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PAGE D ‘ENTREE 

 Programme BAC PRO

INFORMATIONS PEDAGOGIQUES :

DOSSIER  N° le second degré

Matière :   MATHS.

 

 

 

TITRE :      L E   SECOND DEGRE

 

Classe :     sortie de collége.   

NIVEAU :

OBJECTIFS :

- Savoir  étudier le signe d’un polynôme du second degré.

 

 

I ) Pré requis: (pour remédiation ou mise à niveau)

 

 

 

i9  

Calcul avec des nombre décimaux

:i

 

 

i9  

Tracer des équations du second degré.

:i

 

 

 

II ) ENVIRONNEMENT du dossier :

 

 

Index  

Dossier précédent :

Dossier suivant :

 

Info :

 

 

 

III )   INFORMATIONS  «  formation leçon » :

 

 

Test

 

COURS 

Travaux  auto - formation.

 

Corrigé des travaux  auto - formation.

Contrôle

évaluation

INTERDISCIPLINARITE

Corrigé Contrôle

Corrigé

 évaluation

 

 

Chapitres :

 

 

 

 

 

Cours complémentaires :

 

 

i9  

1.       Définition : les équations et polynômes du second degré.

:i

 

 

i9  

2.     Résolution d’une équation du second degré.

:i

 

 

i9  

3.     Factorisation du polynôme du second degré.

:i

 

 

i9

4.     Etude du signe : (par le calcul)

:i

 

 

 

5.     Exercices d’application

 

 

 

 

 

 

 

 

IV )   DEVOIRS  ( écrits):

 

 

Devoir diagnostique L tests.

Ÿ

Devoir  Auto  - formatif  (intégré au cours)

Ÿ

Devoir Formatif  « Contrôle : savoir » ;   (remédiation)

Ÿ

 Devoir  Formatif  «  Evaluatio  savoir faire »  (remédiation)

Ÿ

Devoir sommatif.

Contrôle et évaluation

Devoir certificatif : (remédiation)

Ÿ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* remédiation : ces documents peuvent être réutilisés ( tout ou partie) pour conclure une formation .

 

 

Leçon

Titre

L E   SECOND DEGRE

 

 

COURS

 

 

Corrigé des exercices du cours.

 

Devoir :

 

 

 

 

 

 

 

LES EQUATIONS ET POLYNOMES DU SECOND DEGRE

 

1°)  Définition :

Une équation du second degré est une équation de la forme :

a x²+bx+c = 0 avec a,b,c nombre réels.

 

Exemple : 2x² -3x + 2 = 0.

 

 

2°)  RESOLUTION D'UNE EQUATION DU SECOND DEGRE

 

Résoudre une équation du second degré consiste à trouver les valeurs de x(on les appelle les solutions ou racines  de l'équation) qui vérifient l'équation :  qx²+bx+c = 0 où a ¹ 0.

 

Vous admettrez la démarche suivante pour effectuer la résolution de cette équation :

 

1ere étape :  On calcule D = b²-4ac          (D qui se lit "delta" est appelé le discriminant)

 

2emeétape :        

 

Si D < 0 alors l'équation n'a pas de solutions

· Si D > 0 alors l'équation admet deux solution x1 et x2 qui se calculent à l'aide des formules :

 

¸ Si D = 0 alors l'équation admet une solution x1. x1 se calcule à l'aide de la formule :

 

Exemple       On veut résoudre l'équation 2x² - 5x -3 = 0

 

 

1ere étape :  Dans ce cas : a = 2 ; b = -5 et c = -3

 

On calcule D = b²-4ac = 5² - 4´2´(-3) = 25 + 24 = 49

 

2emeétape : D > 0 on calcule donc les deux solutions x1 et x2  :

 

 

 

 

 

Vérification : Pour vérifier les calculs il suffit de remplacer x par les valeurs de x1 puis x2 :

 

2 ´ 3² - 5 ´ 3 -3 = 18 - 15 - 3 = 0 donc 3 est bien une solution de l'équation 2x² - 5x -3 = 0

 

2 ´ (-1/2)² - 5 ´ (-1/2) -3 = 2/4 + 5/2 -3 = 0 donc -1/2 est bien une solution de l'équation 2x² - 5x -3 = 0 

 

+Exercice n°1

 

Donner les solutions exactes puis arrondies à 0,1 près lorsque cela est possible des équations suivantes :

a) 3 x²+2 x – 1 = 0                    b) 16 x² +40 x +25 = 0  c) -2x + x -1 = 0                       d) .2 x² + 3 x -4 = 0                 

e)  x²-2 x = 5               f) 2 x² = 3 x - 2            g) – 3 x² = 2- x            h)  2 x² = 3 x² - 8 x + 3

 

 

3°)  FACTORISATION D'UN POLYNOME DU SECOND DEGRE

 

La factorisation d'un polynôme du second degré de la forme ax²+ bx + c dépend du nombre de solutions de l'équation du second degré ax² +bx + c = 0 :

 

Si D > 0 alors l'équation admet deux solution x1 et x2 et le polynôme se factorise de la manière suivante :

Si D = 0 alors l'équation admet une solution x1 et le polynôme se factorise de la manière suivante :

 Si D < 0 alors l'équation n'a pas de solutions et le polynôme ne peut pas se factoriser.

 

+Exercice n°2

 

Pour les équations de l'exercice n°1, donner la factorisation de chaque polynôme lorsque cela est possible.

 

Application de la factorisation

On utilise la factorisation du polynôme du second degré afin d'étudier son signe. Faisons cette étude à l'aide d'un exemple :

 

Soit le polynôme 4x² - 7x - 2.

 

Résoudre l'équation : 4x² - 7x - 2=0

· Factoriser le polynôme 4x² - 7x - 2.

¸ Résoudre les inéquations x + 0,25 > 0 et x - 2  > 0

¹ Reproduire et, en utilisant les résultats précédents, compléter le tableau suivant :

 

 

x

                        -0,25                                                   2

Signe de x + 0,25

                        0

  Signe de  x -  2

                                                                                  0

Signe de 4x² - 7x - 2

                        0                                                         0

 

 

 

4°)  Etude du signe.

Généralisation :

 

Si le polynôme n'a pas de solutions, alors pour tout réel x, le polynôme est du signe de a

 

· Si le polynôme a une ou deux solutions, alors on effectue la factorisation du polynôme et on construit un tableau de signe.

 

+Exercice n°3

 

On considère le polynôme P(x) = 16x² + 40x + 25.

 

Résoudre l'équation 16x² + 40x +25 = 0

· En déduire une factorisation du polynôme P(x), puis le signe de P(x).

 

5°) EXERCICES D' APPLICATION

 

1°) Pour chacune des équations suivantes :

v    Indiquer les valeurs de a, b et c et calculer le discriminant.

v    En déduire le nombre de solutions de l'équation

 

X² + 9 x + 19 = 0                 x² - 4 x + 4 = 0             -3 x² + x - 2 = 0                       4 x² + 5 x - 6 = 0

 

2°) Résoudre les équations proposées  :

 

+ x - 6 = 0               x² - 6 x + 9 = 0            4 x² - 5 x - 6 = 0                      x² - x + 1 = 0                

9 x² + 6 x + 2 = 0         -2 x² - 13 x + 7 = 0        4 x² + 12 x + 9 =0         12 x² = 5 x +2

 

3°) Factoriser quand cela est possible les polynômes suivants :

 

x²+2 x -3                     4 x ²+5 x- 6      - 2x²+5 x - 3    3 x²+2 x +2

 

4°) Pour chaque polynôme proposé :

Donner la factorisation

Etudier à l'aide d'un tableau de signe le signe du polynôme.

4 x² + 3 x - 1                 3 x² - 4x + 4/3             x² - 3 x + 2                  -2 x² + 3 x - 2

 

5°) Résoudre les inéquations suivantes : 15 x² - 17 x - 4 < 0  et         9 x² - 12 x + 4 ³ 0

 

6°) La courbe C est la courbe représentative de la fonction f définie sur l'ensemble des réels par

f(x) = -x² + 3 x

a)      Résoudre graphiquement l'équation -x² + 3 x = 0

b)      En utilisant le graphique indiquer le nombre de solutions des équations f (x) = 1         f(x) = 2,25 f(x) = 4

c)      En utilisant les formules de résolution, résoudre les équations :

 -x² + 3 x = 4                -x² + 3 x = 2,25                       -x² + 3 x = 1

NB : on donnera les valeurs exactes des solutions puis les valeurs arrondies au centième.

 

 

 

 

 

 

 

Leçon

Titre

TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur S

 

 

 

 

A venir TRAVAUX      d ’ AUTO - FORMATION : CONTROLE

 

 

 

 

TRAVAUX N°    d ‘ AUTO - FORMATION   EVALUATION