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Les fonctions numériques.

 

Les fonctions usuelles …

III

Etude graphique d’une fonction.

 

 

Index        

Objectif précédent  

1°) Plan concernant l’étude d’une fonction.

2°) Résoudre une équation du second degré.

Objectif suivant

1°) Calcul d’une dérivée.

2°)A voir : Etudes de  fonctions : le second degré.

3°) Application de la dérivée à l’étude d’une fonction.

4°)Etude du signe du trinôme. » ax² +,b x + c »

Tableau     82

 

Info cours de niveau IV : sur « la dérivée »

 

Les fonctions usuelles …

DOSSIER:ETUDES DE FONCTIONS : La fonction « trinôme » du second degré. 

Chapitres :

I)                  Exemple : Etude de la fonction trinôme : y = - x² - 2x + 15

II)               Généralisation.

III)             Exemple d’ exercice : lancement d’un projectile.

 

 

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

COURS.

 

I ) Etude de la fonction trinôme :      y = - x² - 2 x + 15

 

A) Recherche des valeurs remarquables :

 

(voir la représentation graphique  avec la calculatrice graphique )

1°)   Domaine de définition :

Ou recherche des valeurs « exclues » de « x » ?

La fonction n’est ni rationnelle ni irrationnelle , donc toutes les valeurs de « x » conviennent.

 

1°) Cette fonction est définie pour toute  valeur de « x ».

 

 

 

2°) Calcul de « y »  pour « x= 0 »  cela  revient   à  résoudre l’équation de la forme :       0 = a 0 ² + 0  x + c

 

2°)  si « x= 0 »

                         y =  - 0² - 2 fois 0 +  15                           ;

 d’ où        y = +15

3°)    Calcul  pour y = 0   cela  revient   à  résoudre l’équation de la forme :       0 = a x² + b x + c

 

 si « y = 0 »     l’équation   0 = a x² + b x + c  s’écrit :    0 =  - x² - 2x + 15

l’équation admet 2 solutions :

x’ = +3                 et                  x’’ = - 5

 

4°)   Valeur des limites : aucun intervalle  d’étude n’étant fixé , ( borne mini et maxi de « x »  )  on étudie  ce que peut être  les valeurs de « y »   si « x » tend   + ∞  et   ou - ∞

 

 

La fonction « y » étant équivalente à son terme du plus haut degré « -x² » a pour valeur : - ∞

 

B) calcul de la dérivée  :  « y ’ »

Commentaire : (on suppose que l’on ne trace pas la courbe )

Recherche s’il existe un minima ou un maxi par le calcul de la dérivée.  « y’ », par le calcul . ( la réponse se trouve lorsque l’on analyse  le tracé).

 

1°) La dérivée de « ax² + bx + c »  et de la forme «  2ax + b »

La dérivée de « -x²  - 2x + 15 »  et de la forme «  - 2x +- 2 »

2°) Cas ou « y ‘ = 0 » ;

On résout l’équation de la forme : «  2ax + b = 0  »

 Y’    = 0 si  «  - 2x + - 2 = 0 »

 

Soit  - 2x = 2 ;   x =  ( - 2 / 2) ;  x = - 1

 

3°) Est ce un minima ou un maxima ?

on calcule la dérivée seconde est on étudie le signe .  «  y’’ = 2a » ( y’’ = dérivée de  « y’ = 2ax + b » )

La dérivée de « y’ = - 2x - 2»  est «  y’’ = - 2 ».

Donc on en conclut que l’annulation de « y’ » correspond à un maxima pour « y »

4°) coordonnées de ce maxima ou minima.

On remplace « x = - 1 » dans l’expression « y = - 2 x²  - 2x +15 »

Coordonnées du maxima :

  «  y     =  - 2 ( -1)² - 2 ( -1) + 15 »

   «  y     =  + 16 »

 

 

 

 

C )  Il  reste à mettre toutes ces valeurs dans un tableau :

 

 

 

Ce tableau  porte le nom de « tableau de variation ».

 

Remarque : connaissant ces valeurs particulières, on peut tracer la courbe d’équation « y = - 2 x² - 2x +15 ».

Plus on placera  de points (les coordonnées de ces points sont obtenu par calcul qui pour des valeurs de « x » fixées on trouvera la valeur correspondante de « y », plus le  tracé de la courbe sera précis et proche de la réalité)

 

On résumera l’étude : à un tableau et le tracé de la courbe :

(On peut faire correspondre le tableau et le tracé)

 

 

 

GENERALISATION :    ETUDE DE LA FONCTION de la forme : « y = a x² + b x + c »

 

On a remarqué que « y ’’ = 2a ». Il s’ensuit que :

   si « a » est positif , la courbe entière , tourne sa concavité vers les « y » positifs et l’annulation de « y’ » correspond à un minimum pour la fonction.

 

  si « a » est négatif , la courbe entière , tourne sa concavité vers les « y » négatifs et l’annulation de « y’ » correspond à un maximum pour la fonction.

 

Nous envisagerons dans cette généralisation, ces deux cas :

( 1er cas où   a >0 ; 2ème cas où  a<0)

 

 

1er cas :   a > 0

 

A)     calcul des valeurs remarquables :

 

  on pose «  x = 0 ; on en déduit : «   y = c »    ; l’ordonnée « c » détermine l’intersection de la courbe représentative avec l’axe des « y ».

 

«  x =  »   ; « y » étant équivalent à son terme du plus haut degré « a x² » a pour valeur « + ∞ »

 

· Dans certains l’étude est limitée dans un intervalle donné , les valeurs « x  mini» et x maxi » vont donné des valeurs « y » particulières.

 

on pose  «  y = 0 »   ; c’est à dire  que l’on doit résoudre « a x² + b x + c = 0 »

 

On calcule le discriminant : ∆  =  b² - 4 ac

 

Alors on rencontre trois cas :

 

Valeurs du ∆

Solutions

Conséquences  graphiques

∆ > 0

2 solutions distinctes :

 

La courbe représentative  coupe l’axe des « x » en deux points distinctes

    =    0

2 solutions égales :

 

 

La courbe représentative est tangente à l’axe des « x ».

  < 0

Pas de solution

la courbe représentative est située toute entière au dessus de l’axe des « x ».

 

B ) calcul  de « y ’ »

 

   «  y ‘ =   2 a x + b »

 

      y ’ = 0    si   2 a x + b  = 0    ; 

 

La fonction passe par un minimum  pour     , ce minimum a pour valeur :

 

Calcul de « y » avec   :

 

 

ce minimum a pour valeur :

 

 

Ci dessous l’allure des courbes représentative  correspondant au différents cas :

( « ∆ »  lire « delta »)

 

Si      ∆ > 0

Si      ∆ = 0

Si     ∆ < 0

 

 

 

 

2ème  cas :   a < 0

L’étude de ce cas est analogue à la précédente. Cependant :il y a une différence au point (2) et (4)  

 

(1)   on pose «  x = 0 ; on en déduit : «   y = c ». 

 

( 2)  «  x =  »   ; « y » étant équivalent à son terme du plus haut degré « a x² » a pour valeur « -  ∞ »

 

(3) on pose  «  y = 0 »   ; c’est à dire  que l’on doit résoudre « a x² + b x + c = 0 »

 

(4) On calcule le discriminant : ∆  =  b² - 4 ac  , on recherche les racines en fonction de la valeur du ∆

 

L’étude de ce cas est analogue à la précédente . Cependant : pour 

(5) la fonction  passe par un maximum, ce maximum à pour valeur :

 

ce minimum a pour valeur :

 

 

Ci dessous l’allure des courbes représentative  correspondant au différents cas :

( « ∆ »  lire « delta »)

 

 

Si      ∆ > 0

Si      ∆ = 0

Si     ∆ < 0

 

La courbe « y = a x² + b x + c » est une parabole dont l’axe de symétrie est la parallèle à l’axe des « y » (axe des ordonnées) menée par l’abscisse  :

 

Exercice : Un canon lance un projectile dont  la trajectoire parabolique a pour équation « y = - x² + 6x . En représentant le kilomètre par 1 cm sur les deux axes construire cette trajectoire puis déterminer la direction du mouvement du projectile.

 

1°) à la sortie du canon

2°) à une distance de 2 km du point de départ

3°) à une distance de  4 km du point de départ

 

En quels points de la trajectoire :

1°) le projectile se déplace - t- il horizontalement ?

2°) Le projectile fait -il un angle de 45° avec l’horizontale ?

 

Solution :

 

Domaine de définition : la fonction y = - x² + 6 x est étudiée dans l’intervalle compris entre « x = 0 »  et la valeur positive de « x » qui annule « y » soit  «  x = 6 ».

La dérivée « y’ » est égale à  «  - 2x + 6 » , elle s’annule pour « x = 3 », la hauteur correspondant atteint par le  projectile   est de 9 km ( - 9 + 3 fois 6 = -9 + 18 = 9 ), cette valeur est un maximum.

 

Nous avons vu que la dérivée dans l’expression de laquelle nous remplaçons la variable par une valeur « a »  mesure la pente de la tangente à la courbe représentative au point d’abscisse « a » : donc

 

1°) si x = 0  ,   y’ = 6 ,  tan  φ = 6 ;  φ  #  80° 30’

 

2 °) si x = 2  ,   y’ = 2 ,  tan  φ = 2;  φ  #  64°

 

3°) si x = 4  ,   y’ = -2  ,  tan  φ = -2 ;  φ  #  - 64 ° 

 

 

lorsque le projectile se déplace horizontalement « φ   = 0 » ; tan  φ = 0 ; y’ = 0 . Ce point est donc le sommet de la trajectoire.

Si l’inclinaison est de 45°  , tan  φ = +1 , suivant que le projectile monte ou descend. On a donc :

 

- 2x + 6 =  ± 1   ;   

 

 

Tableau et représentation graphique ::

 

 

 

 

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