Correction des exercices du cours sur les équations et polynômes du second degré

Correction des exercices du cours sur les équations et polynômes du second degré

 

Exercice n°1

 

a)        b)        c)    d)         e)

 

f)     g)  h)

 

Exercice n°2

 

a)          b)    c) pas de factorisations        d)

 

e)          f) g) Pas de factorisations h)

 

 

Exercice n°3

 

1°) il existe une solution :

) , P(x) est toujours positif.

 

 

Corrigé des  EXERCICES D'APPLICATION

 

 

1°) x²+9x+19=0                    a=1     b=9     c=19      donc 2 solutions

-4x+4=0                  a=1     b=-4    c=4      donc une solution

-3x²+x-2=0                a=-3    b=1     c=-2    donc pas de solutions

4x²+5x-6=0               a=4     b=5     c=-6     donc 2 solutions

 

2°) x² +x -6 =0 les solutions sont : -3 et 2             x²-6x+9=0 une solution x = 3

4x²-5x-6=0 les solutions sont 2 et -3/4                  x²-x+1=0 pas de solution

9x²+6x+2=0 Pas de solution                                  -2x²-13x+7=0 les solutions sont -7 et 1/2

4x²+12x+9=0 une solution -3/2                             12x²=5x+2     les solutions sont -1/4 et 2/3

 

3°) Pour factoriser un polynôme, il faut que celui-ci admette des racines :

 

+2x-3 = (x-1)(x+3)             4x²+5x-6=4(x-3/4)(x+2)                   -2x²+5x-3=-2(x-1)(x-3/2)

3x²+2x+2 n'est pas factorisable.

 

Valeurs de x

            -1        1/4     

Signe de x+1

     -          0      +                   

Signe de x-1/4

               -              0     +

Signe de (x+1)(x-1/4)

        -       0       -    0     +

Signe de P(x)

    +          0       -    0     +

4°) 4x²+3x-1=4(x-1/4)(x+1)

 

 

 

 

 

 

 

3x²-4x+4/3 = 3(x-2/3)²         Ce polynôme est toujours positif.

 

X²-3x+1 = (x-1)(x-2)

Valeurs de x

            1          2         

Signe de x-1

     -          0      +                   

Signe de x-2

               -              0     +

Signe de (x-1)(x-2)

      +      0       -    0     +

Signe de x²-3x+1

     +          0       -    0     +

 

 

 

 

 

 

 

-2x²+3x-2 Pas de solution, le polynôme est du signe de a c'est à dire négatif.

 

5°) Résolution de 15x²-17x-4 < 0

 

On fait un tableau de signe car : 15x²-17x-4 = 15(x+1/5)(x-4/3)

 

Valeurs de x

            -1/5     4/3     

Signe de x+1/5

     -          0      +                   

Signe de x-4/3

               -              0     +

Signe de (x+1/5)(x-4/3)

       +      0       -    0     +

Signe de 15x²-17x-4

   +        0       -    0     +

 

 

 

 

 

 

 

 

D'après le tableau de signe l'ensemble solution de cette inéquation est ] -1/5 ; 4/3 [

 

Résolution de 9x²-12x+4 ³ 0

 

9x²-12x+4 = 9(x-2/3)² ce polynôme est toujours positif, l'ensemble des réels est solution.

 

 

 

6°) a) D'après le graphique il y deux solutions 0 et 3 (intersection de la courbe avec l'axe des abscisses).

 

b) Les solutions de l'équation -x²+3x=4 sont les abscisses des points d'intersection de la courbe représentative de

la fonction -x²+3x et de la droite d'équation y = 4.

Il en est de même pour les deux autres équation intersection avec y = 2,25 et y = 1

En lisant le graphique :

Dans le premier cas il n'y a pas de solution

Dans le second il y une solution pour x = 1,5 environ

Dans le troisième cas il y a deux solutions x1 = 0,4 et x2 = 2,6

 

 

 

 

 

 

c) En utilisant les formules de résolution :

 

-x²+3x = 4  Pas de solution

-x²+3x = 2,25 solution : x = 3/2

-x²+3x = 1 solutions : x1 = (3-Ö5)/2»0,38 et x2 = (3 + Ö5)/2»2,62