Pré requis:

Factoriser - développer

Les I .R .

INFO :

Index        

Objectif précédent :

1°) Cours résumé :

2°)  Résolution d’exercices et de problèmes du  second degré     

INFO :

 1°) Suite cours « théorique »

2 °) La  Fonction du second degré

3°) La  forme canonique.

Objectifs suivants:

 

1°) Les équations du second degré (présentation)

2°)Le Système d’équations du second degré.  

Tableau :

 

1°)Vers : « second degré » en formation bac prof.

 

2°) Les équations du second degré (présentation)

 

3°)  Sommaire sur le second degré.

 

DOSSIER :   Résolution des équations BICARREES

1-

Cours 1 /2 

 

2)

Cours 2 /2  

 

Vocabulaire :

Attention le mot « racine » a deux significations :

1- La  ou les  « racine(s) » pour désigner «  la  ou les solutions » de l’équation .

2- La racine  qui  désigne que l’on calcule la racine carrée du discriminant. 

 

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoirs évaluations :

- Série 1

- Série 2

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 


 

 

 

 

Cours  1 / 2

 

 

Définition :

 

N°1 : On appelle ainsi les équations du 4ème degré qui peuvent se ramener au 2ème degré , parce qu’elles ne présentent que des puissances paires de l’in connue.

 

Soit résoudre  l’équation bicarrée :    4 x 4 - 9 x²  + 5  = 0

 

On remplacera « x² » par « y » , et on aura l’équation du 2ème degré :

                         4 y²  - 9 y + 5  = 0

 

ce qui donnera 

On aura  les réponses :

 

             y ‘  =     et    y’’  =  1

Mais

        x ²  =  y ‘  et    x² = y ’’

 

on aura donc :    x² =          donc       et « x » =

ce qui donnera  les deux valeurs :

« x ’ » =    et « x ‘’ » =

D’autre part on a aussi :                    x² = 1

 

Ce qui donnera  encore deux autres valeurs :

 

                      «  x ‘’’ »  = + 1

                       « x ‘’’’ »   = - 1

Conclusion : on aura ainsi quatre valeurs pour « x » , ce sera :

« x ’ » =    ;   « x ‘’ » =  ; «  x ‘’’ »  = + 1 ;   « x ‘’’’ »   = - 1

Commentaire : Il peut se faire qu’une des valeurs obtenues pour  « y » soit une valeur négative. Dans ce cas,  on n’aura que deux solutions ( ou racines ) .

 

 

 

 

 

 

 

COURS 2/ 2

 

Cours n°2 :

Définition :

N°2 : On appelle  «  équation  bicarrée »  une équation du quatrième degré, ne renfermant que des puissances paires de l’inconnue.

Une telle équation peut toujours être « ramenée » à la forme :

                                              

(1)                                  a x4  + b x² + c = 0

 

On résout facilement l’équation bicarrée par un changement d’inconnue :

 

Nous  posons :      = y    d’ où    x =

L’équation (1) devient :

 

(2)                               a y² + b y + c = 0           qui est une équation de second degré en « y »

 

Dans le cas général , l’ équation (2) donne deux valeurs pour « y »

 

                                               y =  

 Soit  quatre valeurs  pour « x » :

 

                                               y =   

 

Exemple 1 :                     x 4  - 25 x² +  144 = 0           (1)

 

d’ où                                 = y ;   x =

 

L’équation (1) devient :   y ² + 25 y + 144  =  0

 

 

Elle admet pour solutions :    y’ = + 16   ;   y ‘ =  + 9

 

D’ où   x1   =  +   = +4    ; x2 =   -  = - 4 ; x 3 = +   =  + 3 ; x 4 = -   =  - 3 

 

Conclusion : l’équation proposée admet quatre solutions.

 

 Exemple 2 :              x 4  - 12 x² - 64  = 0           (1)

 

d’ où                                 = y ;   x =

 

L’équation (1) devient :   y ² -  12 y + 64  =  0

 

 

Elle admet pour solutions :    y’ = + 16   ;   y ‘ =  - 4

 

D’ où   x1   =  +   = +4    ; x2 =   -  = - 4 ;

 

Et :

  x 3   =  +   

  x 4   =  +   

Ces solutions ne sont pas calculables

 

L’équation proposée n’admet que deux solutions calculables.

 

 

Application : ( pour celui qui veut se faire plaisir !!!)

 

Soit l’équation :  ( 1 - x² ) L²É4 - 2  É² +  = 0

 

Dans laquelle É , L , C , x  sont des grandeurs essentiellement positives ; É est l’inconnue, L , C sont connues , « x » est un paramètre.

 

Posons ɲ = y ;  É = 

L’équation proposée devient :  ( 1 - x² ) L² y ²  - 2  y  +  = 0

 

Multiplions par C² :   ( 1 - x² ) L² C² y ²  - 2 L C  y  + 1 = 0

 

Identifions les coefficients :

 

    a = (1 - x²) L² C²   ; b =   - 2 L C ;    b’ = LC ;  c =   + 1

 

Calcul   de   ‘ :  L² C² - ( 1 - x²) L²C²  =   L²C² - L²C² + L²C²x²

                  

                                                           ‘ = L²C²x²

Calcul de   = L C x

 

y ‘  =

 

Commentaire :        Cette valeur est positive  si x < 1

y ‘‘  =

 

É’ =     et     É’’ =

 

Commentaire :      Si x > 1  seule la valeur de  É’’ est positive.

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE :

Que signifie « résoudre » ?

Donner la procédure qui permet de résoudre une équation  bicarrée :

EVALUATION:

 

Résoudre les équations bicarrées :

 

Série 1

 

      a)     4 x 4 - 9 x²  + 5  = 0

 

      b)     x 4  - 25 x² +  144 = 0          

 

c)          x 4  - 12 x² - 64  = 0

 

  

(les corrigés sont dans les cours)

Série  2       

1.          

    x4  - 12 x²     =   25

 

2.        

   3 x4 - 13 x² + 4 = 0

 

3.        

   x4 + 2 x²  - 24   = 0

 

4.        

    x4  - 8 x² - 9 = 0

 

 

Suite  :

 

5.        

      x4  - 5 x² + 4 = 0

 

6.        

    x4  - 13 x² + 36  = 0