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Les Fonctions numériques

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tableau     : Sommaire : les fonctions.

 

DOSSIER : Etudes des FONCTIONS USUELLES  (niveau 5et 4 )

1 -  ETUDE TYPE D’ UNE FONCTION :

2 -   Exemples d’étude de  LA FONCTION LINEAIRE : 

·       Exemple 1       f : x   - 3x

·        Exemple  2     f : x   2x

·       Cas général :  f : x  ax

3 -  Etude de la  FONCTION AFFINE :      f : x a x+ b

·       Exemple 1 : f : x   2 x+ 1

·       Exemple 2 :   f : x  - x +1

·       Cas général :   f : xa x  + b

4-  ETUDE DE LA  FONCTION MONOME du second degré : f : xax2

·       Exemple 1     : x  1  x 2      

·         Exemple 2:  f : x  - 0, 5 x2

·       Exemple 3   f : x 2x2

5-  Etude  de la  FONCTION MONOME du troisième  degré : f : xax3

 

6-  ETUDE  DE LA  FONCTION racine carrée :   f : x 

 

7 -ETUDE DE LA  FONCTION homographique :   f : x

8-  Somme de deux fonctions :

9- Comparaison de deux fonctions 

10 - Fonction se déduisant d’une fonction usuelle par addition d’une constante.

 

 

 

Liste des fonctions :

Exemples de   f : R  R

Nom de fonction

Info++

x  ax

Fonction linéaire

x   ax  + b

Fonction  affine

x   x2

Fonction monôme du second degré

xx3

Fonction monôme du troisième degré

x 

Fonction racine carrée

 

x 

 

Fonction  homographique

 

TEST

 

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

COURS

 


1 -  ETUDE TYPE D’ UNE FONCTION :

 

Etudier une fonction c’est :

 

 

A partir de                               f : R  R

                                                 x   f (x)

1°)  Donner l’ensemble de définition.

 

2°) Faire une étude aux bornes du domaine de définition :

a) que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » tend vers -¥ ?

b) que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » tend vers +¥ ?

c) que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » = 0

d) résoudre  f (x) = o 

 

3°)  Donner le sens de  variation :

il faudrait  calculer le taux d’accroissement

 

4°) Construire le tableau de variation :

 

 

type

x

-¥                                0                                     +¥

f(x)

 

 

             ? ? ? ? ?sens donner avec des flèches

 

 

 

5°) Faire la représentation graphique : utiliser le repère cartésien . le plus utilisé est le repère cartésien orthonormé ( dit aussi « orthonormal » )

Repère cartésien

 

2 -  Exemples d’étude de  LA FONCTION LINEAIRE :  

 


    Exemple 1      f : x  -3 x

INFORMATIONS

                                  f : R  R

                                      x-3x

 

1°)Ensemble de définition.   Df  =  R

 

2°)Etude aux bornes du domaine de définition Df:

a)      que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » tend vers -¥ ?

f (x) tend vers +¥  quand « x » tend vers -¥

b) que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » tend vers +¥ ?

f (x) tend vers -¥  quand « x » tend vers +¥

c) que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » = 0

f (o) = o

d) résoudre  f (x) = o 

0 = -3 x         donc x = 0

3°)Sens de  variation :

Calculer le taux d’accroissement : pas nécessaire le taux correspond  à « a »

le coefficient de « x » est négatif  ( a = -3 ) , f est donc strictement décroissante dur Df

4°)  le tableau de variation :

 

 

x

-¥                                0                                     +¥

f(x)

+¥

 

                                      0 

 

                                                                          -¥

 

5°) Représentation graphique :

La représentation graphique de la fonction f est une droite d’équation

y = -3x passant par l’origine du repère et le point de coordonnées (1 ; -3 )

 


Exemple 2 :  f : x  2x

INFORMATIONS +++

 

                             f :  R  R

                                x 2x

 

1°)Ensemble de définition.   Df  =  R

 

2°)Etude aux bornes du domaine de définition Df:

b)      que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » tend vers -¥ ?

f (x) tend vers +¥  quand « x » tend vers +¥ 

b) que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » tend vers +¥ ?

f (x) tend vers -¥  quand « x » tend vers -¥ 

c) que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » = 0

f (o) = o

d) résoudre  f (x) = o    0 = 2 x         donc x = 0

3°)Sens de  variation :

 calculer le taux d’accroissement : pas nécessaire le taux correspond  à « a »

                 le coefficient de « x » est négatif  ( a = 2 ) , f est donc strictement croissante sur Df

4°)  le tableau de variation :

 

 

x

-¥                                0                                     +¥

f(x)

                                                                           +¥

 

                                      0 

 

 -¥

 

5°) Représentation graphique :

La représentation graphique de la fonction f est une droite d’équation

y = 2x passant par l’origine du repère et le point de coordonnées (1 ; 2 )

 


Cas général : FONCTION LINEAIRE :   de   la forme :     f : xax

 

INFORMATIONS

                                                       f : R  R

                                                          xax

 

1°)Ensemble de définition.   Df  =  R

 

2°)Etude aux bornes du domaine de définition Df:

 

a < 0

a > 0

f (x) tend vers +¥  quand « x » tend vers -¥

f (x) tend vers -¥  quand « x » tend vers +¥

f (o) = o

f (x) tend vers +¥  quand « x » tend vers +¥

f (x) tend vers -¥  quand « x » tend vers -¥

f (o) = o

 

3°)Sens de  variation :

a < 0

a > 0

f est donc strictement décroissante sur Df

f est donc strictement croissante sur Df

 

 

4°)  le tableau de variation :

a < 0

 

a > 0

x

-¥                 0                      +¥

 

x

-¥                 0                      +¥

f(x)

+¥

 

                           0

 

 

                                               -¥

 

f(x)

                                           +¥

 

                             0

 

 

 -¥

 

5°) Représentation graphique :

La représentation graphique de la fonction f est une droite d’équation

y = ax passant par l’origine du repère et le point de coordonnées (1 ; a )

 

 

 

 

3 -  Etude de la  FONCTION AFFINE :      f : x 2 x+ 1

INFORMATIONS

 

Exemple 1 : f : x 2 x+ 1

 

                                                f : R  R

                                                   x   2 x - 1

 

1°)Ensemble de définition.   Df  =  R

 

2°)Etude aux bornes du domaine de définition Df:

c)      que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » tend vers -¥ ?

f (x) tend vers -¥  quand « x » tend vers -¥ 

b) que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » tend vers +¥ ?

f (x) tend vers +¥  quand « x » tend vers +¥ 

c) que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » = 0

f (o) = 1

d) résoudre  f (x) = o    0 = 2 x-1         donc x =

3°)Sens de  variation :

 calculer le taux d’accroissement : pas nécessaire le taux correspond  à « a »

                 le coefficient de « x » est négatif  ( a = 2 ) , f est donc strictement décroissante sur Df

4°)  le tableau de variation :

 

 

x

-¥                                0                                     +¥

f(x)

                                                                           +¥

 

                                    -1 

 

    -¥

 

5°) Représentation graphique : La représentation graphique de la fonction f est une droite d’équation

y = 2x-1 passant par l’origine du repère et le point de coordonnées (0 ; -1 ) et le point de coordonnées ( ;  0 ) ; ( 1 ; 1)

 


 

Exemple 2    FONCTION AFFINE  :   x  - x +1

>>>  INFORMATIONS

                               f :   R   R

                                   x  - x +1

1°)Ensemble de définition.   Df  =  R

 

2°)Etude aux bornes du domaine de définition Df:

d)      que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » tend vers -¥ ?

f (x) tend vers +¥  quand « x » tend vers -¥ 

b) que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » tend vers +¥ ?

f (x) tend vers -¥  quand « x » tend vers +¥ 

c) que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » = 0

f (o) = 1

d) résoudre  f (x) = o    0 = - x +1        donc x = 2

3°)Sens de  variation :

 calculer le taux d’accroissement : pas nécessaire le taux correspond  à « a »

                 le coefficient de « x » est négatif  ( a = - ) , f est donc strictement décroissante sur Df

4°)  le tableau de variation :

 

 

x

-¥                                0                                     +¥

f(x)

  +¥

 

                                       1 

 

                                                                            -¥

 

5°) Représentation graphique : La représentation graphique de la fonction f est une droite d’équation

y = -x +1 passant par le point de coordonnées (0 ; 1 ) ; (1 ; )  , (0 ;2)

 

Cas général : FONCTION AFFINE :   f : xa x  + b

INFORMATIONS

                                                       f :  R   R

                                                           x  a x + b

 

1°) Ensemble de définition.   Df  =  R

 

2°) Etude aux bornes du domaine de définition Df:

 

a < 0

a > 0

f (x) tend vers +¥  quand « x » tend vers -¥ 

f (x) tend vers -¥  quand « x » tend vers +¥ 

f (o) = b

f (x) tend vers +¥  quand « x » tend vers +¥ 

f (x) tend vers -¥  quand « x » tend vers -¥ 

f (o) = b

 

3°)Sens de  variation :

a < 0

a > 0

f est donc strictement décroissante sur Df

f est donc strictement croissante sur Df

 

4°)  le tableau de variation :

 

a < 0

 

a > 0

x

-¥                 0                      +¥

 

x

-¥                 0                      +¥

f(x)

+¥

 

                           b

 

 

                                               -¥

 

f(x)

                                           +¥

 

                          b

 

 

 -¥

 

5°) Représentation graphique : La représentation graphique de la fonction f est une droite d’équation

y = ax + b  passant par les points  de coordonnées :

   ( 0 ; b ) ;  (1 ; a + b ) et (-  ; 0 )

 


 

4- ETUDE DE LA  FONCTION MONOME du second degré : f : xax2

INFORMATIONS

 

Exemple 1     : x 1  x 2                             

                    f :  R  R

                        x x2

1°)Ensemble de définition.   Df  =  R

2°)particularité : (est-elle paire ou impaire ? )

quel que soit le réel « x » appartenant à Df   f(-x) = (-x2) = x2  =f(x) ; f est donc « paire »

3° ) Etude aux bornes du domaine de définition Df:

e)      que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » tend vers -¥ ?

f (x) tend vers +¥  quand « x » tend vers -¥ 

b) que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » tend vers +¥ ?

f (x) tend vers -¥  quand « x » tend vers -¥ 

c) que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » = 0

f (o) = o

d) résoudre  f (x) = o    0 =  x2         donc x = 0

4°)Sens de  variation :

 voir le calcul  du  taux correspond  à « a »

f est donc strictement décroissante sur R-  et strictement croissante sur R+

5°)  le tableau de variation :

 

 

x

-¥                                0                                     +¥

f(x)

   +¥                                                                       +¥

 

 

 

                                     0

                                   f   admet un minimum égal à 0 pour x = 0

 

 

6°) Représentation graphique : La représentation graphique de la fonction f est une parabole  d’équation

y = x2 , de sommet  O ( 0 ;0 ) , admettant l’axe (y’ y ) comme axe de symétrie et l’axe « x’ x » ) comme tangente au sommet .

Fonction se déduisant d’une fonction usuelle par multiplication par une constante .

 

Soit « a » un nombre réel et une fonction numérique f de R vers R.

 

-         si a > 0  , les  fonctions xf ( x) et xa f ( x)  ont le même sens de variation.

 

-         si a < 0  , les  fonctions xf ( x) et xa f ( x) varient en sens contraire .

 

La courbe représentant la fonction xa f ( x) s’obtient à partir de celle représentant x f ( x)   en multipliant les ordonnées des points par « a ».

 

Exemple 2  FONCTION MONOME du second degré : f : x  - 0, 5 x2

INFORMATIONS

                                f : R  R

                                  x  - 0, 5 x2

1°) Ensemble de définition.   Df  =  R

2°) Particularité : (est-elle paire ou impaire ? )

quel que soit le réel « x » appartenant à Df   f(-x) = (-x2) = x2  =f(x) ; f est donc « paire » ?,,

3°) Etude aux bornes du domaine de définition Df:

f)        que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » tend vers -¥ ?

f (x) tend vers -¥  quand « x » tend vers -¥ 

b) que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » tend vers +¥ ?

f (x) tend vers -¥  quand « x » tend vers +¥ 

c) que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » = 0

f (o) = o

d) résoudre  f (x) = o    0 =  - 0,5 x2         donc x = 0

4°)Sens de  variation :

 le coefficient de x2  est négatif   « a » = -0, 5

f est donc strictement croissante sur R-  et strictement décroissante sur R+

5°)  le tableau de variation :

 

 

x

-¥                                0                                     +¥

f(x)

                                    0

 

 

 

  - ¥                                                                       -¥                                  

                                   f   admet un maximum égal à 0 pour x = 0

 

 

6°) Représentation graphique : La représentation graphique de la fonction f  s’obtient en multipliant les ordonnées des points de celle de la fonction

x x2  par –0,5

 

c’ est une parabole  d’équation

y = -0,5 x2 , de sommet  O ( 0 ;0 ) , admettant l’axe (y’ y ) comme axe de symétrie et l’axe « x’ x » ) comme tangente au sommet .

 

 

 

Exemple 3   f : x2x2

INFORMATIONS  « BEP »

                                f : R  R

                                   x   2x2

1°)Ensemble de définition.   Df  =  R

2°)particularité : (est-elle paire ou impaire ? )

quel que soit le réel « x » appartenant à Df   f(-x) = (-x2) = x2  =f(x) ; f est donc « paire »

3° ) Etude aux bornes du domaine de définition Df:

g)      que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » tend vers -¥ ?

f (x) tend vers +¥  quand « x » tend vers -¥ 

b) que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » tend vers +¥ ?

f (x) tend vers +¥  quand « x » tend vers +¥ 

c) que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » = 0

f (o) = o

d) résoudre  f (x) = o    0 = 2 x2         donc x = 0

4°)Sens de  variation :

 le coefficient de x2  est positif   « a » = 2

f est donc strictement décroissante sur R-  et strictement croissante sur R+

5°)  le tableau de variation :

 

 

x

-¥                                0                               +¥

f(x)

   +¥                                                                 +¥

 

 

 

                                     0

                                   f   admet un minimum égal à 0 pour x = 0

 

 

6°) Représentation graphique : La représentation graphique de la fonction f  s’obtient en multipliant les ordonnées des points de celle de la fonction

x x2  par 2

 

c’ est une parabole  d’équation

y = 2 x2 , de sommet  O ( 0 ;0 ) , admettant l’axe (y’ y ) comme axe de symétrie et l’axe « x’ x » ) comme tangente au sommet .

 


 

5- Etude  de la  FONCTION MONOME du troisième  degré : f : xax3

INFORMATIONS

f : R  R

xx3

1°)Ensemble de définition.   Df  =  R

2°)particularité : (est-elle paire ou impaire ? )

quel que soit le réel « x » appartenant à Df   f(-x) = (-x) 3 = -x3  = - f(x) ; f est donc « impaire »

3° ) Etude aux bornes du domaine de définition Df:

que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » tend vers -¥ ?

f (x) tend vers - ¥  quand « x » tend vers -¥ 

 que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » tend vers +¥ ?

f (x) tend vers +¥  quand « x » tend vers +¥ 

c) que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » = 0

f (o) = o

d) résoudre  f (x) = o    0 =  x3         donc x = 0

4°)Sens de  variation :

 le coefficient de x3  est positif   « a » = 1

f est donc strictement décroissante sur R-  et strictement croissante sur R+

5°)  le tableau de variation :

 

x

-¥                                  0                                                     +¥

f(x)

                                                                                           +¥

 


                                     0

 -¥

 

 

 

6°) Représentation graphique : La représentation graphique de la fonction f  est la courbe d’équation y =     admettant le point O (0 ;0 ) comme centre de symétrie et  l’axe ( x’x )  comme tangente au point O .

 


 

6- ETUDE  DE LA  FONCTION racine carrée : f : x

INFORMATIONS

f : R  R

x

1°)Ensemble de définition. 

On ne fait pas la racine carrée d’un nombre « négatif »

                            Df  =  R+    ou   =  [ 0 ; +¥  [

 

2°)particularité : (est-elle paire ou impaire ? )     pas de réponse !

 

3° ) Etude aux bornes du domaine de définition Df:

que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » tend vers -¥ ?

f (x) tend vers - ¥  quand « x » tend vers -¥ : impossible !

 que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » tend vers +¥ ?

f (x) tend vers +¥  quand « x » tend vers +¥ 

c) que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » = 0

f (o) = o

d) résoudre  f (x) = o    0 =         donc x = 0

4°)Sens de  variation :

 le coefficient de 3  est positif   « a » = 1

f est  strictement croissante sur R+

5°)  le tableau de variation :

 

 

x

0                                                                      +¥

f(x)

                                                                        +¥

 

                          

0

 

 

6°) Représentation graphique : La représentation graphique de la fonction f  est un arc de parabole  d’équation

y =    


7 -ETUDE DE LA  FONCTION homographique : f : x

 

INFORMATIONS  plus.

 

                                                      

f : R  R

x     

1°) Ensemble de définition. 

On ne peut diviser par 0   donc  Df  =  R*    =  ] -¥ ;0[ È ]0 ; +¥ [

 

2°) particularité : (est-elle paire ou impaire ? )

quel que soit le réel « x » appartenant à Df   f(-x) = = - = - f(x) ; f est donc « impaire »

3° ) Etude aux bornes du domaine de définition Df:

que se passe-t-il quand  f (x)  tend vers 0-   (lire zéro  moins)?

f (x) tend vers 0 -   quand « x » tend vers -¥ 

que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » tend vers -¥ ?

f (x) tend vers - ¥  quand « x » tend vers 0 - 

 que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » tend vers +¥ ?

f (x) tend vers +¥  quand « x » tend vers 0+ 

que se passe-t-il quand  f (x)  tend vers 0+-   (lire zéro  plus)?

f (x) tend vers 0+   quand « x » tend vers +¥ 

c) que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » = 0

f (o) = impossible

d) résoudre  f (x) = o    0 =           donc x =

4°) Sens de  variation :

 le coefficient de   est positif   « a » = 1

f est donc strictement décroissante sur R-  et strictement croissante sur R+

5°)  le tableau de variation :

 

 

x

-¥                                0                                     +¥

f(x)

 0 -                                   +¥

 

                                   

                               -¥                                 0 -

La double barre indique que f(x) n’existe pas pour x=0

 

6°) Représentation graphique :

    La représentation graphique de la fonction f  est l’ hyperbole  d’équation y =     admettant les axes  ( x’x )    et ( y’y) comme asymptotes  et    le point O ( 0 ; 0 ) comme centre de symétrie .

 

8-  Somme de deux fonctions :

 

Si f et g sont deux fonctions définies sur un intervalle I , on appelle  « somme de deux fonctions » f et g la fonction notée  f + g définie sur l’ intervalle   I  par xf(x) + g(x).

 

La courbe représentant la fonction f + g  est l’ensemble des points de coordonnées ( x ; f(x) + g(x))

 

 

Si  f et g sont croissantes  ( ou décroissante ) sur I , alors f  + g est croissante ou décroissante sur I .

 

              Dans les autres cas , le sens de variation de f + g  se détermine  à l’aide de la fonction dérivée de la fonction f + g.

 

 

Exemple :

 

 

Soit les fonctions f et g  de R vers R définies respectivement par f : xx3  et g : x-2x+1 , la fonction somme de f et g est la fonction de R vers R définie par  f + g : x x3-2x+1

 

La représentation graphique  de f+ g est la courbe ( C ) . (rouge)

 

9- Comparaison de deux fonctions :

 

.       f et g étant deux fonctions définies sur un intervalle I , dire que f ³ g sur cet intervalle signifie que pour tout x de I : f(x) ³ g(x)

 

 

 

 

Exemple :

 

 soit les fonctions f , g , h , i de R vers R telles que f : x , g : xx , h : xx2 et i : x x3

Sur l’intervalle

 [  1 ; +¥ [ :  i³ h ³ g ³ f

 

 

 


10 - Fonction se déduisant d’une fonction usuelle par addition d’une constante.

 

 

Soit b  un nombre réel et une fonction numérique f de R vers R.

Les fonctions xf(x)   et xf(x)+b ont le même sens de variation.

 

La courbe représentant la fonction xf(x)+b se déduit de celle représentant xf(x) par la translation de vecteur b

 

Exemple :                                        f : R  R

x+2

Sens de  variation :

 f  a même sens de variation que x ; elle est donc strictement décroissante sur ] -¥     ;0[ et sur ]0 ; +¥ [

 

le tableau de variation :

 

 

x

-¥                                0                                     +¥

f(x)

 0 -                                                                       +¥

 

                                   

                               -¥                                         0 -

La double barre indique que f(x) n’existe pas pour x=0

 

6°) Représentation graphique :

    La représentation graphique de la fonction f  s’obtient à partir de celle de

x  par la translation de vecteur 2

La représentation graphique de la fonction f est l’ hyperbole  d’équation

y =   +2  admettant la droite d’équation  y =2 et l’ (y’y) comme asymptotes et le point de coordonnées   ( 0 ;2 ) comme centre  de symétrie .

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE:

 

1°)Nommer les étapes qui concernant l’étude d’une fonction :

 


CORRIGE :

Etudier une fonction c’est :

 

 

A partir de                               f : R  R

xax

1°) donner l’ensemble de définition.

 

2°) faire une étude aux b o r n es du domaine de définition :

a) que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » tend vers -¥ ?

b) que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » tend vers +¥ ?c) que se passe-t-il pour  f (x)  quand « x » = 0

d) résoudre  f (x) = o 

 

3°)donner le sens de  variation : calculer le taux d’accroissement

 

 

 

4°) construire le tableau de variation :

 

type

 

x

-¥                                0                                     +¥

f(x)

 

 

             ? ? ? ? ?sens donner avec des flèches

 

 

 

5°) faire la représentation graphique : utiliser le repère cartésien . le plus utilisé est le repère cartésien orthonormé ( dit aussi « orthonormal » )

 

EVALUATION:

Commentez les représentations graphiques suivantes :

( forme de l’équation,Ensemble de définition,particularité : (est-elle paire ou impaire ? ) Etude aux bornes du domaine de définition, Sens de  variation , le tableau de variation .

1°)

2°)

 

 


 

N°3

 

N°4

N°5

                        

N°6

N°7

 

N°8

N°9

 

N°10    

 

 

N°11 Commentez les tracés

 

N°12 Commentez : les tracés