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Les Identités Remarquables

La multiplication

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

 

Index : warmaths

Objectif précédent 

1°)  Algèbre : résoudre                              

2°) Le carré d’opérations simples.

3°) le produit  et l’élément  obsorbant (voir la multiplication des entiers ) .

Objectif suivant  :

1°) Les fonctions du second degré

2°) Résoudre l’équation incomplète « ax²+bx=0 »

3°) Résoudre l’équation du second degré :  ax² + c = 0

4°) La fonction « ax² »

5°)  voir  « exclure des valeurs dans un dénominateur »

1°) Sommaire sur les identités remarquables

 

2°) Algèbre : liste des cours.

 

DOSSIER :

Résoudre : Les EQUATIONS « PRODUITS » .

·        De la forme :  A ´  B = 0  

·        Résoudre dans  le second degré la forme «  ax² » .

·        Voir exemple : x ( x -2) = 3 ( x - 2)

 

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

COURS

 

L’équation produit du second degré est la forme incomplète du trinôme du second degré «  ax² + bx + c = 0 »

 

Avec : b = 0 et c = 0

Reste l’équation  «  ax² = 0 » ; appelée « équation produit ».

 

Produit nul :   

Dans une multiplication  le  produit est  dit « nul »  ( = 0 )  si l’un des facteurs est « nul » ( égal à « 0 ») .

Ce qui se traduit par :

A ´  B = 0    ;  si    A = 0    ou si B = 0

 

Activités :

Série 1 :

Déjà vu :

Dans un produit si un facteur est nul le produit est nul.

a fois 0  = 0

Evidemment : 0 fois « quelque chose » = 0

a b  = 0

Si a = 0 ou si b = 0

 x² = 0   ; (x ´ x = 0)

Alors x = 0

 

Série 2 : EXERCICES TYPES

 

             On demande de trouver des valeurs de « x » pour que l’égalité soit égale à « 0 ».

 

Exemple : résoudre

Résolution :

  x ( x +2 ) = 0

x1 ( x2 +2 ) est égal à 0 si l’un des facteurs ( x1) et  ou (x2+2)  est nul :

« x1 » est égal à 0 ; si « x » = 0  alors  le produit est nul.

«( x2 +2 ) » = 0   ; si  x2 + 2 = 0 alors  le produit est nul ,

On doit résoudre  x + 2 = 0 , pour connaître la valeur  à donner à « x2 » pour que l’égalité x + 2 = 0

On neutralise le +2 par -2 ; pour obtenir « « x »seul :

    x + 2 + ( -2)  = 0 + ( -2) ;   ce qui donne  x = ( -2)

Conclusion :

le produit   x ( x +2 ) est égal à 0 pour  x1 = 0 ou   pour « x2 » = (-2)

 

Conclusion :     x ( x +2 ) = 0   si  x = 0 ou si x = -2

 

II)  Résoudre avec les I R c’est  rechercher une ou deux  valeurs  de « x » qui rend « nul » un facteur ; de telle sorte que le produit de facteurs soit nul

 

 

EXERCICES TYPES

 

Résoudre : (x +1 ) (x+1 ) = 0

 

(x +1 )et (x+1 ) sont des facteurs identiques

Si x +1 = 0 , le produit sera égal à 0

Pour cela il faut résoudre l’équation

X+1 = 0

Donc x = -1

 

Pour (x +1 ) (x+1 ) = 0

il faut est il suffit que x = -1

Conclusion :si x vaut –1 les facteurs sont nuls

On dira que x = -1 est solution

Ou racine de l’équation

(x +1 ) (x+1 ) = 0

 

 

 

Résoudre : (x -1 ) (x-1 ) = 0

(x -1 )et (x-1 ) sont des facteurs identiques

Si x -1 = 0 , le produit sera égal à 0

Pour cela il faut résoudre l’équation

X -1 = 0

On  en déduit que donc x = +1

 

Pour (x -1 ) (x-1 ) = 0

il faut est il suffit que x = +1

Conclusion :

 

si x vaut +1 les facteurs sont nuls

On dira que x = +1 est solution

Ou racine de l’équation

(x -1 ) (x-1 ) = 0

 

 

 

Résoudre : (x +1 ) (x-1 )

(x -1 )et (x+1 ) sont des facteurs différents .

Premier facteur :

Si (x –1) = 0 ,

le produit (x -1 ) (x+1 ) sera égal à 0

Pour cela il faut résoudre l’équation

x -1 = 0

On  en déduit que donc x = +1

Deuxième  facteur :

Si (x +1) = 0 ,

le produit (x -1 ) (x+1 ) sera égal à 0

Pour cela il faut résoudre l’équation

x +1 = 0

On  en déduit que donc x = -1

 

Pour (x -1 ) (x+1 ) = 0

il faut est il suffit que :      x = +1 ou x = -1

 

 

Conclusion :

>  si x vaut +1 le produit de facteurs sera égal à 0

>    si x vaut - 1 le produit de facteurs sera égal « aussi » à 0

On dira que x = +1 ; x = -1   sont  « solutions »  ou « racines de l’équation »   (x -1 ) (x+1 ) = 0

 

 

RESUME

 

Cas général :                             Résoudre ( a + b ) ( c + d ) =0

 

Si   ( a + b ) ( c + d ) =0

 

 

 

Il y aura alors 2 possibilités  pour que le produit soit nul :

            Pour que le produit soit nul il  faut qu’un des facteurs  ( a + b ) et ( c + d ) soient nuls :

( a + b ) = 0

( c + d ) = 0

 

Recherche de la valeur pouvant rendre le facteur ( a + b ) nul :

 

 

Si  ( a + b )  = 0

En transformant , on en déduit que

           a = - b

ainsi :

Si  on remplace « a » par « -b »

 ( -b + b ) ( c + d ) = 0

puisque ( -b + b ) =0

alors  le produit 0 ( c + d ) = 0

Recherche de la valeur pouvant rendre le facteur ( c + d )  nul :

 

Si  ( c + d )  = 0

En transformant , on en déduit que

           c = - d

ainsi :

Si  on remplace « c » par « -d »

 ( a + b ) ( -d + d ) = 0

puisque ( -d + d ) =0

alors  le produit  ( a + b )  0 = 0

 

 

On retiendra :

Pour qu’un produit soit nul il suffit qu’un des produits soit nul.

 

Rappel :

L’équation est résolue  si :

« a » = 0 ; ou   « x » = 0

Avec a = 1   ;   alors    x² = 0 

X² s’écrit   x.x = 0 ;   Nous sommes en présence d’une équation produit :

 

Nous savons que dans un  équation produit si un facteur est égal à « 0 » ; le produit est égale à 0  

 

Autre exemple : résoudre :

 

  x ( x -2) = 3 ( x - 2)

 

 x( x -2 ) - 3( x – 2 ) = 0 ;

( x-2)( x-3)=0

si un des facteurs est nul ; le produit est nul   : si  ( x - 2) = 0   ; sol x = 2 ;  si  ( x-3)= 0  alors  x = 3.

 

Solutions :  «  x  = 2  ou   x = 3 »

 

Travaux auto formatifs.

CONTROLE :

 

 

 

EVALUATION

Résoudre :

 

  x ( x -2) = 3 ( x - 2)

 

 

 

 

INTERDISCIPLINARITE

 

 

 

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