Pré requis: 

Ce cours est la suite de l’objectif n°«3°) Etude d’une fonction  trinôme. »  

III

Rappel : Etude graphique d’une fonction.

 

 

Index        

Objectif précédent  

1°) Plan concernant l’étude d’une fonction.

2°) Résoudre une équation du second degré.

3°) Etude d’une fonction  trinôme.

Objectif suivant

1°)A voir :les  Etudes de  fonctions : le second degré.

2°)Cours : Etudes de fonctions  ( niveau IV : bac pro)

Tableau     82

 

Info cours  : sur « les fonctions »

DOSSIER:    ETUDES DE FONCTIONS :

Etude du signe du trinôme du second degré.  Par la méthode graphique.

 

I)                 Cas 1 :  « b² - 4 ac < 0 »

II)              Cas 2 :  « b² - 4 ac =  0 »

III)           Cas 3 :  « b² - 4 ac > 0 »

 

IV ) Règle .

 

TEST

          

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

L’étude du signe est subordonnée au calcul du discriminant :  ∆ = b² - 4 ac

et a son résultat : ∆ > 0 ; ∆ = 0 ; et ∆ < 0

 

 

 

 

 

 

 

 


COURS

 

I ) Cas : b² - 4 ac < 0

 

Nous savons déjà (info ++) que si le discriminant est négatif , la courbe ne coupe pas l’axe des abscisses.

L’allure de la courbe dépend du signe de « a » dans l’équation « a x² + b x +c » ; « a » pouvant être positif ou négatif.

 

Si   b² - 4 ac  est négatif et si « a >0 » :

On remarque que tout point de la courbe a une ordonnée positive , c’est à dire du signe de « a »

Si   b² - 4 ac  est négatif et si « a  < 0 »

On remarque que tout point de la courbe a une ordonnée négative , c’est à dire du signe de « a »

L’ordonnée « y » correspondant à  n’importe quelle , abscisse « x » est du signe de « a » .

 

Règle : si le discriminant est négatif , le trinôme «  a x² + b x + c » a le signe de « a » pour n’importe quelle valeur de « x ».

 


2ème cas : b² - 4 ac = 0

Si   b² - 4 ac  est = 0  et si « a > 0 », l’allure de la représentation graphique de la courbe sera :

Si   b² - 4 ac  est négatif et si « a  < 0 » , l’allure de la représentation graphique de la courbe sera :

Si   b² - 4 ac  est = 0  et si « a > 0 »Tous les points de la courbe ont une ordonnée positive , c’est à dire du signe de « a » , sauf pour le point de tangence dont l’ordonnée est nulle.

 

 

Tous les points de la courbe ont une ordonnée négative , c’est à dire du signe de « a » , sauf pour le point de tangence dont l’ordonnée est nulle.

 

 

L’ordonnée « y » , correspondant à n’importe quelle abscisse « x » , est du signe de « a » sauf , l’ordonnée du point de tangence (tangent à l’axe des abscisses) qui est nulle , ce point ayant pour abscisse  «  »

 

On en tire  la règle suivante :

Si le discriminant est nul , le trinôme du second degré «  y = a x² + b x + c » a le signe de « a » pour n’importe quelle valeur de « x » , sauf, pour «  »

 

Valeur de la solution double de l’équation «  a x² + b x + c = 0» , le trinôme est alors nul.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2ème cas : b² - 4 ac > 0

 

Si   b² - 4 ac  est positif et si « a >  0 », l’allure de la représentation graphique de la courbe sera :

Si   b² - 4 ac  est positif et si « a  < 0 », l’allure de la représentation graphique de la courbe sera :

Si   b² - 4 ac  est positif et si « a >  0 », On remarque que :

x2  <  x’   ;   y2  > 0  , c’est à dire du signe de « a »

x3  >  x’’   ; y3  > 0  , c’est à dire du signe de « a »

x’ < x 1 < x’’ ;   y1  < 0 ; c’est à dire du signe de « -a »

Si   b² - 4 ac  est positif et si « a  < 0 », On remarque que :

x2  <  x’   ;   y2  <  0  , c’est à dire du signe de « a »

x3  >  x’’   ; y3  < 0  , c’est à dire du signe de « a »

x’ < x 1 < x’’ ;   y1  > 0 ; c’est à dire du signe de « -a »

Donc : les points  « I ‘ »   et « I’’ »  sont les points d’intersections de la parabole avec l’axe des « x » ; « x’ » et « x’’ » sont leurs abscisses respectives.

 

1-        l’ordonnée « y » correspondant à une abscisse « x » inférieure à « x’ » ou supérieure à « x’’ » est du signe de « a ».

2-     l’ordonnée « y » correspondant à une abscisse « x »  comprise entre « x’ » et « x’’ » est du signe de « -a ».

3-     les intersections « I ‘ »   et « I’’ »  ont des ordonnées nulles.

 

On en tire la règle suivante :

Si le discriminant est positif le trinôme « y = a x² + b x + c »  a le signe de « a » pour les valeurs de « x » supérieures à la plus grande ou inférieures à la plus petite des solutions de l’équation : « a x ² + b x + c = 0 ».

Il a le signe contraire de « a » pour les valeurs de « x » comprises entre ces deux valeurs.  Il est nul pour « x = x’ »  et « x = x’’ ».

 

 

Résumé des trois règles :

 

On peut résumer ces trois règles en un seul énoncé :

 

Le trinôme du second degré de la forme « a x² + b x + c » a le signe de « a » pour toute valeur de « x » sauf dans le cas où le discriminant étant positif ou nul l’équation :  « a x² + b x + c  = 0 »  admet deux solutions distinctes ou égales « x’ » et « x’’ » . Dans ce cas pour toute valeur de « x » comprise entre « x’ » et x’’ » le trinôme a le signe  contraire de « a » . Pour toute  valeur de « x » égale à « x’ » et « x’’ » le trinôme est nul.

 

 

Remarque : les règles précédentes sont applicables aux binômes du second degré « a x² + b x »  et « a x² + c » . Ces binômes ne sont en effet que des trinômes incomplets dans lesquels les coefficient « c » et « b » sont nuls.

 

 

 

EVALUATION :

 

A partir des représentation graphiques suivantes , et pour chaque cas :

1°)  dire si « a » est « positif » ou « négatif » .

2°) Dire si le discriminant est « positif » « négatif » ou « nul » .

 

N°1 :

Le discriminant est : ……………………

La valeur de « a » est : …………….

N°2 :

Le discriminant est : ……………………

La valeur de « a » est : …………….

 

N°3

Le discriminant est : ……………………

La valeur de « a » est : …………….

N°4

Le discriminant est : ……………………

La valeur de « a » est : …………….

 

 

N°5

Le discriminant est : ……………………

La valeur de « a » est : …………….

N°6

Le discriminant est : ……………………

La valeur de « a » est : …………….

 

 

 

 

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