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Série   3

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INFORMATIONS PEDAGOGIQUES :

DOSSIER 

Matière :  MATHEMATIQUES

 « TRAVAUX »

 

 

TITRE :    le second degré et applications en interdisciplinarité

 

Classe :        

NIVEAU :

OBJECTIFS :

- Savoir

 

 

I ) Pré requis: (pour remédiation ou mise à niveau)

 

 

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Vers  un devoir

 

Info sur : La parabole . :

>>>   Les équations irrationnelles.

 

 

Leçon

Titre

 

le second degré et applications en interdisciplinarité ( suite 3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dans ce document vous trouverez des applications du second degré.  

 

Série 1 : EQUATIONS INCOMPLETES  de la  forme :   y = ax²

Série 2 : EQUATIONS COMPLETES  de la  forme :   y = ax² + bx + c

 

Exercices et  situations problèmes débouchant sur le cours. 

Série 1 : EQUATIONS INCOMPLETES  de la   Forme y = ax²

 

Physique N°1 :

 

On demande le temps que mettrait un caillou  tombant de la tour Eiffel sur le sol , sachant que la  hauteur de la tour est de 300 mètres et que la formule de la chute des corps est :

Espace parcouru noté  (e) :       (1)

 

( « g » est l’accélération gravitationnelle dont on prendra pour valeur 9,80 m .s-2 ) et « t » est le temps) , on négligera la résistance de l’air.

Solution :

 

On remplace dans l’équation (1)     

 

Ce qui donne après transformation : 

 

        

 

Ici la solution positive est la seule admissible .

 

   le caillou mettrait   environ  7 secondes pour toucher le sol .

 

On apprend en Physique que les espaces parcourus par un corps qui tombe librement  sont « proportionnels aux carrés des temps employés à les parcourir ».On obtiendrait dans la représentation graphique  d’une demi -  parabole .

 

 

Physique n°2 :

 

On demande de calculer l’espace parcouru par un corps qui tombe : pendant la première seconde ; puis après deux secondes , puis après trois secondes, etc.

On ne tiendra pas compte de la résistance de l’air.)

 

Solution :

 

D’après la formule on a :   ( « g » représente l’accélération  soit 9,80 m /s²)

 

Après la première seconde :  

 

Après la deuxième  seconde   :

Après la troisième seconde :   

  Et ainsi de suite :

Nous pouvons représenter graphiquement cette fonction :

 

 

    devient     

 

qui est de la forme y = a x²   où « a » est représenté par « 4,90 »

En remplaçant « x » et « y » par leurs valeurs ci dessus , et en portant celles - ci sur les axes  on obtient des points d’intersections .  Si l’on joint ceux ci on trouve la moitié d’une parabole ; car ici , on ne peut pas envisager des valeurs négatives de « x » . (comme au Pb N°1 précédent).

Commentaires : 1 : le coefficient de « x² » est ici « 4,9 » représenté par « a » qui est donc un nombre positif.

La  parabole n’aura donc que la branche positive.

Commentaire 2 : cette branche appartient à une parabole  qui est effilée , si l’on peut dire qu’une parabole dont le coefficient de « a » serait  égal à « 1 ».

La courbe précédente est la courbe de la chute des corps.

On peut y vérifier que les vitesses après chaque seconde sont proportionnelles aux temps passés , ce qui se montre expérimentalement en Physique.

Effectivement :

L’ accélération :

Dans la première seconde , l’espace parcouru a été de  4,90 m .

Dans la deuxième seconde , cet espace a été de  19,60 m - 4,90 m  soit de  14,70 m ; c’est à dire de  4,90 m  +  9,80 m   , après la première seconde la vitesse a donc augmenté de 9,80 m.

Dans la troisième seconde , l’espace parcouru a été de  44,10 m - 19,60 m soit de 24,50 m , c’est à dire 4,90 m  +  17,60 m  ou bien de   4,90 m +  2 fois 9, 80 m  et ainsi de suite .

La vitesse augmente  de 9,80 m à chaque seconde. Ce nombre est appelé l’ accélération.

 

 

 

Série 2 : EQUATIONS COMPLETES  de la  forme :   y = ax² + bx + c

Arithmétique .  On achète un certain nombre de mètres de tissu pour une somme de 600 euros. Si on avait payé le mètre  10 euros de moins , on aurait acquis 3 mètres de plus pour la même somme. On demande de calculer le nombre primitif de mètres et le valeur primitif du mètre.

 

Soient « y »  le nombre primitif de mètres et « x » le prix primitif du mètre.

On tire l’ équation ( 1 ) :  x y = 600   (euros)

D’autre part , on peut aussi tirer de l’énoncé , la 2ème équation ( 2 ) :

                                      ( x - 10 ) ( y + 3 ) = 600     (euros)

Nous tirons la valeur de « x » , dans l’équation ( 1 ) et nous la portons dans l’ équation ( 2) , on a :

 

                              

 

                               ( 600 - 10 y ) ( y  + 3 )  =  600 y

 

                                600 y - 10 y² + 1800  - 30 y  = 600 y

 

                                10 y² + 30 y = 1800

 

                                   + 3 y  = 180 

Nous arrivons ainsi à l’équation complète du 2ème degré :

                                y ²   + 3 y  - 180 = 0

 

Première façon de résoudre : à partir de l’équation           + 3 y  = 180

 

On déclare que l’expression « y² + 3 y »  est le commencement  d’un carré parfait. On sait que le carré d’une somme ( a + b)  est égal à :

               a²  + 2 ab + b²

Ici , « a² » est représenté par « y² » , de même « 2ab » est représenté par « 3y », et par suite « 2b » est représenté par « 3 »

   2 b  = 3

 

On peut avoir « b² » , ce sera :

 

De sorte que l’expression :  + 3 y +

 

Sera le carré parfait de

                                        

 

Ajoutons   au 2 membres de l’équation : y²   + 3 y  +  = 180  +

Ou :   =  180  +

 

 

Extrayons la racine carrée  des  deux membres :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

On obtient deux réponses : 

 

 

 

 

 

 

En conclusion : la réponse positive est seule acceptable dans ce problème.

Le nombre primitif de mètres est donc bien 12 , et par suite le prix primitif du mètre  était de :

 

 

Généralisation :

Deuxième façon de résoudre  débouchant sur une généralisation.

Nous reprenons l’équation        10 y²   + 30  y  = 1800 

Elle peut se mettre sous la forme :                    10 y ² + 30 y - 1800 = 0

 

Ou encore sous la forme :                                10  x ² + 30 x - 1800 = 0

Pour plus de simplicité , on peut supposer  que le nombre  1800  est positif , et l’on a :  10  x ² + 30 x + 1800 = 0

D’autre part , nous remplaçons le coefficient « 10 » par « a » , terme connu , le coefficient  « 30 » par « b » , terme  connu , et le nombre 1 800 , également terme connu , par « c ». On a l’équation type du 2ème degré.

                       a x²   + b x + c = 0

Résolvons - la , comme  nous avons résolu l’équation du problème : on a  successivement :      a x² + b x = -  c

Divisons  tout  par « a » : 

Complétons le carré du premier membre en ajoutant aux deux membres la moitié du coefficient de « x » , cette moitié  étant  élevée au carré , et égalisons :

      ou 

 

Extrayons la racine dans les deux membres :

 

 

 

Ou

 

 

Ou

 

 

Ou

 

 

Et

 

 

Les deux réponses sont :

 

 

 

 

 

 

 

 

On les appelle  « les racines » ou « les solutions » de l’équation.

Règle : pour trouver la valeur de « x »  dans une équation complète du 2ème degré mise sous la forme  «  a x² + b x + c = 0 » on écrit  que :

« x » est égal au coefficient de « b » changé de signe , plus ou moins la racine carrée de la différence suivante ( carré du coefficient de « x » moins 4 fois le produit du coefficient de « x² »  par « c »). Le tout devra être divisé par deux fois le coefficient de « x² ».

Remarque : Trois cas peuvent de présenter dans le calcul des valeurs de « x’ » et « x ‘’»

1er Cas :       - 4 ac > 0

Dans ce cas , l’ équation aura deux racines , c’est à dire deux réponses , puisque la quantité sous le radical a une valeur positive.

2ème cas :     b² - 4 ac  = 0

 

Dans ce cas , la quantité sous le radical disparaît  et on obtient :

 

 

 

 

 

 

Il n’ y a plus qu’une seule réponse , puisque les deux racines sont égales.

 

3ème cas :  - 4 ac  < 0

 

Dans ce cas , la quantité sous le radical est négative , la racine ne pouvant  pas être extraite , il n’y aura pas de racines , c’est à dire « pas de réponses ».

 

 

 

Résoudre : 10 y²   + 30  y  = 1800 

 Soit     x ²  + 3 y - 180 = 0 

On écrira :

 

 

 

 

 

L’expression  est positive, il y aura deux réponses :

 

 

 

 

 

 L’équation  x ²  + 3 y - 180 = 0    a pour racines :   x’  =  12 ;    x ‘’ = 15

 

 

RELATIONS ENTRE LES COEFFICIENTS ET LES RACINES DE L’EQUATION

 

 

De la forme

«  a x² + b x + c = 0 »

Somme des racines :

 

Nous savons que les racines de l’équation sont :

 

 

 

 

 

 

Faisons la somme de ces égalités , on peut écrire :

 

x’  + x ‘’  = 

 

Les fractions à numérateurs irrationnels s’annulent , et il reste :

x’  + x ‘’  = 

On en conclut que : la somme  des racines  est égale au quotient  changé de signe du coefficient  (b) de « x » par le coefficient (a ) de « x² »

Produit des racines .

Le produit des numérateurs est :

 qui est le produit de la somme de deux quantités par leur différence , ce qui donne :   b² - b² + 4 ac    soit     4 ac

 

Le produit des dénominateur est : 2 a  ´ 2 a =  4 a²

En dernière analyse on a : 

 

On en conclut que : le produit des racines est égal au quotient du terme connu, représenté par « c »  avec son signe , par le coefficient  (a) de « x² »

 

 

APPLICATION :  Conduisant à la factorisation :

Former une équation du second degré , connaissant ses racines ;

Ces racines sont :  + 1  et 

On a la   « somme des racines » :

    

 + 1  +   = 

 

On a le produit des racines

 

 

on voit que , dans l’équation demandée , « a » est représenté par + 4 , « b » par «3 »  et  « c »  est représenté par  « -7 » .

 

On aura donc l’équation : 4 x² + 3x - 7 = 0 

 

 

 


Problème de géométrie :

 

On demande de calculer les deux côtés d’un rectangle , sachant que le périmètre est de 68 mètres et que la diagonale mesure 26 mètres.

 

Solution :

Soient « x » et « y » les côtés du rectangle ; On a les équations suivantes :

 

   2 ( x + y ) = 68       ( 1  )    voir   périmètre  du rectangle «  2 ( L + l ) »

     +    =   26 ²     ( 2  )   voir « Pythagore »

 

Nous cherchons la valeur de  « y » dans l’équation (1) , et nous introduisons cette valeur dans l’équation (2) . On a :

          x  + y  =   = 34

                 y =  34 - x

 et  

               + ( 34  - x ) ²  = 676

on développe : 

           x² + 1156  + x² - 68 x   = 676

 

après réduction on obtient :

 

             -  34 x  + 240 = 0

 

On tire les valeurs  de « x » :

 

     

 

 

Les deux réponses sont :   x ‘  = 24    ; x’’   =  10

 

Ces deux réponses sont acceptables , en ce sens donnent les valeurs des deux côtés du rectangle.

 

 


ARTIFICES DE CALCULS :

 

 

 

La somme de deux nombres étant « 10 »  et leur produit « 24 », quels sont ces deux nombres ?

 

                                 Résolution n°1

 

On aura évidemment  les deux équations :

(1)                                      x + y = 10

(2)                                    x y   = 24

 

En introduisant dans l’équation (1) la valeur de « x » tirée dans l’équation (2) , on aura :

                             

et                    - 10 y + 24  = 0

 

ce qui donne :

 

                    

 

 

Commentaire  1  : résolution n°2

 

 On voit qu’il a fallu appliquer ici les règles de résolution de l’équation du second degré . On aurait pu éviter cette résolution par l’artifice de calcul suivant :

 

Nous élevons au carré l’équation (1) et quadruplons l’équation (2) ;

On aura :          x² + y ²  + 2 x y  = 100

 

                                        4 x y =  96

Soustrayons membre à membre ces deux équations , on a :

 

                     + y²  - 2 x y =   4       [ soit   ( x - y ) ²  = 4   ]     

 

Effectuons la racine carré de chaque membre :     x - y = 2          (3)

Additionnons les équation ( 1) et  ( 3)

 

              x + y   + x - y =   10  + 2

                2x   = 12

                    x = 6

 

alors  de ( 1)    x + y = 10      on  obtient :    6 + y  = 10     donc    «  y =  4 » 

 

 

 

Commentaire 2 :  résolution n°3  aussi possible :

 

On aurait pu , en s’appuyant , sur les relation entre les coefficients et les racines , trouver tout de suite l’équation :

 

l’équation  sera :   x² - 10 x + 24  = 0 ; cette équation est absolument identique à la précédente :      «  y²  - 10 y  + 24  = 0 »

 

 

 

Problème de  Géométrie :

 On demande  d’inscrire, dans un demi - cercle  de diamètre AOB , un rectangle dont on connaît  la surface. Le rayon « R » est connu et la surface sera représentée par « m ».

Soit le demi - cercle ci - contre :

Solution :

Supposons le problème résolu et le rectangle MNPR inscrit dans le demi - cercle . Menons OO’ .

On prendra comme inconnue : MS = x ; et  MR = y

 

On pourra écrire l’équation :

   « 2x »  fois « y »   =  m        soit             2 x y = m               (1)

 

D’autre part , en menant MO , on a :        + x²  = R²            (2)

 

On a à résoudre le système suivant :

On additionne membre à membre :

 

                    +  x² + 2 x y = R² + m    soit    ( y  +  x )² = R² + m   

 

On soustrait membre à membre :

                      + x²  - 2 xy   =  R ²  - m   soit    ( y  -  x )² = R² - m   

 

 

on tirera   x + y  =                         ( 3 )

et             x - y   =                          ( 4 )

 

 

 

 

On additionne :

  2 x =     +   

  

 

On trouvera « y » en soustrayant les équations (3) et (4)

Il y a donc les 2 réponses .

 

Discussion : On voit que pour que le problème  soit possible , il faut que

  R² - m >  0   ou que           > m

 

C’est à dire que le carré du rayon  donné doit  être plus grand que l’aire de la surface donnée.

 

1°)  si   R² > m  , il y a donc deux solutions : les précédentes .

2°) si R²   = m , les valeurs de « x » et « y » sont les mêmes , c’est à dire :

          et           

 

 

Dans ce cas , « m » a pris la plus forte valeur qu’il pouvait prendre. Cette valeur représente la plus grande surface que peut prendre le rectangle inscrit , et cette surface correspond à :

x = y

c’est à dire que le rectangle aura pour côtés :

2x et x

et que dans la figure , on aura : M N = 2 MR

 

Remarque : On dit alors que le rectangle inscrit a pris le maximum de sa valeur , ses côtés variant , l’un ( MN) de 2R à O et l’autre (MR) de O à R .

 

3°) Si R² < m ; le problème est impossible .

 

 

SUITE 1  :Les équations irrationnelles

SUITE 2 : les  équations bicarrées