Pré requis:

°)Les équations du premier degré 

 

)résolution de problèmes du premier degré

3°) Niveau 5 : puissance et racine

 

 

 

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index        

Objectif précédent :

1) Résoudre les équations du second degré.

2°) Résoudre un problème du second degré (avec  données numériques ou les données littérales)

Objectif suivant

.2°) Vers « Résumé formation niveau IV »

3°) Suite « 2 » d’exercices et problèmes résolus. « Interdisciplinarité ».

 

DOSSIER :  LE SECOND DEGRE .

(Suite) Résoudre des problèmes du second degré    Et «série 1 : des  applications »

 

 

Chapitres :

 

 

 

1°) rappels :   Les  équations du second degré (définitions)

.

2°) Résolution des problèmes du second degré.(définition et procédure)

.

3°) Problèmes résolus

 

.

 

TEST

 

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité :

Série 1   d’exercices et problèmes résolus. « Interdisciplinarité ».

 

Série  « 2 » Exemples de problèmes résolus                         

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

Info COURS

 

1°) LES EQUATIONS DU SECOND DEGRE  (définitions)

 

 

On appelle  « équation du second degré à une inconnue « x » » une équation telle que , tous les termes ayant été transposés dans le premier membre et les termes semblables ayant été duits , le premier membre est un polynôme du second degré en »x ».

On dira,  donc qu’une équation du second degré est une équation dans laquelle le plus fort exposant de l’inconnue est « 2 ».

 

Il existe de sorte d’équations : les complètes et les incomplètes.

 

Equation complète : on appelle « équation complète » l’équation du deuxième degré qui présente des termes en « x² », des termes en « x » et au moins un terme connu.

 Exemple :  4 x² - 7 = 49 + x

Qui se ramène à la forme :  a x² + b x + c = 0     ( 4x² -41 - x = 0 )

 

Equation incomplète : on appelle « équation incomplète » l’équation du deuxième degré qui ne présente avec des termes en « x² » , que des termes en « x », ou des termes de valeur connue.

L’équation incomplète du deuxième degré peut se présenter sous deux formes.

 

1°)       3 x²  = 0  

Voir l’équation produit.

 

2°)     3 x² = 27

Qui équivaut à  a x² = c      ou   a x² - c = 0

 

3°)     4 x² = 2x

Qui équivaut à « a x² + b x = 0 »

 

Cette dernière écriture « a x² + b x = 0 » peut s’écrire en divisant par « x » :   

a x + b = 0

et  on a ainsi affaire à une équation du 1er degré ( 1 seule réponse)

 

Exemples d’équations :

 

= 9

3 x² = 27

 

3 + 5 x2  - x  = 0

 

-  +  x - x2  = 0

 

mx2px + 3 x2 –4 = 0

 

m – nx2 + 2px – m2 – p4 = 0

 

On a l’habitude d’ordonner le premier membre de l’équation suivant  les puissances décroissantes de « x » ; en réunissant en un seul tous les termes qui renferment « x » au même degré. Les équations précédentes s’écriront ainsi :

5 x2  - x + 3   = 0

 

- x2 +  x -  = 0

 

(m + 3 ) x2px  –4 = 0

 

– nx2 + 2px + ( m – m2 – p4 ) = 0

 

Une équation du second degré a donc trois termes ; son premier membre est un trinôme du second degré.

Le premier terme est le terme en « x2 »  (lire : en ixe deux ) , le second le terme en « x » ; le dernier terme est le terme indépendant de « x » ou « terme constant » .

 

Exemple :     dans l’équation

 

(m + 3) x2 – (2 – n + p ) x  + m – n  = 0

ce qui nous donne la somme algébrique :

 

  [(m + 3 ) x2 ] + [– ( 2 – n + p )x ] + [+ m – n]  = 0

 

Le premier terme est    (m + 3 ) x2 ; le second terme est – ( 2 – n + p )x ;   le dernier terme est  + m – n

 

 

Dans l’équation : - 3x – 1 + x2  = 0  

 

Le premier terme est + x 2 , le second –3x et le dernier –1 ; car cette équation ordonnée s’écrirait : + x2 - 3x – 1 = 0  

 

Dans l’équation : + x2  – 1 = 0 

Le premier terme est x2 ; le second terme n’existe pas ; le dernier terme est -1

 

 

 

 

 

2°) Résolution des problèmes du second degré.(définition et procédure)

 

 

A) Définition :

On dit qu’un problème est un problème du « second degré » de lorsque sa résolution peut  être obtenue par la résolution d’équations du second degré à une inconnue, précédée  ou suivie de la résolution de systèmes d’équations du « premier degré ».

 

Dans ce qui suit , nous ne considérons ici que des problèmes pour lesquels il suffira de résoudre « une seule » équation du second degré à une inconnue et , le plus souvent même, il n’y aura pas de système auxiliaire du premier degré.

 A propos de cette définition, (@ ) on pourrait répéter les remarques qui ont été faites des problèmes du premier degré

 

Procédure : il faut faire dans l’ordre

 

1°) choix de l’inconnue ; 2°) mise en équation ; 3°) résolution de l’équation ; 4°)Discussion.

 

Nous nous intéresserons à la mise en équation, résolution (@) de l’équation et discussion :

 

Au sujet de la mise en équation, tout à déjà été dit pour les problèmes du premier degré ; mais quelques remarques nouvelles doivent être faite pour la discussion ;

 

Trois circonstances, en effet, se présentent pour le second degré, qui ne se présenteront  jamais pour le premier degré.

 

1°) Il peut ne pas y avoir de racines.

 

2°) Il y a  fréquemment « deux racines » ; l’une peut convenir au problème et non pas l’autre ; il peut arriver que ces deux racines donnent deux solutions différentes du problème et il peut arriver aussi que ces racines, quoique différentes, conduisent à la même solution du problème. (voir les problèmes 1 ;2 ;3)

 

3°) Enfin, il peut y avoir une racine double (voir le problème 4) quelle grande importance peut avoir cette circonstance dans la discussion.

 

Remarque : 

Dans la discussion des problèmes du premier degré, il pouvait arriver que la solution disparaisse en devenant « infinie » ; c’est ce qui se produit lorsque, dans l’équation :   « a x + b = 0 »

Le coefficient « a » devient nul. De même, si dans l’équation du second degré :  «  a x² + b x + c = 0 »

Le coefficient « a » devient nul sans que « b » le soit, l’équation « s’abaisse » au premier degré et n’admet plus que la racine  ;qu’est devenue l’autre racine ? Comme la somme des racines  est devenue infinie, on peut présumer que la racine qui a disparu est devenue infinie, et c’est ce que confirmerait une étude plus approfondie. De même si les deux coefficients « a » et « b » sont nuls, sans que « c » le soit, l’équation n’est vérifiée  pour aucune valeur finie de « x » ; elle a deux racines infinies (ou une racine double infinie, comme l’on veut). Enfin si « a » et « b » et « c » sont nuls tous les trois , l’équation est vérifiée, quel que soit « x » ; elle est indéterminée . Nous avons tenu à indiquer ces résultats, mais il n’y a pas lieu d’en donner ici la démonstration ni de les étudier plus complètement.

 

Très souvent, surtout dans les problèmes de géométrie, la discussion de l’équation du second degré comprend trois parties :

 

1°) Etude des conditions d’existence des racines ou « conditions de réalité ».(Quelles relations doivent présenter les données littérales pour que le réalisant ne soit pas négatif ?)

 

)Etude des conditions de signes des racines : il peut être nécessaire que la grandeur cherchée soit positive ; elle peut, au contraire, dans certains cas, être portée dans deux directions et la valeur négative être acceptable ; l’examen du produit des racines et de leur somme permettra de traiter cette partie de la discussion.

 

3°) Etude des conditions de signes de  grandeur : l’inconnue dans certains problèmes doit être inférieure ou supérieure à des grandeurs données : par exemple, la flèche d’une corde étant l’inconnue, la racine obtenue ne devra pas être supérieure au diamètre du cercle,etc. ; la comparaison « a priori » d’un nombre aux racines d’une équation permettra de résoudre cette dernière question.

Nous n’indiquons pas les conditions particulières à chaque problème (condition pour un chiffre d’être entier et inférieur à 10, condition pour un salaire d’être positif, etc.)Il conviendra de les rechercher avec soin au début de la discussion.

 

3°) Problèmes simples  résolus

 

A)     Equation incomplète :

Série 1 :

1) Carré (@):   S = c² ; S = aire, c = côté

Problème : calculer le côté d’un carré de 225 centimètres carrés d’aire.

c² = 225 , d’où c = ±  =  ± 15 centimètres ;

 c = 15 centimètres

la solution négative ne convient pas au problème.

 

Série 2

1)        Problème d’arithmétique :   Si du carré d’un nombre, on retire 24 unités , on obtient 120 unités. Calculer ce nombre.

 

Solution :

1°) Soit « x » le nombre demandé

2°) mise en équation :*

          x² - 24 = 120

3°)résolution de l’équation :

 

                                      =  120 + 24

                                       = 124

                                    x =       ou    x =  ± 12

 

4°) On voit qu’on obtient deux réponses : une positive te une négative.

 

c’est qu’en effet, le carré de  -12  est 144  , et le carré de  +12 est aussi 144.

 

Remarque : dans ce problème, les deux réponses s’admette. D’autres problèmes n’admettent que la solution positive.

 

Problème 2 ( de géométrie) : Un champ rectangulaire a pour surface 4 800 mètres carrés. Sachant que la longueur est le triple de sa largeur, on demande de calculer ses deux dimensions.

 

Solution :

On posera l’équation de la surface d’un rectangle. Soit « x » la largeur , on aura comme longueur « 3x » , et l’on écrira :

                                   3x × x = 4 800

                                    3 x²    =  4 800

   x ²    =   =  1 600

   x      = 

                                       x     =  ± 40

Dans ce cas : la réponse positive est seule admissible.

 

 

B)     EQUATION COMPLETE

 

 

Problème n°3 :  Un rectangle a des côtés égaux respectivement à 4 m et 7 m . De combien doit - on augmenter l’un des côtés pour que , en diminuant en même temps l’autre côté de la même longueur, l’ aire  de la surface deviennent  24 mètres carrés.

Si l’on désigne par « x » la longueur cherchée, exprimée en mètres, les côtés deviendront respectivement  « 4 + x » et « 7 -x » ; si « x » est positif , on aura augmenté le côté égal primitivement à « 4 » et diminué l’autre ; si « x » est négatif , ce sera le contraire , mais en tout cas les conditions de l’énoncé sont satisfaite. L’aire de la surface d’un rectangle exprimée en mètres carrés est égale au produit des côtés exprimés en mètres ; on doit donc avoir :

                                               ( 4 + x ) (  7 - x ) = 24

c’est à dire                    x ² - 3 x - 4 = 0

 

d’où l’on tire :       x =    =   =

 

On a deux racines              x ‘  =   =    4

                                           x’’  =   = - 1

 

Commentaire : la première donne pour côtés « 4 + 4 » et « 7 - 4 » c’est à dire  « 8 » et « 3 ». On a donc deux solutions du problème proposé , mais ces solutions conduisent à deux rectangles égaux, dont les côtés sont simplement permutés. Cela tient à ce que le problème proposé revient à ceci : puisque l’on diminue l’un des côtés , et qu’on augmente l’autre de la même  longueur , leur somme reste constante et égale à « 11 »,il s’agit donc de trouver un rectangle connaissant la surface et la moitié du périmètre ; nous allons résoudre ce problème et voir qu’l y a un seul rectangle répondant à la question.

 

Problème 4 : Quels sont les côtés d’un rectangle dont on connaît  l’aire « 30 mètres carrés »  et le périmètre « 22 m. »

 

Désignons par « x’ »  et « x’’ » ses côtés, exprimés en mètres, le périmètre est « 2 x’+ 2 x’’ » et l’aire « x’ x’’ » ; on a donc :

      2x’ + 2x’’  = 22    soit         x’ + x’’ = 11   

                                  et         x’ x’’ = 30

il s’agit donc de trouver deux nombres  « x’ » et « x’’ » connaissant leur somme et leur produit. Pour cela, nous remarquerons que nous connaissons les coefficients de l’équation du second degré qui admet pour racines « x’ » et « x’’ » ; cette équation est :

                                      -  ( x’ + x’’)  + 30 = 0

Nous pouvons la résoudre, ce qui donne :

 

    X  =  ±  = ±

 

 

Les deux racines sont « 5 » et « 6 » ; on peut donc prendre, ou bien :

                                    x’  =  5     et  x ‘’ = 6

 

ou bien :                 x’ = 6  et   x ‘’ = 5

 

 

Conclusion : On a deux solutions, mais à ces deux solutions correspondent deux rectangles égaux ; leurs côtés seuls sont intervertis.

 

 

Problème 5 : Trouver deux nombres dont  la différence soit « 3 » et le produit « 40 ».

 

Nous allons ramener le problème au précédent ; dans ce but, nous remarquerons que la différence de deux nombres est égale à la somme du premier et d’un nombre opposé au second ; nous sommes ainsi conduits à désigner le premier nombre par « x’ » et le second par « -x’’ » ; leur différence est alors « x’ + x’’ » et leur produit est « - x ’x’’ » ; on a ainsi les deux équations :

                                   x’  + x’’ = 3

                                   x’ x’’     = - 40

Donc  « x’ » et « x’’ » sont les racines de l’équation : x² - 3 x - 40 = 0

D’où l’on tire :

              x =   ±   =   ± . =  ±

les deux racines sont « 8 » et « -5 » ; on peut prendre :

                                  

                               x’ = 8  et  x’’ = -5

donc les deux nombres « x’ » et « -x’’ » sont « 8 » et « 5 » On peut prendre  aussi :

 

                                   x’ = - 5  et  x’’ = + 8

Donc les deux nombres « x ‘»  et « -x’’ » sont -5  et - 8

 

On a ainsi deux solutions à la question posée. 

 

 

INTERDISCIPLINARITE :

 

Problème 1 :  Un brocanteur  achète une caisse contenant un lot « soldé » de vases en verre blanc pour 360 € , 3 sont cassés et vend les autres 5 euros de plus par vase qu’ils ne lui ont coûté. Il gagne ainsi 15 euros sur son marché ; combien chaque vase  lui avait-il coûté ?

 

Solution : soit « x » le nombre de vases ; chaque vase lui coûte  ; il en pers 3 , donc il lui en reste «  x - 3 » ; il revend chacun 5 € de plus  par vase , on il en revend chacun «  + 5 » ; cela fait  ( x - 3) (  + 5 )

Et ainsi  il gagne 15 euros , il  doit donc toucher 360 + 15  ou 375 € .

 

On a enfin : ( x - 3) (  + 5 ) = 375

 

Soit   5x² - 30x  - 1080 = 0   ou    x² - 6x - 216 = 0  

 

Les racines sont « 18 » et «-12 » ; le nombre « 18 » répond seul à l’énoncé proposé ;le nombre « -12 » satisfait à un énoncé modifié.

 

Problème 2 : Deux ville « A » et « B » sont situées sur un fleuve ;« A » à 42 km en aval de « B ».Un bateau fait le service entre les deux villes. Sachant que la vitesse  du courant est de 4 km/h et que la différence des trajets « AB » et « BA » est de 1h 12 min. Calculer la vitesse du bateau. 

 

1°) choix de l’inconnue : soit « x » la vitesse propre du bateau.

 

2°) Mise en équation : Admettant que la vitesse réelle du bateau est égale à sa vitesse propre , augmentée ou diminuée de la vitesse du courant suivant qu’il le descend  (trajet BA)  ou qu’il remonte ( trajet AB) nous exprimerons algébriquement l’égalité :

Durée du trajet AB    -   durée du trajet BA = 1 h   ou   h .

 

 

                                              -            = 

 

3°) Résolution de l’équation :

   -    = 

Supposant   x¹ 4  et   x ¹ -4  

Multiplions tous les termes par le p.p.d.c. qui est : 5 ( x+ 4) - 42 ( x -4) = 5 (  x² - 16)

 

il  vient :                         210 ( x - 4) - 210 ( x- 4 ) = 6 ( x² - 16 )

  soit                             210 ( x + 4 - x + 4 )         = 6 x² - 96

 

                                                             1 680         = 6 x² - 96

  6 x² = 1 680 + 96 = 1 776

                                                                  =   = 296

                                                               x     = ±   =  ± 17,2

 

4°) Discussion : seule la réponse positive convient :la vitesse propre du bateau est de  17,2 km / h .

 

Problème 3 :

Une amicale d’anciens élèves organise une excursion en autocars. Le prix global de l’excursion s’élève à 1200 €. Le nombre des participants étant supérieur  de « 4 »au nombre prévu chacun peut ainsi payer 10 € en moins. Quel était primitivement le  nombre d’excursionnistes ?

 

Solution :

1°) Choix de l’inconnue : soit « x » le nombre d’excursionnistes.

2°)Mise en équation :

 

Nous exprimerons algébriquement l’égalité :

      « part de chaque excursionniste ans le 1er cas » = « part de chaque excursionniste dans le second cas + 10 € »

 

                        soit        =   + 10

3°) Résolution de l’équation :

 

                                     =   + 10

Supposant x ¹  0 et   x ¹ - 4 multiplions tous les termes par le p.p.d.c.:  «  x ( x+4) »

 

  =   + 10  devient   1200 ( x + 4) = 1200x + 10 x (x+4)

 

                                               1200 x + 4800 = 1200x + 10 x² + 40 x

                                                 10 x² + 40 x -  4800 = 0

 

Soit en simplifiant :        x² + 4 x - 480 = 0        

 

« a » = +1 ; « b » = + 4 ; « b’ » = +2 ; « c » = - 480

 

= 4 + 480 = 484

  = 22

« x’ »  =  -2 + 22   =  + 20

« x ’’ »  =  - 2 - 22  =    - 24

4°) discussion : la solution positive convient seule. Le nombre des excursionnistes primitivement prévu était de « 20 ».

Problème 4 : Un ascenseur monte dans une cage d’escalier à la vitesse constante de 2 mètres par seconde.

Quand il a parcouru 10 mètres, on abandonne, à 20 mètres du bas de la cage une pierre qui descend avec une accélération de 9,80 mètre à la seconde par seconde. A quelle distance du haut de la cage , la rencontre se produira - t- elle ?.

 

Voir dessin niveau « 0 » départ de l’ascenseur vers le haut,la pierre est au niveau (+20) ;quand l’ascenseur est au niveau (+10), la pierre est lachée.

 

 

Solution : En premier  lieu nous remarquerons que le mouvement  de la pierre étant uniformément accéléré ( @ ) , son équation est : 

e =      avec  « e » l’espace parcouru ; « ³ » l’accélération ; « t » durée de parcours.

Le mouvement de l’ascenseur étant uniforme, son équation est :

   e = v t      avec  « e » l’espace parcouru ; « v » la vitesse ; t la durée du parcours.

 

1°) Choix de l’inconnue : soit « t » la durée de la chute de la pierre exprimée en secondes.

2°) Mise en équation :

Nous exprimerons algébriquement l’égalité :

 

« Chemin parcouru par l’ascenseur + chemin parcouru par la pierre = 20 m »

 

                                   10 + 2t +   = 20

3°) résolution de l’équation :

 

10 + 2t +   = 20  devient            4,9 t² + 2 t - 10 = 0

 

« a » = + 4,9 ; « b » = +2 ; « b’ » = +1  ; « c » = - 10

 

= 1 + 49  =  50

  #  7,07

 

                                 t’ =    #   1,25  s

 

                                 t’’ =    s    Cette réponse négative ne peut convenir.

La distance du point de rencontre au haut de la cage s’obtient en remplaçant dans la formule «  e = 4,9 t² » , « t » par sa valeur « 1,25 ».

 

                On trouve « e #  7,65 m

 

 

Problème 5 : Un détaillant en électroménager ayant commandé des lampes de bureau  pour une somme de 4375 €  constate une erreur à la livraison. Le fabriquant lui a expédié des lampes valant 3,75 € de moins par unité mais leur nombre est supérieur de 15 au nombre de lampes commandées. Le détaillant conserve la livraison pour le prix convenu. On demande quel était le nombre de lampes commandées et le prix d’une lampe. 

 

Solution :

 1°) Choix des inconnues : soit « x » le nombre de lampes commandées et « y » le prix d’une lampe.

 

2°) Mise en équations  : nous exprimons algébriquement les égalités :

 

(1)      le prix total des lampes dans le 1er cas est  4375 €

(2)   le prix total des lampes dans le 2e cas est  4375 €

 

d’où le système     

 

 

3°) Résolution du système

 

Dans l’équation (2) effectuons les parenthèses et réduisons

 

                         x y - 3,75 x + 15 y - 56,25 = 4375

                         x y - 3,75 + 15 y =  4 431,25                  (2)

 

de l’équation (1) tirons la valeur de « y » :     y =

 

Remplaçons « y » par son valeur dans l’équation (2)

     x ×    - 3,75 x + 15 ×  =   4431,25

 

Soit   

    - 56,25 - 3,75 x + 15 ×  = 0

 

« x » n’étant pas nul multiplions tous   les termes par « x »  

 

                 - 56,25 x - 3,75 x² + 65 625 = 0

ou                      3,75 x² + 56,25 x - 65 625  = 0

 

« a » = + 3,75 ; « b » = + 56,25 ; « c » = - 65625

 

=  3164,0625 + 984375 = 987539,0625

 = 993,75

 

x   =   = 125

 

 x   =   = - 140 

4°) Discussion :   la réponse positive x’ = 125 convient seule.

Reportons cette valeur dans l’égalité « y =  » nous obtenons  «  y = =35 »

                 Le nombre des lampes de poche commandées était de 125 et leur prix unitaire de 35 €.

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS

CONTROLE:

 

1° ) Combien de termes composent  une équation du second degré ?

 

2 °) Comment nomme –t-on son premier membre ?

 

3°) Dans le premier membre comment nomme –t-on :

 

 Le premier terme ?

 Le second terme ?

 Le dernier terme ?

 

EVALUATION:

 

Identifier les membres et nommer les termes :

 

 

1°)   Dans l’équation : - 3x – 1 + x2  = 0  

 

 

2°)Dans l’équation : + x2  – 1 = 0 

 

 

3°)     ( m + 3 ) x2 – ( 2 – n + p )x  + m – n  = 0