Pré requis:

Puissance niveau 1  écriture normalisée et indicée

Puissance niveau 2

Puissance carré  :

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Puissance carré  :

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Puissances des nombres relatifs .

Tableau        69

 DOSSIER  « calcul numérique et algébrique »:

  PUISSANCE :  LE  "CUBE" avec les entiers ; les décimaux et les nombres relatifs (étude du signe).

-         Cube d’un nombre positif.

-         Cube d’un nombre relatif positif,

-         Cube d’un nombre relatif négatif.

-         Approche sur la puissance « n »  d’un nombre relatif.  ( n supérieur à 2 )

-          

 

TEST

           

COURS

              

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité 

1°) Calcul du volume d’un cube.                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

 

Epreuve Situation niveau 5

Fiche : n°…147……..

 

 

 

 

 

Activité :

Calculer le volume d’un cube , c’est chercher combien de cubes de 1 cm3  sont contenus dans ce cube .

 

Le cube mesure :

  L = 4 cm ; l = 4 cm , h = 4 cm .

 

Le volume du cube est =           Ll  h

Donc :  4  4  4  =  64   1 cm3 = 64 cm3

 

On dit que « 64 » est le cube de 4 .

On écrit : 43  = 64

On lit : « 4 puissance 3 » ; « 4 au cube » ; « 4 exposant 3 »

 

 

: 

 

Rappels : « Puissance »  d ' un  "même" nombre:

 

Définition :

     on appelle "puissance d'un même nombre" , la multiplication d ' un nombre par lui même  deux à plusieurs fois .

                X  =   XXX  ; X 5 =   XXXXX  ; X 8 =   XXXXXXXX

 

Ecriture:

 

Par  convention

Avec un entier relatif

Avec un décimal relatif

algébre

      X0   = 1  

(+20 )  =  1 

(-3,2) 0   = 1  

 a 0  = 1    

      X1  =  X

 (+ 21 ) = ( + 2 )

(-3,2) 1 =  (-3,2)

a 1 =   a

      X 2  =  X X

(+2 )   =  ( + 2 )  ( + 2 )

(-3,2) =  (-3,2)  (-3,2)

a=  a a

 X  =   XXX

(+2)= (+ 2)  (+ 2)(+ 2) 

(-3,2) = (-3,2)(-3,2)(-3,2)

a= a a a

Ainsi de suite …….

 


 

COURS :

 

Le « cube »  d’un nombre est le produit de trois facteurs égaux à ce nombre.    On dit aussi : « Puissance trois »

 

CAS DES NOMBRES POSITIFS :

 

Exemples  :

 

Dans N  « au cube »

 

4 4 4  = 64

5 5 5   =  53   =    125

(+4) (+4) (+4)  = ( +64) =   (+4)3 

(+ 2)  (+ 2)(+ 2)  =  (+8 ) = (+2)

 

On peut admettre que l’écriture « au cube » est une simplification d’écriture.

 

Exemples de calculs :

 

Dans D+   "au cube"

 Résultat :

(+ 4 , 2 ) (+ 4 , 2 ) (+ 4 , 2 )    = (+ 4 , 2 )3  = 

………………………

(+ 5) ( + 5 ) ( + 5 )   =   (+ 5)3   =

(+125)

(+3,2)3       =  (+ 3,2) (+ 3,2) (+ 3,2)  = 

(+32,768)

 

 

Les carrés   des nombres entiers  naturels s ' appellent :les carrés parfaits

Les cubes des nombres entiers naturels s'appellent  :     les cubes parfaits

 

CUBE d’UN NOMBRE RELATIF :

à    savoir :     par exemples:

(+ 3) 3 = ( +27)

( - 3  ) 3 = (  - 27 )

(+ 4) 3  = ( + 64)

 

(- 4)3 = (- 64)

 

 

 

 

 

 

Le cube  d’un nombre relatif positif est un nombre positif.

Le cube d’un nombre relatif négatif est un nombre négatif .

 

On remarquera que « 3 » est un nombre « impair » .

 

 

 

 

 

CARRE  et  CUBE d’UN NOMBRE RELATIF :

Recherche du signe  du résultat :

Commentaire :   lorsque le nombre est positif le signe du résultat est + ;

                        Lorsque le nombre est négatif  le résultat dépendra de la valeur « pair ou impair » de l’exposant .

a)       « x » est un nombre relatif    positif  :

calculs :

« x n »

« n »

Calcul :

Conclusion résultat

(+2)2

Paire

(+4)

>0

(+2)3

Impair

(+8)

>0

 

En conclusion : Si « x » est un nombre relatif    positif  , alors  le résultat   de   xn  est positif

 

 

CAS :« x » est un nombre relatif  "négatif "

           calculs  :

« x n»

« n »

Calcul :

Conclusion résultat

(-2)2

pair

(+4)

>0

(-2)3

impair

(-8)

<0

 

 

En conclusion : Le signe du résultat   de « xn » dépend du signe du nombre relatif mais aussi  il dépend de la  puissance « n »

   Donc  avec « n = 3 » on dit que  « n » est impair dans xn ; le résultat donné par le calcul de xn est alors négatif.

 

Cas courants (se souvenir)  :

  Le cube  d'un nombre relatif  positif est positif;

 Le cube  d'un nombre relatif  négatif  est négatif .

 

REMARQUES  IMPORTANTES:

 

          (-5) (+5) (+5) n ' est pas la multiplication d ' un nombre pas le cube parce que -5 n' est pas égal à +5

 

à    savoir :   

 on observera les écritures et l’on comparera les résultas dans les exemples suivants :

Cube d’un nombre entier naturel.

Cube d’un nombre entier relatif  positif..

Cube d’un nombre entier naturel précédé d’un signe « moins »

Cube d’un nombre entier relatif  négatif..

Cube d’un nombre entier naturel précédé d’un signe « plus »

43 = 64

(+ 4) 3 = (+ 64)

- 4 3  = - 64

 

(- 4)3 = (- 64)

+ 43  = + 64

« 64 »

  Parce que 4 est un N

(+64)

 Parce que (+4) est un nombre  relatif

- 64

  Parce que 4 est un N précédé par le signe de la soustraction

(-64) 

Parce que (-4) est un nombre relatif

+ 64 

Parce que 4 est un nombre  N précédé par le signe de l ' addition

 

 

Interdisciplinarité

-ALGEBRE     et            SIMPLIFICATION D'ECRITURE

 

Ou   "Regroupement" de produit de facteurs :

 

aa      =   a2

Aaa =  a3

abb    = ab2

bbb         = b3

xxx    =  x3

yyy   = y3

xxyyy  =   x2y3

axxyy =  ax2y2

 

Utilisation de la puissance « 3 » dans le  résultat d’un calcul des volumes :

 

 a) si l' unité de mesure est le mètre :

 

On multiplie  des mètres par mètres par mètres  , on  écrira :" mm m " ; ce qui donne en écriture simplifiée :  m 3   

 

b) si l' unité de mesure est le décimètre :

 

On multipliera  des décimètres mètres  par des décimètres par des décimètres

On  écrira : dmdm dm  ; ce qui donnera en écriture simplifiée :  dm 3   

 

 

c)  si l' unité de mesure est le centimètre :

 

On multipliera  des centimètres  par des centimètres par des centimètres

On  écrira : cmcm cm  ; ce qui donnera en écriture simplifiée :  cm 3   

 

 

 

d)  si l' unité de mesure est le millimètre :

 

On multipliera  des millimètres  par des millimètres par des millimètres

On  écrira : mmmm mm  ; ce qui donnera en écriture simplifiée :  mm 3

 

 

TRVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE:

 

1°)  Que veut dire "puissance  au cube » ?

 

 

2°)  « x » est un nombre relatif  "positif "

            Quel sera le signe du résultat   de « x3 »  ?

3°) « x » est un nombre relatif  "négatif "

            Quel sera le signe du résultat   de « x3 »  ?

4°)  Traduire en langage littéral de trois façon :  (3)3

 

 

 

EVALUATION

 

1 °) Faire le calcul :

43 =

(+ 4)3 =

  - 4 3  =

 

    ( -4)3 =

       + 43  =

 

 

 

 

 

 2°)  Soit x = (+3,75)

 Donner le signe du résultat de

 

x2

x3

x8

x11

Signe :

 

 

 

 

 

3°)  Soit x = (- 3,734)

Donner le signe du résultat de

 

 

x2

x3

x8

x11

Signe :

 

 

 

 

 

4°) Algèbre : Ecrire plus simplementLsous forme de puissances .

bb  par  ………..

 

 

xx = ……………

aa…=

aaa……=..

abb:……=

bbb:…=

xxx:…=

yyy:…   =… …….

xxyyy:……= ………

axxyy :…=

 

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