Pré requis:
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Définition "identité" |
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Les égalités
EG1 |
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Les égalités
EG2 |
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Développer |
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Les éléments et ensembles
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Info |
|||
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Ou
autre : |
Le carré d’une différence
Les IDENTITES REMARQUABLES de la forme : ( A - B )2
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TEST |
COURS |
Devoir Contrôle |
Devoir évaluation |
Interdisciplinarité |
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Corrigé Contrôle |
Corrigé évaluation |
COURS
Cet
objectif aborde les égalités
remarquables , appelé aussi
« identités remarquables »
Cet objectif à pour but d’apprendre à reconnaître identifier et utiliser des types particuliers
d’égalités en vue de traiter rapidement
l’analyse sur les polynômes du second degré.
Développement de
( A - B ) (A - B ) ;soit la forme factorisée (a - b ) 2
(voir
page 7 objectif : FACDEVE)
soit
la forme factorisée (a + b ) 2 ;
Recherche de la forme développée: (
a-b ) (a -b) , on
met un indice à « a » et « b »
ce qui donne : (
a1 - b1 ) ( a2 - b2) = ?
se souvenir que (a1 = a2 et
b1 = b2 )
on
transforme les soustractions en additions . (se souvenir qu une soustraction se transforme en addition à condition de
respecter la règle : on ajoute au premier nombre l’opposé du second )
( a - b ) (
a - b )
= ( a1 + (-b1
)) ( a2 + (- b2))
Développement
:
( a - b ) ( a - b )
= a1 a2 +
a1 (-b2) +
(- b1) a2 + (- b1)(- b2 )
On
effectue le calcul pour chaque terme
(avant de regrouper )
(voir objectif sur les
décimaux relatifs: Obj: D....)
a1 a2 =
a a = a2
a1
(-b2) = ( - ab )
(- b1) a2 = - ba
= (-ab )
(-
b1)(- b2 ) = + b
b =
= (+ b2 )
on
réécrit l’égalité:
( a - b ) ( a - b ) =
a2 + (- ab ) + (-ab)
+ (+ b2)
( a - b ) ( a - b )
= a2 + 2 (- ab ) + (+ b2)
ON RETIENDRA
:
( a - b ) (a -b ) = a2 - 2
ab + b2
Traduction en langage littéral :
Le carré de la différence de deux nombres est égal à la somme des carrés
de ces nombres diminuée de leur double produit.
Soit ( a - b ) (a - b) = a2
+ b2- 2 ab
POUR COMPRENDRE :
Conseil : Pour éviter de faire des erreurs , il faut transformer « l’expression
algébrique » dans les parenthèses en « somme
algébrique »
La méthode est plus longue , mais limitant les risques d’erreurs
de compréhension et de calculs.
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Développer
: ( 2 x - 3
)² ; On reconnaît la forme
( a – b ) ² = a² - ab + b² ; avec « a » =
« 2x » et « b » =
3 ; B = (2x)² -
2 ( 2x ) ( 3) + ( 3 )² B
= 4 x² - 12 x
+ 9 |
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Remarque : l’expression
2 x – 3 peut s’écrire sous la
forme de la somme algébrique : ( +2 x )
+ (– 3) dont (2 x – 3)²
peut s’écrire (avec des
crochets) [ ( +2 x ) + (– 3) ] ²
ou (avec des double parenthèses)
(2 x – 3)² = ( ( +2 x )
+ (– 3) ) ² |
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Question : est ce que ( 2 x - 3 )² =
( (+2x) + (-3) ) ² ? |
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( (+2x) + (-3) ) ² = (+2x)²
+ 2 (+2x) (-3) + (-3)² =
(+4 x² ) + 2 ( - 6x) + (
+9) =
(+4 x² ) + ( - 12 x) + (
+9) =
si l’on simplifie = 4 x² - 12 x + 9 |
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Le
développement de ( 2 x - 3 )² est-il égal au développement de ( (+2x) + (-3) ) ² Oui
si dans ( 2 x - 3 )² « a » = 2x et « b » = 3 et si dans (
(+2x) + (-3) ) ²
« a » = (+2x) et
« b » = ( -3) |
Cas
où on demande de développer (- 2x –
3 )²
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ATTENTION : ( - 2 x - 3 )² ; n’est pas de la forme
( a – b ) ² = a² - ab + b²
( avec a = 2 » et b = 3 )
Ce serait vraie si : on écrit que ( - 2 x - 3 )² ; est de
la forme ( a – b )
² = a² - ab + b²
à la condition que l’on prenne
le signe « moins » devant 2 ( avec a = -2 » et que l’on ne prenne pas en considération le signe
« moins » devant « b » Remarque :
il est difficile d’expliquer pourquoi on prend -2 pour
« a » et 3 pour « b » Le mieux pour comprendre il faut procéder comme ci-dessous : ( - 2 x - 3 )² se
transforme et devient : ( (-
2 x) +
( - 3) )² ; qui est de la forme ( a + b) ² , avec « a » = (- 2x ) et « b » = ( -3) ; B = (-
2x)² + 2 ( - 2x ) (- 3) + ( -3 )² B = 4 x²
+ 12 x + 9 |
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Remarque : l’expression
- 2 x – 3 peut s’écrire sous la
forme de la somme algébrique : ( - 2 x )
+ (– 3) dont (-2 x – 3)² peut s’écrire (avec des crochets) [ ( - 2 x ) + (– 3) ] ²
ou (avec des double parenthèses)
(- 2 x – 3)² = (
( - 2 x ) + (– 3) ) ² |
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Question : est ce que ( - 2 x - 3 )² =
( (- 2x) + (-3) ) ² ? |
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( (- 2x) + (-3) ) ² = (- 2x)²
+ 2 (- 2x) (-3) + (-3)² =
(+4 x² ) + 2 ( + 6x) + ( +9)
= (+4 x² ) + ( + 12 x) + ( +9) = si
l’on simplifie = 4 x² + 12
x + 9 |
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Le
développement de ( - 2 x - 3 )² est-il égal au développement de ( (- 2x)
+ (-3) ) ² Oui
si dans ( -2 x - 3 )² « a » = - 2 x et « b » = 3 et si dans ( (-
2x) + (-3) ) ² « a » = (- 2x) et « b » = ( -3) Remarque :
il est difficile d’expliquer pourquoi on prend -2 et 3 |
EXERCICES TYPES :
Pour
chaque exercice ,il y a deux solutions:
Première solution : on
applique directement : (a - b ) 2
= a2 -2ab +b2
on
pose a = x et b =
1 ;
Deuxième solution: on transforme (a - b
) 2 en (a + (-
b) ) 2
Dans
ce cas on pose a = x et (- b) = (-1 )
et l’on développe
................
Dans les exemples qui
suivent la première solution sera retenue:
A )
Développer : ( x -1 ) ( x - 1
) qui s’écrit ( x - 1 ) 2
on applique : (a - b ) 2 = a2
-2ab +b2
(x
- 1 ) 2 = x2
- 2 fois x fois 1 + 12
On calcule pour chaque
terme : 2 fois x fois 1 = 2
x et
12 = 1
(x - 1 ) 2 = x2
-2 x +1
B) On veut : Développer : ( 3x - 2 ) ( 3x - 2
) qui s’écrit ( 3x - 2 ) 2
on applique : (a - b ) 2 = a2
- 2ab +b2
- On pose
a = 3x
et b = 2
: ( 3x - 2 ) 2 = ( 3x
)2 - 2 fois « 3x » fois 2
+22
- On calcule pour chaque
terme:
a2 = (3x) 2 = 9 x2
2ab = 2 fois 3x fois 2 = 12 x
b2 = 22
= 4
-
Conclusion: (3x - 2 ) 2
= 9 x2 -12 x + 4
Inversement : nous
pouvons factoriser l’expression du
second degré de la forme : a2 -2ab +b2 , (si l’on sait
identifier cette forme)
Nous
venons de voir que l’expression de
la forme « a2 - 2ab + b2 » est la forme développée du carré d’une
différence du type (a - b ) 2 ; nous pouvons conclure que la forme
factorisée de a2 -2ab +b2 est (a
- b ) 2 .
Exercices types :
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Factoriser: 9 x2 - 12 x + 4 |
Procédure:
(de factorisation)
a )
On reconnaît un polynôme du second degré
(grâce au « x2 » )
b) On remarque que ce polynôme contient trois termes ,dont un terme (en
« x » de degré 1 ) ,
« négatif », il pourrait
être de la forme a2 -2ab
+b2
c) Nous allons comparer terme à terme , pour
vérifier si ce polynôme peut se mettre
sous la forme (a-b)2 ; dont la
forme développée est a2 -2ab
+b2
1 )
Est ce que 9 x2 est de la forme a2 ?
CONVENTION D’ECRITURE :
Dans
l’expression (a - b ) 2 ; 9 x2 est de la forme « a2 »
est non de la forme « b2 » ; parce que « le terme en
« x » de chaque facteur est « en tête » , donc suivi du
signe « - »
On
utilisera toujours cette écriture (x - b ) 2 au lieu de
(a - x ) 2 )
9 est le carrée parfait de 3 on peut écrire 9x2 = 32 fois x2 ,
( se souvenir que le carré d’un produit est égale
au produit des carrés (et inversement le
produit d’un carré est égal au carré des produits : 32x2 =( 3x )2 )
On peut conclure que 9x2 est de la forme a2
; soit ( 3x )2
2) Est ce que
12x est de la forme 2 a b ?
on décompose 12 en produit de facteurs
premiers : 12 = 2 fois 2 fois 3 ;
donc 12x s’écrit « 2 »
fois « 2 » fois « 3 » fois « x »
on en déduit que « ab » vaut « 2 » fois « 3 » fois
« x » ; on sait
que « a » vaudrait 3x ;
il reste la valeur
« 2 » pour
« b »
3) Est ce que « 2 » convient pour « b »?
On sait que b2 est égale à 4 ,que racine
carrée de 4 vaut 2 , donc
« b » à pour valeur
« 2 »
d) Inventaire des
calculs:
puisque a2 = ( 3x )2
que
b = 2 ;donc que b2 =4
que
2ab = 2 fois 3x fois 2 = 12x
e) Conclusion:
9 x2- 12 x + 4 est de la forme a2 -2ab +b2 ; avec a = 3x et b = 2 ; donc
la forme factorisée de 9x2
-12x +4 = ( a -b )2
Réponse : la factorisation
de 9x2 -12x +4 est
( 3x - 2 ) 2
Certains polynômes du
second degré ne peuvent se factoriser de façon « directe » tel :
x2 - x +
1 ; x2-18x+77 ; 2x2-13x+21 ;........................
Nous trouverons une solution
,quand elle existe , d’opérer une factorisation lorsque nous aborderons l’objectif traitant de l’équation du second
degré. « EQUA2° »
Factorisation : Conduisant à la forme canonique
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Soit l’
équation : x2 – 4x + 9 |
On remarque que x2
– 4x est le début du développement de ( x –2 ) 2 ( x –2 ) 2 = x2 – 4x + 4 on en déduit que x2
– 4x = ( x –2 ) 2 - 4 aussi : x2
– 4x +9 =( x –2 ) 2 – 4 +9 aussi : x2
– 4x +9 =( x –2 ) 2 + 5 |
|
Soit l’ équation :
2x2 – 7x - 4 |
2x2 – 7x –
4 =
2 ( x2 - x2 - de
( x2 - on peut
remplacer : [x2 - d’où [x2 - ainsi : ( x2 - en conclusion : 2x2 – 7x –
4 =
2 ( x2 - ou : 2x2 – 7x –
4 =
2 [( x2 - |
|
Soit l’ équation :
3x2 – 2x + 4 |
3x2 – 2x + 4 on factorise par
« 3 » 3x2 – 2x +
4 = 3 ( x2 - en remarquant que x2 - on peut écrire : x2 - on remplace dans
l’équation ci dessous x2 - on supprime les crochets : x2 - on calcule :
- ainsi : x2 - puisque 3x2 – 2x +
4 = 3 ( x2 - on remplace ( x2
- 3x2 – 2x +
4 = 3 [(x - d’où : 3x2 – 2x + 4 = 3 ((x - on peut donc
écrire en conclusion que : 3x2 – 2x +
4 = 3 [(x - |
APPLICATION
Données du problème :
Un rectangle a pour aire : ........................
Sa longueur est de : x +
Sa largeur est de
x + ...
Questions :
Calculer
« x »
Calculer sa longueur et sa largeur:
CONTROLE:
Donner la forme mathématique du développer du carré
d’une différence de deux nombres.
I )
Développer:
|
1.
|
(3x-1) 2 = |
|
2. |
( x-1 ) 2 = |
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3. |
(x -3 )2 = |
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4. |
(x - |
|
5. |
(x |
)2=II
) Factoriser:
|
a) x2 - 12x +36 b) |
|
|
b) 16x2
- 4x + 9 |
|
;
III ) Que faut-il ajouter aux expressions suivantes
pour les transformer en carré d’une différence ?:
|
a) a2
+ b 2 |
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|
b) 9a2
+ b2 |
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c) a2
- 2ab |
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d ) 4a2
- 4ab |
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e) -10ab
+b2 |
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|
f) a2
+9b2 |
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IV )Trouver une forme factorisée intégrant
un « carré » de la forme des IR
|
a) Soit l’ équation : 3x2 – 2x
+ 4 |
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b) Soit l’ équation : 2x2 – 7x
- 4 |
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c) Soit l’ équation : x2 – 4x
+9 |
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CORRIGE CONTROLE:
Donner la forme mathématique du
développer du carré d’une différence de deux
nombres.
EVALUATION.
I ) Développer:
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(3x-1) 2 = |
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( x-1 ) 2 = |
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(x -3 )2 = |
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(x - |
|
|
(x |
|
)2=
-1) =II ) Factoriser:
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x2 - 12x +36 |
|
|
16x2 - 4x + 9 |
|
;
III ) Que faut-il ajouter
aux expressions suivantes pour les transformer en carré d’une différence ?:
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a2 + b 2 |
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9a2 + b2 |
|
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a2 - 2ab |
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|
4a2 - 4ab |
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|
-10ab +b2 |
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|
a2 +9b2 |
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IV )Trouver une forme
factorisée intégrant un « carré » de la forme des IR
|
Soit l’ équation : 3x2
– 2x + 4 |
3x2 – 2x + 4 = 3 [(x - |
|
Soit l’ équation : 2x2
– 7x - 4 |
2x2 – 7x – 4 =
2 [( x2 - |
|
Soit l’ équation : x2 –
4x +9 |
x2 – 4x +9 =( x –2 ) 2 + 5 |