -10 £ x £ +10
et -1 £ y £ +100