Pré requis:

Algèbre : notions préliminaires

 

LES  EGALITES

 

Calcul numérique : nomenclature.

 

Lecture :  Inégalité ou inéquation                _

Boule verte

Les relations d’ordre(symboles )

3D Diamond

« Expression algébrique » et « somme algébrique ».

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index : warmaths 

 

 

 

Objectif précédent   Sphère metallique

1°) Résumé  sur les priorités de calculs

2°) Résumé sur le calcul numérique.

-3°)  suite du résumé

Vers Résumé « l’algèbre ».

Objectif suivant :

  1. Les inégalités ..Sphère metallique
  2. Vers le programme niveau IV
  3. Vers Résumé « l’algèbre »

 

Info Géné.

  1. Liste des cours d’algèbre..
  2. Passage COLLEGE - LYCEE.
  3. Passage  CAP -BEP / BAC Prof.

Liste des TESTS : algèbre.

 

 

 

 

RESUME  sur  Calcul ALGEBRIQUE:

 

 

 Dans ce résumé nous nous bornerons à rappeler les définitions et les résultats vus dans les classes précédentes en complétant l’étude  des produits remarquables et celle des fractions rationnelles.

 

@ info+

EXPRESSIONS LITTERALES : définitions ,valeur numérique,expressions littérales équivalentes, calcul algébrique, opérations sur les expressions littérales.

@

@ info+

MONOMES : définition, monômes semblables, somme de monômes, différences de monômes, produits de monômes,quotient de deux monômes.

@ info+

@ info+

POLYNOMES :définitions, degré,polynôme ordonné,polynôme homogène,polynômes opposés, différence de deux polynômes,produit d’un polynôme par un monôme,quotient de deux polynôme.

@ info+

@ info+

PRODUITS ( ou IDENTITES) REMARQUABLES.

Définition, (a+b)² ; ( a- b)² ,Généralisation sur le carré d’un polynôme, ( a + b ) 3, ( a - b ) 3,  (a + b ) ( a - b), ( a3 - b3), ( a3 + b3), résumé ,

@ info+

@ info+

A quoi servent les produits remarquables ?

 

@ info+

Les fractions rationnelles : Définition , simplification , réduction au même dénominateur.

@ info+

 

 

TEST

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COURS

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Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité

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Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

 

COURS

 

 

CHAPITRE 1 :

 

@ info+

EXPRESSIONS LITTERALES

@

 

Définition :

 

Une expression littérale est l’indication de calculs à effectuer, ces calculs étant indiqués à l’aide de lettres, de nombres et de signes opératoires.

 

Une expression littérale est aussi appelée «  expression algébrique ».

 

Exemples :

 

A = 3 a² + 2 b²

B= 2  + 3

C =

 

 

Si une expression renferme des radicaux portant  sur des  lettres elle est irrationnelle, sinon elle est rationnelle.

 

Valeur numérique. On appelle « valeur numérique » d’une expression littérale pour certaines valeurs attribuées aux lettres le nombre obtenu en remplaçant les différentes lettres par les valeurs données et en effectuant les calculs qui n’étaient qu’indiqués.

 

Ainsi la valeur numérique de l’expression : 7 a² b3 + 5 ab² ; pour « a = -1» et « b = -2 » est « - 56 -20 » = « -76 »

 

Expressions littérales équivalentes.

 

On dit que deux expressions littérales sont équivalentes  lorsqu’elles prennent toujours la même valeur quelles que soient les valeurs attribuées aux lettres.

 

Calcul algébrique . Le calcul algébrique a pour but la transformation des expressions littérales en expressions équivalentes.

 

 

Opérations sur les expressions littérales :

 

Soient « A » et « B »deux expressions littérales ;

 

Il est évident que , quelles que soient les valeurs attribuées aux lettres qui entrent dans « A » et « B » , la valeur numérique de l’expression « A + B »  est la somme des valeurs numériques   A et  de B .

 

 

C’est pourquoi on dit que l’expression « A + B » est la somme des expressions A et B.  

 

De même, les expressions «  A - B » ; « A × B » et  «  » sont respectivement appelées « différence » , « produit » et « quotient » des expressions « A » et « B ».

 

Les opérations sur les expressions littérales se feront en utilisant les propriétés des opérations sur les expressions numériques puisque celles - ci sont applicables quelles que soient les valeurs attribuées aux lettres.

 

Ainsi on peut écrire :3 a² b3 × 5 a6 b² = 15 ( a² × a 6 ) × ( b3 × b² ) =  15 a8 b5

 

@info

MONOMES

@

 

 

Définition. Un monôme est une expression algébrique dans laquelle les seules opérations à effectuer sur les lettres sont des multiplications. ( Ou des élévations à une puissance qui sont des multiplications particulières).

 

Exemple : A = 3 × a² × b5 × a4×× b²

 

Peut s’écrire : A =  a6 b 8

On dit alors que « A » est écrit sous la « forme réduite ».  et   est  appelée « coefficient numérique »  et   « a6 b 8 » est appelée « partie littérale ».

 

MONOMES SEMBLABLES :

 

Deux monômes semblables sont  deux monômes qui ont la même partie littérale.

 

Exemple : 2 a3 b4   et  -5 a3 b4 

 

MONOMES OPPOSES :

 

Deux monômes opposés sont deux monômes semblables qui ont des coefficients numériques opposés.

 

   Exemple :   6 a² b3  et  - 6 a² b3 

 

DEGRE d’UN MONOME :

Le degré d’un monôme par rapport à une de ses lettres est l’exposant de cette lettre dans le monôme.

Le degré d’un monôme ( ou degré par rapport à l’ensemble de ses lettres) est la somme des degrés par rapport aux différentes lettres .

 

 

 

SOMME DE MONOMES :

 

 

La somme de plusieurs monômes s’obtient en les écrivant à la suite les uns des autres et en les séparant par le signe + , puis en associant les monômes semblables s’il y a lieu.

 

Exemple:   A = 2 a3 b²; B = 6 a3 b4   ; C = - 6 a5b2 ; D = 5 a3

 

                     A + B + C + D =  2 a3 b² + 6 a3 b4 + - 6 a5b2 + 5 a3

                                            =  7 a3 b² + 6 a3 b4 + - 6 a5b2

 

DIFFERENCE DE DEUX MONOMES .Pour retrancher un monôme « B » d’un monôme « A » on peut ajouter à « A » le monôme « B ».

 

Exemple : A =  2 a3 b² ; B = - 6 a3 b4 

 

                    A - B = 2 a3 b² + 6 a3 b4 

 

Il en résulte la possibilité d’écrire plus simplement la somme de plusieurs monômes dont certains ont des coefficients numériques négatifs. Ainsi la somme des monômes                     A + B + C + D =  7 a3 b² + 6 a3 b4  - 6 a5b2

 

PRODUIT DE MONOMES. Le produit de plusieurs monômes est le monôme qui a pour coefficient numérique le produit des coefficients numériques et dont la partie littérale s’obtient en prenant des lettres qui entrent dans les différents monômes et en affectant chacune d’elles d’un exposant égal à la somme des exposants qu’ a cette lettre dans les différents monômes.

Exemple :  A =  3 a²b3    ; B =  5ab4c²   ; C = - 2 a3 b c4

                  

                                              A B C  = - 30 a 6 b8 c 6

 

QUOTIENT DE DEUX MONOMES:

Le quotient de deux monômes  est la fraction quia pour numérateur le dividende et pour dénominateur le diviseur.

 

On simplifie cette fraction, si cel est possible, comme une fraction numérique.

 

Exemple : A = 18 a² b8   ; B = - 12 a 4 b 6

 

                                 

 

 

 

 

@

POLYNOMES

@

 

DEFINITIONS :

Un polynôme  est une somme algébrique de monômes.

 

Un polynôme est à une ou plusieurs variables suivant que les différents monômes qui le composent renferment une ou plusieurs lettres.

 

On peut associer les monômes semblables ; on dit alors qu’on « réduit » les termes semblables.

 

Tout polynôme peut être considéré comme une somme de monômes. Ces différents monômes sont les termes du polynôme.

 

Un polynôme réduit qui a deux termes est un binôme et un polynôme réduit qui a trois termes est un trinôme.

 

DEGRE.

Le degré d’un polynôme par rapport  à une lettre  est le plus fort exposant de cette lettre dans le polynôme.

 

Le degré d’un polynôme est le degré de celui de ses monômes qui a le plus fort degré .

 

POLYNOME ORDONNE.

 

Un polynôme est ordonné suivant les puissances décroissantes d’une lettre lorsqu ‘en allant du premier  monôme au dernier l’exposant de cette lettre  va constamment en diminuant.

Si cette exposant va constamment en augmentant, on dit que le polynôme est ordonné suivant les puissances croissantes de cette lettre.

 

On doit toujours ordonner les polynômes afin de faciliter les opérations.

 

Lorsque , ayant ordonné un polynôme à une variable, il manque des termes d’un certain degré, on dit que le polynôme est « incomplet ».

 

POLYNOME HOMOGENE :

 

On dit qu’un polynôme est homogène lorsque tous ses termes ont le même degré.

Exemple :  3 a²b5 + 6 a b6 - 9 b7

 

POLYNOME OPPOSES :

 

 Deux polynômes opposés sont deux polynômes dont les termes sont deux à deux opposés.

 

Exemples :   3 a4  + 5 a² - 7    et   - 3 a4  - 5 a² + 7 

 

SOMME DE POLYNOMES.

 

  Pour faire la somme de plusieurs polynômes on fait la somme des différents monômes qui les composent et on réduit  les termes semblables s’il y a lieu.

 

Exemples :

   A = 3 x3  + 6 x² + 4 x - 1

   B = 2 x 3 + 2x + 3

   C = x 3 - 5 x² + 3

 

A + B + C =  6 x3 + x²  + 6 x + 5

 

 

 DIFFERENCE DE DEUX POLYNOMES.

 

Pour retrancher un polynôme « B »  d’un polynôme « A » on ajoute  a « A »  le polynôme opposé de « B ».

 

Exemples :   

 

   A = 3 x3 + 4 x² - 6 x - 1

   B = 2 x 3 - 6x² +7

 

   A - B = 3 x3 + 4 x² - 6 x - 1 -2 x 3 + 6x² -7 

 

  A  -  B =   x3 + 10x²  -6 x -8

 

 ADDITION ET SOUSTRACTION DE POLYNOMES.

 

Une  suite d’additions et de soustractions de polynômes doit se transformer ou se ramener à une   somme algébrique de polynômes.

 

Exemple : soient les polynômes :

 

 

A

=

6 x4

+

3 x3

-

5 x²

+

4x

-

1

B

=

- 5x4

+

3 x²

 

 

 

 

+

7

C

=

- 3 x4

-

6x3

 

 

+

4x 

-

  8

D

=

- 6 x4

-

4 x3

-

8 x²

-

5x

 

 

 

Calculer  A - B + C - D

A

=

6 x4

+

3 x3

-

5 x²

+

4x

-

1

- B

=

5x4

 

 

-

3 x²

 

 

-

7

C

=

-  3 x4

-

6x3

 

 

+

4x

-

8

- D

=

6 x4

+

4 x3

+

8 x²

+

5x

 

 

A  - B +C - D

=

1 4 x²

+

x3

-

10 x²

+

13x

-

16

 

PRODUIT D’UN POLYNOME PAR  UN MONOME.

 

Pour multiplier un polynôme par un monôme  on multiplie chaque terme du polynôme par le monôme et on ajoute les résultats  obtenus.

 

Exemple :  A = 3 x² + 5 x - 1

                  B = 3 x 3

                 AB = 9 x5 + 14 x 4 - 3 x3

 

 

PRODUIT DE DEUX POLYNOMES.

 

Pour faire le produit de deux polynômes on multiplie chaque terme du premier polynôme par chaque terme du second et on ajoute les résultats obtenus.

 

Si les deux polynômes sont compliqués, il est commode de disposer l’opération en écrivant les monômes semblables des différents produits partiels les uns au - dessous des autres.

Exemple :

                                      A = 2x² + 3 x y - y²

                                      B = x² - 2 x y + 3 y²

 

 

2 x²

+ 3 xy

- y²

 

 

- 2xy

3y²

 

 

2 x4

+ 3 x3  y

- x² y²

 

 

 

- 4 x 3 y

- 6 x² y²

+ 2 x y3

 

 

 

6 x² y²

+ 9 x y3

- 3 y4

2x4

- x3 y

- x² y²

+ 11 x y3

-3 y4

 

 

QUOTIENT DE DEUX POLYNOMES .

 

Le quotient de deux polynômes est la fraction qui a pour numérateur le polynôme dividende et pour dénominateur  le polynôme diviseur.

 

Nous verrons plus loin qu’il est parfois  possible d’écrire ce résultat plus simplement.

 

@

PRODUITS REMARQUABLES  ou IDENTITES REMARQUABLES.

@info

 

On appelle « produits remarquables » les résultats de certaines multiplications qu’on doit savoir par cœur parce qu’ils permettent d’effectuer plus rapidement des transformations d’expressions littérales. Les égalités auxquelles on est conduit sont appelées « identités ».

 

@info

 1°)      ( a + b ) ²

@

 

On a :

 

( a + b ) ²  =  ( a + b ) ( a + b )

                 =  a ² + b a + a b + b²

                 = a ²  + 2 a b + b²

 

( a + b ) ²   = a ²  + 2 a b + b²

 

 

@info

 2°)      ( a - b ) ²

@

 

On pourrait comme précédemment effectuer la multiplication ( a - b) ( a - b) , mais il est plus simple de déduire le résultat du précédent.

 

En effet on peut écrire :

 

 ( a - b ) ²  =  [ a + (-b)]²

 

                =   a ² +(- b) a + a (-b) +(- b)²

                =   a ²  + 2 a ( -b)  + (- b)²

                =     - 2ab + b²

 

( a - b ) ²  =    - 2ab + b²

 

On dit qu’on a déduit ce résultat du précédent  en “changeant “b” par “-b”. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

GENERALISATION. CARRE D’UN POLYNOME.

@

               ( on utilise pour la démonstration appelée : méthode par récurrence)

Considérons d’abord un polynôme de 3 termes a + b + c . On peut calculer ( a+ b+ c) ² en considérant « a+ b  + c» comme étant la somme de deux termes : « a+b » et « c » . On obtient  ainsi :

 

( a+ b+ c) ²  =  (a + b) ² + 2 ( a + b) c + c²

 

                   =   a² + 2ab + b² + 2ac + 2 bc + c²

 

                   =   a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

 

 

On voit que le résultat trouvé  est égal à la somme des carrés  de tous les termes augmentée  de la somme de tous les doubles produits de ceux - ci pris deux à deux comme dans le cas du carré  de la somme de deux termes.

Voyons si cette règle est générale . Pour cela admettons qu’elle est vraie dans le cas de « n » termes « a ; b ; c ; ……k ; l » et voyons si elle est vraie lorsqu’il y a un terme de plus « m »

 

Admettons donc que l’on a :

(a + b  + c + ……+k  + l )² = a² + b² + c² + ……….+ k²+ l² +  2ab + 2ac + ………2 k l

 

et calculons    (a + b  + c + ……+k  + l +  m )²   en considérant  «  a + b +c + …..k + l+ m » comme la somme de deux termes :    « a+ b + c +……..k + l »  et « m »

 

On a :

 

(a + b  + c + ……+k  + l +  m )²   = (a + b  + c + ……+k  + l )²+ 2 (a+ b + c +……..k + l )m + m²

  

Si on développe le carré et le double produit ,

 

1°) Les carrés de a ; b ; c ; … k ; l  sont dans le développement du carré et « m² » est dans le dernier terme,

 

2°) tous les doubles produits qui ne contiennent pas « m » sont dans le développement du carré et tous ceux qui contiennent « m » sont dans le deuxième terme.

 

D’autre part , il n’y a pas d’autres termes que ces carrés et ces doubles produits.

 

Finalement on voit que le résultat obtenu est la somme des carrés de tous les termes augmentée de la somme de tous les doubles produits.

 

La règle est vraie pour « n = 2 » il en résulte qu’elle est vraie pour « n+1 = 3 ». Etant vraie pour « n = 3 » elle est vraie pour « n+1 = 4 ».

En  procédant de proche en proche on voit qu’elle est vraie quel que soit le nombre de termes.

 (  a + b + c + …..+ k + l + m )² =  +

Nota : pour  le symbole    lire  «  la somme des… »

 

Pratiquement , afin de n’oublier aucun double produit, on écrit les doubles produits de chaque terme par tous ceux qui le suivent.

 

Exemple :

 Soit à calculer  A = ( 3 x3 + 4 x² - 5 x - 3)²

 

On a    A  =  9 x6 + 16 x 4 + 25 x² + 9 + 24 x5 - 30 x4 - 18 x3 - 40 x3 - 24 x² + 30x

 

                 = 9 x6 + 24 x5 - 14 x4 - 58 x3  + x ² + 30 x + 9

 

REMARQUE : la méthode employée dans la démonstration précédente est appelée”Méthode par « récurrence »  . On voit en quoi elle consiste :

   Ayant remarqué que la propriété est vraie pour les premières valeurs de « n » on suppose qu’elle est vraie pour une valeur de « n » quelconque et on démontre qu’elle est vraie pour « n+1 ». Etant vraie pour « n = 2 » ; n=  3 , ….elle est générale. 

 

 

 

 

 ( a + b ) 3

 

 

On a  ( a + b )3   = ( a + b ) ² ( a + b)

 

                           = ( a² + 2a b + b² ) ( a + b)

                     

                           = a 3 + 2a² b + b² a + a² b + 2 ab² + b 3 

                        

                           =  a 3 + 3 a² b  + 3 ab²  + b3

         

                             ( a + b )3   =  a 3 + 3 a² b  + 3 ab²  + b3

 

 

On écrit parfois ce résultat sous la forme :

 

                             ( a + b )3   =    a 3 + b 3  + 3 a b ( a + b)

 

 

( a - b ) 3

 

 

Changeons les résultants précédents “b” en “-b” . On obtient :

 

                            

                                  ( a - b )3   =   a 3 - 3 a² b  + 3 ab²  - b3

 

                                  ( a - b )3   =   a 3 -  b 3  + 3 a b ( a -  b)

            

 

 

 

@ info

 ( a + b ) ( a - b)

 

 

Effectuons la multiplication.

                     On a : ( a + b ) ( a - b)  =  a² + b a  - a b - b²

                                                          =  a² - b²

 

                  

                                 ( a + b ) ( a - b)  =     - b²

 

@ info

 a3   -   b  3   

 

 

Nous avons déjà trouvé  :   ( a - b )3   =   a 3 -  b 3  + 3 a b ( a -  b)

 

On en déduit : 

 

           a 3  - b 3  = ( a - b) 3  + 3 ab ( a - b)   

 

                          = ( a - b ) [ ( a - b ) ² + 3 a b ]

 

                          = ( a - b ) [ ( a² - 2ab + b²  + 3 a b ]

 

                          =  ( a - b) ( a ² + a b + b² )

 

                   a 3  - b 3  =   =  ( a - b) ( a ² + a b + b² )

 

@ info

 a3   +    b  3   

 

 

Changeons  dans  le résultat précédent “b” par “-b”

 

On obtient:    a3   +    b  3    = ( a + b ) ( a² - a b + b²)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

En résumé, on doit savoir par Coeur les résultats  suivants :

 

 

 ( a + b ) ² = a² + 2 a b + b²

 

 ( a - b ) ² = a ² - 2 ab + b²

 

( a + b ) ( a - b)  =     - b²

 

On se  rappel era  des calculs suivants:

( a + b + ….+ m )² =  +

( a + b )3   =  a 3 + 3 a² b  + 3 ab²  + b3

 

                 =    a 3 + b 3  + 3 a b ( a + b)

 

( a - b )3    =   a 3 - 3 a² b  + 3 ab²  - b3

 

                  =   a 3 -  b 3  + 3 a b ( a -  b)

 

 

a 3  - b 3  =   =  ( a - b) ( a ² + a b + b² )

 

a3   +    b  3    = ( a + b ) ( a² - a b + b²)

 

 

REMARQUE : Les polynômes qui sont dans les deux membres de chacune des identités précédents sont “homogènes” et du même degré .

 

@ info

A QUOI SERVENT LES PRODUITS REMARQUABLES ?

@

 

1ère APPLICATION :  La factorisation d’un polynôme du second degré : on regarde si deux termes ne sont pas le début d’un développement  de la forme :

1°)   a² + 2 a b  + …….=  qui se ramène à la forme   ( a + b) ²  ou a² + 2……+ b² ) = ( a + b )²

 2°) a² - 2 a b  + …….=  qui se ramène à la forme    ( a - b) ²  ou a² - 2……+ b² ) = ( a - b )²

 3°)  a² - b²    qui se ramène à la forme    ( a + b ) ( a - b )

 

2ère APPLICATION  Tout d’abord, les produits remarquables  permettent de calculer « une puissance d’un polynôme ».

 

Exemple 1 . Calculer  A = ( x + 2 y ) 4

 

   On a :   A =  [ ( x  + 2 y ) ² ]²

 

                   = ( x² + 4 x y + 4 y² ) ²

 

                   = x 4  + 16 x² y ² + 16 y ² + 8  x3 y  + 8 x² y²  + 32 x y 3

 

                  =  x 4 + 8 x3 y + 24 x² y² + 32 x y 3  + 16 y 4

 

 

 

Exemple 2 .

 

Calculer B = ( x + y + 1 ) ²

 

On a   : B = ( x + y ) 3  + 3 ( x + y ) ² + 3 ( x + y ) +1

                =  x3 + 3 x² y  + 3 x y² + y 3 + 3 x² + 6 x y + 3 y² + 3 x  + 3y + 1

 

3ème APPLICATION :  « l’identité »

                                                       ( a + b ) ( a - b)  =     - b²

 

               permet d’obtenir le produit de certains polynômes particuliers sans poser la multiplication.

 

Cela se produit si les deux polynômes sont formés de nombres dont les uns sont les mêmes et les autres opposés deux à deux.

Exemple 1 :Calculer l’expression :

 A = ( 2x + 5 y +1) ( 2x -  5y +1 )

Exemple  2 . Calculer l’expression :

 

B = ( 2x + 5 y +1) ( 2x - 5 y -1) ²

 

On a   A = ( 2x +1)² - ( 5 y)²

 

               = 4 x² + 4x  + 1  - 25 y²

 

On a  B = ( 2x²)² - ( 5y +1 )²

             =  4 x² - ( 25 y² + 10 y +1 )

            =  4 x² - 25 y² - 10 y - 1

 

 

4ème APPLICATION .

 

Dans la suite du cours , nous avons à mettre un polynôme sous la forme d’un produit de facteurs . Ce problème n’est pas toujours possible. Nous ne nous proposons pas d ‘ examiner  dans quels cas on peut le résoudre mais simplement d’indiquer les essais que l’on doit faire pour essayer d’obtenir le résultat demandé.

 

1°) On regarde si on peut mettre une expression en facteur.

Exemples : 

A = a b  + a c - a d

    = a ( b + c - d)

 

    B = 6 x² y² + 9 x² y 4

        = 3 x² y² ( 2x + 3 y²)

 

C = 2 ( a + b ) ² + 3 ( a + b ) ²

         = ( a + b )² [ 2 ( a + b) + 3 ]

          = ( a + b )² ( 2a + 2 b + 3 )

D  = ( x + y ) ( x + 5 y ) - ( x + y ) ( 6x - 4y)

     = ( x + y ) [( x + 5 y ) -  ( 6x - 4y)]

     =  ( x + y )  ( x +  5 y - 6 x + 4 y)

     = ( x + y ) ( - 5 x + 9 y)

 

                      

 

                      

 

2°) On remarque si l’expression donnée est la différence des carrés de deux polynômes ( ou monômes) et on utilise l’identité :    a² - b² = ( a + b ) ( a - b)

 

 

Exemples :

A = 9 x² -  16 y²

      = ( 3 x + 4 y ) ( 3 x - 4 y)

B = a² + 4 ab + 4 b² - 1

   = ( a + 2b ) ² - 1

   = ( a + 2b + 1) ( a + 2b - 1 )

 

  C =  4 x² - y ² - 4 x + 1

     =  ( 2x - 1 )²  - y ²

     =  ( 2x - 1 + y ) ( 2 x - 1 - y )

 

)De même , une expression pourra être mise  sous la forme d’un produit de facteurs si elle est la différence ou la somme de deux cubes.

 

 

On utilisera alors les résultats établis précédemment pour l’égalité «   a 3  - b 3  =  ( a - b) ( a ² + a b + b² ) »  et l’égalité   «  a3   +    b  3    = ( a + b ) ( a² - a b + b²) »

 

Exemple : A = a 3 - 8 b6

                    =  ( a - 2 b²) ( a² + 2a b + 4 b4)

 

 

4°) On regarde si une transformation préalable de l’expression donnée permet d’obtenir une mise en facteur.

 

Exemples :

 

A  =  a² - 4 b² + ( 2 a - 4 b)²

     =  ( a + 2 b ) ( a - 2 b) + 4 ( a - 2 b)²

     =   ( a - 2b )  [ ( a + 2 b ) + 4 ( a - 2 b)]

     = ( a - 2b )  ( a + 2b + 4 a - 8 b)

     = ( a - 2 b ) ( 5 a - 6 b)

 

B = x 3 ( x - z ) + y 3 ( z - z ) + z3 ( x - y )

   = x3 y - x 3z + y 3 z - y3 x + z3 ( x - y )

   =  ( x 3 y - y 3 x ) - ( x3 z - y3 z ) +  z3 ( x - y)

   = x y ( x² - y² ) - z ( x3 - y 3 )+ z3 ( x - y )

   = x y ( ( x - y ) ( x + y )  - z ( x - y ) ( x² + x y + y² ) +  z3 ( x - y )

 

  = ( x - y ) [ x y ( x + y ) - z ( x² + x y + y² ) + z3 ]

 

 

Considérons maintenant l’expression entre crochets.

On peut écrire :

 

 

 

 

                        x² y + x y² - z x² - x y z - z y² + z²

                   = ( x²y - z x ² ) + ( x y² - x y z ) - ( z y² - z3 )

                  =  ( y - z ) + x y ( y - z ) - z ( y -z)( y + z)

                   = ( y - z) [ x² +  x y - z ( y + z ) ]

 

 et   B = ( x - y ) ( y - z ) [ x² +  x y - z ( y + z ) ]

 

La nouvelle expression entre crochets peut s’écrire :

 

 

              x ² + x y - z y - z²

         =    ( x² - z² ) + ( x y - z y)

         = ( x + z ) ( x - z ) + y ( x - z)

         =  ( x - z ) ( x + y + z )

 

Finalement ,  de la  forme développée de B = x 3 ( x - z ) + y 3 ( z - z ) + z3 ( x - y )

 on a  par transformation successive  la forme « factorisée » :

 

           B = ( x - y ) ( y - z ) ( x - z ) ( x - z ) ( x + y + z )

 

 

 

@info.

FRACTIONS RATIONNELLES

@

 

Définition. On appelle « fraction rationnelle le quotient de deux monômes ou polynômes.

 

Exemples :  ;  ;

 

Le dividende est le numérateur de la fraction, le diviseur est son dénominateur ;le numérateur et le dénominateur en sont les deux termes.

 

@ info 1 , rappel :Info 2

SIMPLIFICATION.

 

 

Le premier problème qui se pose est évidemment d’écrire une fraction rationnelle sous la forme la plus simple, c’est à dire de la simplifier.

 

Une fraction rationnelle sera d’autant plus simple que ses deux termes seront de plus petit degré. De même que pour une fraction numérique, pour simplifier une fraction rationnelle, on divisera ses deux termes  par un même facteur.

 

 

Pour cela , on essaiera de mettre ses deux termes sous forme de « produits de facteurs ». On pourra alors simplifier la fraction s’il y a au numérateur et au dénominateur un facteur commun.

 

Exemples :

 

   ( le produit de facteurs communs est :  3 a²b4c² )

 

  =    =    ( après factorisation on trouve le facteur commun (x-y)

 

  =   =

 

REMARQUE 1 :

Il faut bien faire attention de ne pas supprimer un même terme au numérateur et au dénominateur si ceux-ci n’ont pas été mis sous forme de  produits.

 

Par exemple :  il ne faut pas écrire :   =    en supprimant « a² » aux termes car, en procédant ainsi, on retranche « a² » aux deux termes et on n’obtient pas une fraction équivalente. ( pour vérifier qu’il n’y a pas égalité donner par exemple à « a  = +2»  et « b= + 3» il suffit ensuite de faire le calcul. Dans chaque membre)

 

REMARQUE 2 : Il arrive fréquemment qu’on peut mettre immédiatement un des termes d’une fraction sous la forme d’un produit de facteurs du premier degré de la forme (x -a ) ( x - ³ ) …….

 

Il est alors naturel de se demander s’il est possible de mettre en facteur dans l’autre terme l’un des binômes  (x -a ) ( x - ³ ) …….

*

Soit par exemple la fraction :

 

 

A =

 

Examinons si dans le numérateur « N » on peut mettre  « x- 1 » en facteur, c’est à dire s’il existe un polynôme « N’ » tel que l’on ait quel que soit « x » :

                                           N = ( x - 1) N’

 

S’il en est ainsi, pour « (x - 1 ) N’ = 0 »  donc « N = 0 »

 

 

Or pour « x = 1 ; N = 1 - 3 - 5 +14 ; donc dans « N » on ne peut certainement pas mettre « x-1 » en facteur.

 

Voyons de même si dans « N » il est possible de mettre « x-2 » en facteur.

 

Le même raisonnement que précédemment nous prouve que pour qu’il en soit ainsi il faut que « N » s ‘ annule pour « x = 2 »

 

Pour « x = 2 » , on a « N  = 8  - 12 -10 +14 = 0 » donc dans « N » on peut peut - être mettre « x - 2 » en facteur. Pour voir si cela est effectivement possible , nous allons essayer de mettre « N »  sous la forme d’une somme de binômes dans lesquels on peut mettre « x-2 » en facteur .

 

 Avec le premier terme « x3 » il faudrait «  -2x² » ; on aurait ainsi « x 3 - 2 x²  =  ( x - 2) »  

 

Comme dans « N » on a « -3x² »  ( et  non pas « -2x²) il faut ajouter « -x² »  

 

Avec  « -x² » il faudrait « 2x » , on aurait ainsi : - x² + 2x = - x ( x - 2)

 

Comme dans « N » on a « -5x » (et non pas « 2x ») il faut ajouter « -7 x »

 

 

 

 

Finalement il reste donc - 7 x + 14 = - 7 ( x -2)

 

Les calculs précédents se résument ainsi :

 

N =

 

-

-

 

( x - 2)

- x ( x -2)

- 7 ( x +2)

                           

                                  N   =    ( x - 2 ) ( x² - x - 7 )

 

 

Nous  pouvons donc simplifier la fraction « A » et écrire :

 

 A =   =

 

( @ info)

REDUCTION AU MEME DENOMINATEUR.

 

 

On peut prendre pour dénominateur commun le produit des dénominateurs.

Soient par exemple les deux fractions :

 

              et

 

La 1ère  est équivalente à    et la seconde  à

 

 

 

Il est souvent possible de trouver un dénominateur commun plus simple que le produit des dénominateurs.

 

 

 

Pour  qu’une expression  puisse être prise comme dénominateur commun, il suffit qu’elle contienne en facteur chacun des dénominateurs des différentes fractions.

 

On pourra former le dénominateur commun en utilisant une règle analogue à celle  utilisée pour les fractions numériques : ( @ info) On décompose les dénominateurs eu produits de facteurs et on fait le produit de tous les facteurs , communs ou non communs , chacun d’eux étant pris avec son plus  fort exposant .

 

 

 

 

 

 

 

EXEMPLE 1  :   Réduire au même dénominateur :

 

   et 

 

 

On pourra prendre comme dénominateur commun   ( a + b ) 3 ( a - b )3

Les deux fractions  données sont équivalentes à :

 

   et 

 

EXEMPLE 2  : Réduire au même dénominateur :

 

 

 ;    et 

 

Mettons les dénominateurs sous forme de produits .

 

 

        - 1 = ( x +1) ( x - 1)

        - 4 = ( x +2) ( x - 2)

      x3  - 3 x² + 2x = x ( x² - 3x +2 )

 

Regardons si dans le trinôme « x² - 3x + 2 » on peut mettre en facteur l’un des facteurs des deux premiers dénominateurs.

 

Pour   « x = 1 » ; on a  x² - 3x + 2 = 1 - 3 + 2 = 0

 

Donc , dans ce trinôme il est peut-être possible de mettre « x-1 » en facteur.

 

En procédant comme nous l’avons vu pour   A =   nous écrirons :

               x² - 3 x + 2 = x² -x - 2x +2

                                 =  x ( x-1) - 2 ( x -1)

                                 = ( x - 1 ) ( x - 2 )

 

 

Donc  x3 - 3 x² + 2x = x ( x - 1) ( x - 2)

 

Finalement, on prendra pour dénominateur commun  « x (x-1)(x+1)(x-2)= x ( x²-1) ( x² - 4) et les fractions données sont respectivement  équivalentes à :

 

 

 

 

 

 

 

@ INFO

OPERATIONS .

 

 

Les opérations sur les fractions rationnelles se font en appliquant les mêmes règles que pour les fractions numériques.

 

 

Exemple 1  Calculer l’expression :

 

   A =

 

Les deux fractions se simplifient et on a :

 

 

                               A         =  

 

 

           =

 

                                        =    

 

                                         = 

 

 

Exemple2 : Calculer l’expression :

                                               A =

 

Nous prendrons pour dénominateur commun :

 

                                       ( a - b) ( b - c) (c - a)

 

A =

 

Regardons si le résultat obtenu peut se simplifier. Pour voir si dans le numérateur « N » on peur mettre « a -b » en facteur , remplaçons « a » par « b » ; on obtient :

*                             b ² ( c -b) + b² ( b- c) + c² × 0 = 0

 

Dons dans « N » on peut « peut être » mettre « a - b » en facteur .On a :

 

 

N =   a² c - a²b + b² a - b² c - c² ( a -b)

                                  =  c( a² - b² ) - a b ( a - b) - c² ( a - b)

                                    = c ( a- b) ( a + b )- a b ( a - b ) - c² ( a - b)

                                  = ( a - b) ( ac + b c - a b - c² )

 

Donc               A =        

 

Pour  b = c , le numérateur « N’ » s’annule .

Il est donc , peut - être possible de mettre «  b -c » en facteur dans « N’ ».On a :

 

    N’  = a ( c - b ) + c ( b - c)

         = ( b - c ) ( c - a)

 

Finalement                     A = 1

 

Exemple 3 .            Calculer l’expression :

 

 

                               A  =   

 

La 1ère fraction est égale à :

 

      = 

 

Donc    A = 

 

 

                 =  

 

                 =  

 

              A  = x

 

 

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