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DOC :
Formation Individualisée LA PARABOLE. |
DOC : Elève. |
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Notions |
:i |
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Les ensembles de nombres |
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Les tableaux numériques à
doubles entrées |
:i |
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Fonction et application |
:i |
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Les repères cartésiens |
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DOSSIER
N° : Matière : MATHS Leçon : LES FONCTIONS |
Information
« TRAVAUX » |
Savoir construire une parabole
dans un repère cartésien
Equation de la
forme : y = a x² ; cas avec : a > 0 et cas avec a < 0
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Formation
Niveau V (BEP) |
OBJECTIFS : - définir une
parabole et Savoir identifier et
tracer y = a x² ; (avec « a » = 1) |
II )
ENVIRONNEMENT du dossier :
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Dossier précédent : |
Dossier suivant : 1°)Etude
de la fonction « ax² + bx +c » |
Info : Ici : Info plus le tracé de la fonction « x² »
et « -x² »….. |
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Travaux auto - formation. |
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Corrigé des travaux auto - formation. |
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Contrôle |
évaluation |
Corrigé |
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V )
DEVOIRS ( écrits):
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Devoir diagnostique L tests. |
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Devoir
Auto - formatif (intégré
au cours) |
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Devoir Formatif « Contrôle :
savoir » ; (remédiation) |
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Devoir sommatif. |
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Devoir
certificatif : (remédiation) |
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*
remédiation : ces documents peuvent être réutilisés (
tout ou partie) pour conclure une formation .
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Leçon |
Les études
de FONCTIONS : |
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Niveau V ; IV |
La Fonction
« a x² » est une fonction
dite : « paire » : (puissance
« paire »)
Rappel sur l’écriture utilisée :
Le mot
« Fonction » :est noté
« f »
La lettre
« x » est appelée
« variable ». (ce sera un nombre pris dans un ensemble de nombre)
Pour
l’écriture « f (x) » ; lire « éffe de ixe » ;
comprendre « en fonction de
x »
Pour
passer de « x » à « f(x) » on a besoin d’une
relation mathématique notée : R
Convention d’écriture : La flèche
à talon : « 
» doit se traduire par : «à pour
image »
x
f (x)
on doit lire : « ixe a
pour image « éffe » de « ixe » »
exemple soit
l’équation « y= 4x »
pour « x = 5 » on
trouve « y = 20 » ; f(x) = 20
ainsi pour
5 20
on lit : pour «5 » (nombre
appartenant aux nombres de l’ensemble de départ) on obtient « 20 » (nombre appartenant aux nombres de l’ensemble d’arrivée)
ainsi pour : y = 4x
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« x » |
« a pour image » |
f(x) |
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-2 |
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-8 |
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1 |
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4 |
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2 |
|
8 |
|
7 |
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28 |
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8,4 |
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33,6 |
On peut prolonger le tableau suivant :
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f(x) |
Egale |
y |
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f
(-2) |
= |
-8 |
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f
(1) |
= |
4 |
|
f
(2) |
= |
8 |
|
f
(7) |
= |
28 |
|
f
(8,4) |
= |
33,6 |
ACTIVITE : TRACE de la
« Parabole »
Calculer les
carrés des nombres entiers consécutifs, en commençant par l’unité.
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Carré de 1 égale |
1 ´ 1
= 1 ² = 1 |
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Carré de
2 égale |
2 ´ 2
= 4 |
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Carré de égale |
3 ´ 3
= 9 |
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Carré de égale |
´ = |
|
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Carré de égale |
´ = |
|
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Carré de égale |
´ = |
|
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Carré de égale |
´ = |
|
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Carré de égale |
´ = |
|
|
Carré de égale |
´ = |
|
|
Carré de égale |
´ = |
|
|
Carré de égale |
´ = |
|
|
Carré de égale |
´ = |
|
On
trouverait ainsi les carrés des
« n » premiers nombres. (appelés aussi
« carrés parfaits ».)
Nous remplaçons
les nombres par la lettre générale « x » ,
le carré de ces nombres sera représenté par la lettre « y » , et l’on
aura : y = x²
Construisons
le graphique de cette fonction , « x » étant
la variable et prenant les valeurs
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; …….etc.
On obtiendra
pour les valeurs correspondantes de « y » : 1 ; 4 ; 9 ; 16 ;
….etc. ;
En portant
ces valeurs sur les deux axes ( voir « repère cartésien) )
On obtient
des points d’intersection O’ ; O’’ ; O’’’
Joignons ces
points. On voit qu’on n’obtient plus une droite , mais
une courbe d’une « forme spéciale ».
Donnons
maintenant à « x » des valeurs négatives ,
soit : -1 ; - 2 ; -
3 ; -4 , les valeurs
correspondantes de « y » seront : + 1 ; + 4 ; + 9 ; +16 ; ….etc. ( ici : SOS calculs ) et la
courbe représentative sera la
ligne O, ; O,, ;
O ,,, .;
On remarque
que cette portion de courbe est absolument le
symétrique de la portion de courbe O’ ; O’’ ;
O’’’
Les deux
portions de courbes n’en forment qu’une, Cette courbe est tangente à l’axe
« x’ x » en « O »
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En géométrie, cette
courbe est appelée « parabole ».
On définit
la parabole ainsi :
La distance
d’un point de la parabole à l’axe « x x’ » est proportionnelle au carré de la distance de ce
point à l’axe « y y’ »
(voir une
explication avec l’
exemple : exercice n°1 sur la chute des corps)
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h (x) = x² ; de
la forme « y = a x² » , avec
« a = 1» positif |
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Graphique
général de y = a x² |
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Que
« x » soit positif ou négatif ,
« x² » sera toujours positif. Si
« a » est positif, « x » pouvant être positif ou négatif , la courbe est identique à celle
ci dessus, c’est à dire qu’elle se trouve au - dessus de la ligne
représentant l’axe « x ‘ O x » Si « a » est négatif,
« x » pouvant être positif ou négatif , la
courbe obtenue est une parabole symétrique à la première, mais disposée au -
dessous de la ligne « x’ O
x ». |
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La Fonction « a x² »
est une fonction dite : paire :
(puissance « paire »)
Une fonction f de E vers F est dite « paire »
si pour tout « x » pour lequel f(x)
existe, f (-x) existe également et
on écrit : f(-x) = f(x)
Dans un repère
orthonormal la représentation graphique d’une fonction paire est symétrique par rapport à
l’axe des ordonnées (axe des « y »).
Exemple : la fonction f
de R vers R telle que f(x)
= a x2 est paire.
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Sa
représentation graphique est une parabole lors que l’on prendre une valeur de
« a » différente de « 1 »
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Cas a < 0 |
Cas : a >0 |
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Leçon |
Titre |
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N° |
TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION
Sur le
tracé d’une parabole |
1°) donner la
définition d’une parabole
2°) dans un
repère cartésien donner l’allure d’une parabole .
3°) donner
l’équation qui permet de tracer une parabole .
TRAVAUX N° d ‘ AUTO - FORMATION EVALUATION
Tracer
dans un premier repère
cartésien une parabole :
Avec : -10 £ x £ +10
et -1 £ y £ +100