Pré requis:

Nomenclature 1

Factoriser la forme « ax2+b x +c »

Forme canonique du "second degré"

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index

Objectif précédent :

1°) Résoudre l’équation incomplète de la forme : ax² + b x = 0  

2°) résolution des équations du second degré ( incomplètes ou complètes)

 

Objectif suivant :

1°) la forme canonique du « second degré ».

2°) factorisation avec les IR

3°) Voir étude de la fonction du trinôme du second degré.

 

1.       tableau :

2.     Résoudre le second degré

3.        Les fonctions  

DOSSIER : Résolution de l’ EQUATION du second degré  «  complète » du type  ax2+bx+c  = 0

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

COURS

 

Définition :

Info plus +++

 

Une équation du second degré à une inconnue est une équation de la forme : ax2 + bx + c = 0

 

« x » étant l’inconnue et « a » ; « b » ; « c » des données ,

remarque : « a » étant différent de zéro ,sinon l’équation serait du premier degré.

 

Le premier membre de cette équation est la somme  de trois termes :

 

« ax2 »  est le premier terme du second degré.

 

«  bx »   est le second terme du premier degré.

 

 « »      est le troisième terme , appelé « indépendant de « x »  ou « constant »

 

« a » , « b » , « c » s’appellent les coefficients

 

Rappels  sur la  résolution de l ‘ EQUATION INCOMPLÈTE ( les coefficients sont littéraux)

                                

     L’équation est dite « incomplète » si l’un des coefficient est nul .Comme « a » est essentiellement différent de zéro, l’équation est incomplète si « b » = 0 ou c = 0

 

Premier cas : b = 0

 

 l’équation s’écrit    ax2 +  c = 0

 

 

Elle est équivalente à :  ax2 = - c    ;                      x2 =

donc :

1°) si   < 0 l’ équation n’a pas de racine ; ( voir le nombre imaginaire)

 

2°) si  = 0   l’ équation a une racine  x = 0

 

3°) si  > 0  l’équation a 2 racines :  x =

 

 

deuxième cas : c = 0  , l’ équation s’écrit   ax2 + bx = 0

 

   ax2 + bx = 0

 

en factorisant on obtient            x  ( ax + b ) = 0

 

elle se décompose et donne :   x = 0  et  ax + b = 0

 

c’est à dire   x  = 0  et  x =  -

 

Remarque : « Pratiquement »  , pour résoudre une équation du second degré incomplète , il ne faut pas utiliser ces résultats littéraux  , mais refaire le calcul  pour  chaque équation considérée.

 

Fin du rappel.

 


Résolution d’une équation complète ( les coefficients sont des nombres)

 

Nous savons résoudre certaines équations  complètes d’une forme particulière .

 

I ) Ainsi , soit l’équation : ( x –2 )2 = 7

 

Cette équation se décompose en deux :

x - 2  =     et x-2 = -

 

par suite , elle admet deux racines :

x =2 +     et x = 2 -

On écrit :      x = 2 ±

 

II ) de même , pour résoudre l’ équation   4 ( x - 2)2 = 7

 

                      On écrira         ( x - 2)2 =

 

x-2 = 

 

x = 2

 

 

or , si nous développons   ( x - 2)2  , l’ équation précédente : 4 ( x - 2)2 = 7

s’écrit : 4 x 2 –16x + 9 = 0

c’est une équation du second degré « complète »

 

 

Pour résoudre une équation du  second degré complète , nous pouvons la mettre sous une forme  analogue à    « ( x - 2)2 =  »

 

Exemple : résoudre l’ équation  2x2 + 9 x + 5 = 0

 

Divisons  les deux membres  par 2 , on obtient : x2 +  x +  = 0

 

x2 +  x est le commencement du développement du carré de « x +  x »

 ( qui est égal à x2 + x +  )

 

nous écrirons  donc l’ équation précédente :

x2 + x + -  +   =  0

 

( x + )2 -= 0

 

( x + )2  =

Par  suite  on a :

 

Soit x + =       ; Soit x + = - 

C’est à dire : x = -+   et x = --

 

On écrit                                      x =


CAS GENERAL (Equation à coefficients sont littéraux):

 

 Afin  d’examiner  tous les cas qui peuvent se présenter, nous  procéderons comme dans l’exemple précédent avec l’équation générale :

 

ax2 + b x + c = 0

« a »,  « b » et « c » ne sont pas nuls.

 

En divisant les deux membres de l’équation par « a » (qui est différent de 0 ) on obtient :

x2  + x +

ainsi :         x2  + x  est  le commencement  du développement du carré   de    

           

« x  +  »   ;             qui  est égal à x2  + x +

 

          nous écrirons donc l’équation précédente :

x2  + x +-+ = 0

 

( x  + )2 -  = 0

 

 

on obtenons : ( x  + )2     =

 

le premier membre est un carré ; donc quel que soit « x » , il est positif ou nul.  Nous sommes donc amenés  à distinguer plusieurs cas suivant que le second membre est positif ; négatif ou nul. Comme le  dénominateur  est positif ; ces 3 cas sont :

 

b2 – 4ac   < 0

 

b2 – 4ac   = 0

 

b2 – 4ac   > 0

 

 

 

Premier cas :

 

b2 – 4ac  <   0

Le deuxième membre est négatif ; donc l’égalité ne peut pas avoir lieu et l’ équation « ax2 + bx + c = 0 » n’a pas de racine.

 

 

 

Deuxième cas :

 

b2 – 4ac  = 0

 

Le deuxième membre est nul  et l’équation  « ( x  + )2     =  » s’ écrit : ( x  + )2  = 0

Ce qui donne : x  +  = 0   c’est à dire    que x = -

Donc , dans ce cas , l’ équation a une seule racine : -

 

Troisième cas :

 

b2 – 4ac  > 0

 

Le deuxième membre est positif.

L’équation «x  + )2     =   » se décompose en deux :

x  +    = +     et x  +    = -

 

ce qui donne :

x  = -  +     et    x  = -   -

 

Donc dans ce cas  , l’ équation a deux racines :

 

x’ =    et    x’’ =

 

 

on écrit :  x=

 

 Conclusion. On voit que l’équation a 0 ; 1 ou 2 racines suivants que b2 – 4ac  est négatif , positif ou nul .

               L’expression  « b2 – 4ac » s’appelle « le discriminant » de l’équation « ax2 + bx + c = 0 » et on la représente par la lettre ( delta)  D

 

Ainsi : D = b2 – 4ac

 

 

Les résultats que nous venons d’établir s’énoncent :

 

RÈSUMÈ :

 

1 ° )   Si D < 0

L’équation « ax2 + bx + c = 0 »  n’ a pas de racine

Commentaire : dans la représentation graphique de cette équation  la coupe ne « coupe » pas l’axe des « x ».

 

2°) si D = 0   ,  l’ équation a une racine égale à -   ( appelée : racine double)

 

3°) si D > 0  , l’ équation a deux racines données par les formules :

x=

 

 

remarque :

Les calculs  que nous faisons pour  le cas où  D > 0 s’appliquent lorsque D = 0 .Dans ce cas  , les deux racines x’ et x’’ deviennent toutes deux égales à    - .

 

Pour cette raison , on dit que , lorsque D = 0 , l’équation a deux racines ou une racine double .

 

Dans le cas où D > 0  , on dit que l’ équation a deux racines distinctes.

 

Informations  plus :

 

Forme conduisant à la forme canonique

Forme canonique  de la fonction polynôme du second degré.

 

Si f(x) = ax2 + bx + c

Avec a ¹0

 

RÈSOLUTION PRATIQUE :

 

 

Nous voyons que les calculs , pour résoudre  une équation complète du second degré, sont longs.

 

Dans la pratique :   On applique le théorème que nous venons de démontrer en commençant par former  D . Ainsi faut-il connaître sans hésitation les résultats énoncés précédemment et en particulier les formules : x=

 

Qui donnent les racines dans le cas où D est positif .

 

 

Exemples :

 

I )   Résoudre l’équation : 2x2 + 5x + 9 = 0

INFO +++++

 

Calcul du discriminant 

D = 25 –72 (= - 47)

D < 0 ; donc l’ équation n’a pas de racine .

 

 

II )   Résoudre l’équation : 3x2 + 7x + 1 = 0

INFO +++++

 

Calcul du discriminant 

D = 49 –12 (= 37)

D > 0 ; donc l’ équation n’a deux racines

 

x =

 


AUTRES REMARQUES :

 

Il existe  cependant des cas où il serait maladroit de procéder comme nous venons de l’indiquer .C’est lorsque l’équation est mise sous forme d’un produit  (P ) sous la forme  P = 0 ; ou peut être mis aisément sous la forme d’un produit de facteurs.

 

 

Exemples :

 

I ) résoudre l’équation ( 2x +1) ( 5x –3 ) = 0

L’équation se décompose en deux L  un produit est « nul » si l’un des facteurs est nul )

 

Ainsi :  ( 2x +1) 0 = 0   et 0 ( 5x –3 ) =  0

 

 2x +1  = 0   et  5x –3  =  0

on a donc  immédiatement les racines :

 

x =              et             x =

 

II ) résoudre l’équation :

 

( 3x-2 ) ( 4x-5) = (3x-2) ( 5x-2)

 

cette équation s’écrit :

( 3x-2 ) ( 4x-5) -  (3x-2) ( 5x-2)  = 0

on factorise :

( 3x-2 )  [( 4x-5) -  ( 5x-2) ] = 0

 

( 3x-2 )  [ 4x - 5 - 5x + 2 ] = 0

( 3x-2 )  [ -x –3 ] = 0

 

l’équation  se décompose en deux :

3 x - 2 = 0   et  - x –3  = 0

d’où les racines :   x   =          et        x   =   3

 

III ) Résoudre l’équation :

 

( 2x-3)2 = ( 5x + 8)2

 

Cette équation s’écrit  ( 2x-3)2 -( 5x + 8)2 = 0      ( voir les I.R. )

 

( 2x – 3 + 5 x  + 8 ) (2x – 3 – 5 x – 8 ) = 0

 

( 7 x + 5 ) ( - 3 x – 11) = 0

d’où les racines : x =   et  x = 

 

autre remarque N°2 :

 

 

Soit l’équation 2x2-4x –5 = 0 dans laquelle « a » et « c » sont de signe différent  le produit « ac » est négatif . Le  D = b2-4ac s’obtient en retranchant de b2 qui est positif un nombre négatif. Cela revient à lui ajouter un nombre positif . Le résultat est donc positif. Par suite :

 

Si dans une équation  du second degré : ax2 + bx + c = 0

« a » et « c » sont de signe différent ont peut affirmer que l’équation a deux racines distinctes.

 

 

autre remarque N°3. Si le coefficient « b » se présente sous  la forme 2b’ on a : 

D = b2 – 4ac  = 4 b’2 – 4ac = 4 (b’2 – ac)

 

au lieu de former D , on peut donc former l’expression D’ = b’2 – ac  qui a le même signe .

 

D’ ( lire delta prime) s’appelle le discriminant réduit de l’équation .

 

 

si D’ < 0 , l’équation n’a pas de racine ;

si D’ = 0  , l’ équation a une racine : x =

 

si D’ >   0  , l’ équation a deux racines données par les formules :

    x =

 

ou    x =

 


COMPARAISON DES RACINES .

 

Lorsqu’une équation du second degré  a deux racines distinctes x’ et x’’ , quelle est la plus grande ?

 

 

Nous avions trouvé :

x’ =    et    x’’ =

 

en  écrivant  x’  = -  +     et    x’’  = -   -

 

On voit que :

si a > 0  on a : x’ > x’’

 si a < 0  on a  x’ <  x’’

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS :

 

CONTROLE :

 

 

 

EVALUATION

 

Résoudre  l’équation  : y  = x2 – 4 x + 3

 

 

INTERDISCIPLINARITE

 

AIRE d' un CARRE:

 

A = c 2

A = aire

c = longueur d' un coté

 

Problème 1:

 

Calculer le coté d'un carré de 225 centimètres carrés d' aire:

 

225 cm2 = c 2

D'ou   c =

C =  + ou - 25 cm

Conclusion : le coté du carré vaut 25 cm

La solution négative ne peut convenir.

Problème 2

 

Calculer le rayon d'un disque dont on connaît son aire:

A = 200,96 cm2

A = 3,14 R2

Donc  200, 96 = 3,14 r2

Après transformation   =  R2

 

R2     = 64

 

R =      ;   R = +8 ou - 8

R = 8 cm

 

Problème 3

Quel diamètre convient-il  de donner à un cylindre de 1,50 m de haut pour obtenir une capacité de 25 hectolitres ?

 

 

25 hectolitres

25 00 litres

25 00 décimètres cubes

2 , 500 m3

 

 

Le volume d'un cylindre: V =

 

4V = 3,14 D2h

D2 =

= donc

D =

 

D = 1,456 m

 

Le mouvement uniformément varié