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Ce cours est la suite de l’objectif n°«3°) Etude d’une fonction  trinôme. »  

III

Rappel : Etude graphique d’une fonction.

 

 

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Objectif précédent   Sphère metallique

1°) Plan concernant l’étude d’une fonction.

2°) Résoudre une équation du second degré.

3°) Etude d’une fonction  trinôme.

Objectif suivant Sphère metallique

1°)A voir :les  Etudes de  fonctions : le second degré.

2°)Cours : Etudes de fonctions  ( niveau IV : bac pro)

Tableau     Sphère metallique82

 

Info cours  : sur « les fonctions »

DOSSIER:    ETUDES DE FONCTIONS :

Etude du signe du trinôme du second degré.  Par la méthode graphique.

 

I)              Cas 1 :  « b² - 4 ac < 0 »

II)           Cas 2 :  « b² - 4 ac =  0 »

III)         Cas 3 :  « b² - 4 ac > 0 »

 

IV ) Règle .

 

TEST

           Boule verte

COURS

                Boule verte

Devoir  Contrôle Boule verte

Devoir évaluation Boule verte

Interdisciplinarité

                        Boule verte

 

Corrigé Contrôle  Boule verte

Corrigé évaluation  Boule verte

 

L’étude du signe est subordonnée au calcul du discriminant :

 

  ∆ = b² - 4 ac   et à  son résultat : ∆ > 0 ;ou    ∆ = 0 ; et ou  ∆ < 0

 

 

 

 

 

 

 

 

COURS

 

I ) Cas : b² - 4 ac < 0

 

Nous savons déjà (info ++) que si le discriminant est négatif , la courbe ne coupe pas l’axe des abscisses.

L’allure de la courbe dépend du signe de « a » dans l’équation « a x² + b x +c » ; « a » pouvant être positif ou négatif.

 

Si   b² - 4 ac  est négatif et si « a >0 » :

On remarque que tout point de la courbe a une ordonnée positive , c’est à dire du signe de « a »

Si   b² - 4 ac  est négatif et si « a  < 0 »

On remarque que tout point de la courbe a une ordonnée négative , c’est à dire du signe de « a »

S2

s1

L’ordonnée « y » correspondant à  n’importe quelle , abscisse « x » est du signe de « a » .

 

Règle : si le discriminant est négatif , le trinôme «  a x² + b x + c » a le signe de « a » pour n’importe quelle valeur de « x ».

 


2ème cas : b² - 4 ac = 0

 

Si   b² - 4 ac  est = 0  et si « a > 0 », l’allure de la représentation graphique de la courbe sera :

Si   b² - 4 ac  est négatif et si « a  < 0 » , l’allure de la représentation graphique de la courbe sera :

S3

S4

Si   b² - 4 ac  est = 0  et si « a > 0 »Tous les points de la courbe ont une ordonnée positive , c’est à dire du signe de « a » , sauf pour le point de tangence dont l’ordonnée est nulle.

 

 

Tous les points de la courbe ont une ordonnée négative , c’est à dire du signe de « a » , sauf pour le point de tangence dont l’ordonnée est nulle.

 

 

L’ordonnée « y » , correspondant à n’importe quelle abscisse « x » , est du signe de « a » sauf , l’ordonnée du point de tangence (tangent à l’axe des abscisses) qui est nulle , ce point ayant pour abscisse  «  »

 

On en tire  la règle suivante :

Si le discriminant est nul , le trinôme du second degré «  y = a x² + b x + c » a le signe de « a » pour n’importe quelle valeur de « x » , sauf, pour «  »

 

Valeur de la solution double de l’équation «  a x² + b x + c = 0» , le trinôme est alors nul.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2ème cas :   - 4 ac > 0

 

Si   b² - 4 ac  est positif et si « a >  0 », l’allure de la représentation graphique de la courbe sera :

Si   b² - 4 ac  est positif et si « a  < 0 », l’allure de la représentation graphique de la courbe sera :

S5

S6

Si   b² - 4 ac  est positif et si « a >  0 », On remarque que :

x2  <  x’   ;   y2  > 0  , c’est à dire du signe de « a »

x3  >  x’’   ; y3  > 0  , c’est à dire du signe de « a »

x’ < x 1 < x’’ ;   y1  < 0 ; c’est à dire du signe de « -a »

Si   b² - 4 ac  est positif et si « a  < 0 », On remarque que :

x2  <  x’   ;   y2  <  0  , c’est à dire du signe de « a »

x3  >  x’’   ; y3  < 0  , c’est à dire du signe de « a »

x’ < x 1 < x’’ ;   y1  > 0 ; c’est à dire du signe de « -a »

Donc : les points  « I ‘ »   et « I’’ »  sont les points d’intersections de la parabole avec l’axe des « x » ; « x’ » et « x’’ » sont leurs abscisses respectives.

 

1-         l’ordonnée « y » correspondant à une abscisse « x » inférieure à « x’ » ou supérieure à « x’’ » est du signe de « a ».

2-       l’ordonnée « y » correspondant à une abscisse « x »  comprise entre « x’ » et « x’’ » est du signe de « -a ».

3-       les intersections « I ‘ »   et « I’’ »  ont des ordonnées nulles.

 

On en tire la règle suivante :

Si le discriminant est positif le trinôme « y = a x² + b x + c »  a le signe de « a » pour les valeurs de « x » supérieures à la plus grande ou inférieures à la plus petite des solutions de l’équation : « a x ² + b x + c = 0 ».

Il a le signe contraire de « a » pour les valeurs de « x » comprises entre ces deux valeurs.  Il est nul pour « x = x’ »  et « x = x’’ ».

 

 

Résumé des trois règles :

 

On peut résumer ces trois règles en un seul énoncé :

 

Le trinôme du second degré de la forme « a x² + b x + c » a le signe de « a » pour toute valeur de « x » sauf dans le cas où le discriminant étant positif ou nul l’équation :  « a x² + b x + c  = 0 »  admet deux solutions distinctes ou égales « x’ » et « x’’ » . Dans ce cas pour toute valeur de « x » comprise entre « x’ » et x’’ » le trinôme a le signe  contraire de « a » . Pour toute  valeur de « x » égale à « x’ » et « x’’ » le trinôme est nul.

 

 

Remarque : les règles précédentes sont applicables aux binômes du second degré « a x² + b x »  et « a x² + c » . Ces binômes ne sont en effet que des trinômes incomplets dans lesquels les coefficient « c » et « b » sont nuls.

 

 

 

EVALUATION :

 

A partir des représentation graphiques suivantes , et pour chaque cas :

1°)  dire si « a » est « positif » ou « négatif » .

2°) Dire si le discriminant est « positif » « négatif » ou « nul » .

 

N°1 :

Le discriminant est : ……………………

La valeur de « a » est : …………….

N°2 :

Le discriminant est : ……………………

La valeur de « a » est : …………….

S5

S3

 

N°3

Le discriminant est : ……………………

La valeur de « a » est : …………….

N°4

Le discriminant est : ……………………

La valeur de « a » est : …………….

s1

S4

 

 

N°5

Le discriminant est : ……………………

La valeur de « a » est : …………….

N°6

Le discriminant est : ……………………

La valeur de « a » est : …………….

S2

S6

 

 

 

 

 

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