Pré requis:  

Définition "identité"

Les égalités   EG1             

Les égalités   EG2             

Développer

Les éléments et ensembles 

Environnement du cours :

INDEX        

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Objectif suivant

Info

Ou  autre :

 

Le carré d’une différence

Les   IDENTITES  REMARQUABLES  de la forme :  ( A - B )2

 

TEST

          

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

COURS

Cet   objectif  aborde les égalités remarquables , appelé aussi  « identités remarquables »

 

 

Cet objectif à pour but  d’apprendre à reconnaître identifier et  utiliser des types particuliers d’égalités  en vue de traiter rapidement l’analyse sur les polynômes du second degré.

 

 

Développement de    ( A - B ) (A  - B ) ;soit la forme factorisée  (a - b ) 2   

        (voir page 7 objectif : FACDEVE)

 

        soit la forme factorisée  (a + b ) 2   ;

 

 

Recherche de la forme développée:          ( a-b ) (a -b)   ,    on met un indice à « a » et « b »

 

ce qui donne :          ( a1 - b1 ) ( a2 - b2)  =  ?          se souvenir que   (a1  = a2   et     b1  = b2  )

 

on  transforme les soustractions en additions .      (se souvenir qu une soustraction  se transforme en addition à condition de respecter la règle : on ajoute au premier nombre l’opposé du second )

 

                                  ( a - b ) ( a  - b )   =  ( a1 + (-b1 ))  ( a2 + (- b2))

Développement :

( a - b ) ( a  - b )    =     a1 a2 + a1 (-b2)  + (- b1) a2 + (- b1)(- b2  )

 

On effectue le calcul pour chaque terme  (avant de regrouper )

(voir objectif sur les décimaux relatifs:  Obj:  D....)

 

 a1 a2    =   a a =  a2

 a1 (-b2) =  ( - ab )

(- b1) a2  = - ba  =   (-ab ) 

(- b1)(- b2  ) = + b b  =  =  (+ b2 )

 

on réécrit l’égalité:

   ( a - b ) ( a - b )     =   a2 +  (- ab ) +  (-ab)  + (+ b2)

 

( a - b ) ( a  - b )     =  a2 + 2 (- ab )  + (+ b2)

 

ON  RETIENDRA  :

 

( a - b ) (a -b )   =    a2  - 2  ab  + b2

 

  Traduction en langage littéral :

 

Le carré de la différence de deux nombres est égal à la somme des carrés de ces nombres  diminuée de  leur double produit.

                                       

                   Soit     ( a - b ) (a - b)   =    a2 + b2- 2  ab

 

 

POUR COMPRENDRE :

Conseil :   Pour éviter de faire des erreurs ,  il faut transformer « l’expression algébrique »   dans les parenthèses en « somme algébrique »

 

La méthode est  plus longue , mais limitant les risques d’erreurs de compréhension et de calculs.

 

 

Développer  :   ( 2 x - 3 )² ;

 

On reconnaît   la forme  ( a – b ) ²  = a² - ab + b²     ; avec « a » = « 2x »  et « b » = 3  ;

 

   B = (2x)² -  2 ( 2x ) ( 3) + ( 3 )²

 

   B  =  4 x²  - 12 x  + 9

 

 

Remarque : l’expression  2 x – 3  peut s’écrire sous la forme de la somme algébrique : ( +2 x )  + (– 3)   

dont   (2 x – 3)²  peut s’écrire  (avec des crochets)    [ ( +2 x )  + (– 3) ] ²  ou (avec des double parenthèses)    (2 x – 3)²  =  ( ( +2 x )  + (– 3) ) ² 

 

 

Question :    est ce que  ( 2 x - 3 )²  =  (  (+2x) + (-3) ) ² ? 

 

 

(  (+2x) + (-3) ) ² =  (+2x)²  + 2 (+2x) (-3) +  (-3)²   =   (+4 x² ) +  2 ( - 6x) + ( +9)  =   (+4 x² ) +   ( - 12 x) + ( +9)  =  si l’on simplifie =  4 x²  - 12 x + 9

 

Le développement de   ( 2 x - 3 )²  est-il égal   au développement de (  (+2x) + (-3) ) ²

 

Oui si  dans ( 2 x - 3 )²    « a » = 2x  et « b » = 3    et si dans   (  (+2x) + (-3) ) ²  « a » = (+2x)   et « b » = ( -3)

 

 

 

Cas où   on demande de développer   (- 2x – 3 )²  

 

 

ATTENTION :    ( - 2 x - 3 )² ; n’est pas de la  forme  ( a – b ) ²  = a² -  ab + b²     ( avec a = 2 » et b = 3 )

 

Ce serait vraie si : on écrit que ( - 2 x - 3 )² ; est de la  forme  ( a – b ) ²  = a² -  ab + b²    à la condition que l’on prenne le signe « moins » devant 2  ( avec a = -2 » et que  l’on ne prenne pas en considération le signe « moins » devant « b »

Remarque : il est difficile d’expliquer pourquoi on prend  -2  pour « a »  et 3  pour « b »

 

Le mieux pour comprendre il faut procéder comme ci-dessous :

 

( - 2 x - 3 )²  se transforme  et devient  :  ( (- 2 x)  +  ( - 3)         ; qui est  de la forme  ( a + b) ²   ,  avec « a » = (- 2x )   et « b » = ( -3)  ;

 

   B = (- 2x)² +   2 ( - 2x ) (- 3) + ( -3  

 

   B  =    4 x² + 12 x  +  9

 

 

Remarque : l’expression  - 2 x – 3  peut s’écrire sous la forme de la somme algébrique : ( - 2 x )  + (– 3)   

dont   (-2 x – 3)²  peut s’écrire  (avec des crochets)    [ ( - 2 x )  + (– 3) ] ²  ou (avec des double parenthèses)    (- 2 x – 3)²  =  ( ( - 2 x )  + (– 3) ) ² 

 

 

Question :    est ce que  ( - 2 x - 3 )²  =  (  (- 2x) + (-3) ) ² ? 

 

 

 

(  (- 2x) + (-3) ) ² =  (- 2x)²  + 2 (- 2x) (-3) +  (-3)²   =   (+4 x² ) +  2 ( +  6x) + ( +9)  =   (+4 x² ) +   ( +  12 x) + ( +9)  =  si l’on simplifie =  4 x²  +  12 x + 9

 

 

Le développement de   ( - 2 x - 3 )²  est-il égal   au développement de (  (-  2x)  + (-3) ) ²

 

Oui si  dans ( -2 x - 3 )²    « a » = - 2 x  et « b » = 3    et si dans   (  (- 2x) + (-3) ) ²  « a » = (- 2x)   et « b » = ( -3)

 

Remarque : il est difficile d’expliquer pourquoi on prend  -2  et 3 

 

 

 

 

 

 

EXERCICES TYPES :

 

Pour chaque exercice ,il y a deux solutions:

 

Première  solution :   on applique directement : (a - b ) 2   =  a2 -2ab +b2

 

          on pose a = x  et b = 1  ;

 

Deuxième solution:     on transforme  (a - b ) 2  en  (a + (- b) ) 2

          Dans ce cas on pose a = x et   (- b) =  (-1 )                       

         et  l’on développe ................

 

 

Dans les exemples qui suivent la première solution sera retenue:

 

A  )  Développer :  ( x -1 ) ( x - 1 )  qui s’écrit   ( x - 1 ) 2

        

on applique : (a - b ) 2   =  a2 -2ab +b2

 

(x - 1 ) 2   =  x2 - 2 fois x fois 1 + 12

On calcule pour chaque terme :        2 fois x fois 1 = 2 x  et  12 = 1

 

                                   (x - 1 ) 2   =  x2 -2 x +1

 

 

 

B) On veut : Développer : ( 3x - 2 ) ( 3x - 2 ) qui s’écrit   ( 3x - 2 ) 2  

on applique : (a - b ) 2   =  a2 - 2ab +b2

-  On pose a  = 3x  et b = 2

 

: ( 3x - 2 ) 2   =  ( 3x )2 - 2 fois « 3x » fois 2  +22

 

- On calcule pour chaque terme:

 a2     = (3x) 2  = 9 x2

2ab   = 2 fois 3x fois 2 = 12 x

    b2 =  22  = 4

 -  Conclusion: (3x - 2 ) 2   = 9 x2 -12 x + 4

 

Inversement : nous pouvons  factoriser l’expression du second degré de la forme : a2 -2ab +b2 , (si l’on sait identifier cette forme)

 

Nous venons de voir que  l’expression de la  forme « a2 - 2ab + b2 »  est la forme développée du carré d’une différence du type  (a - b ) 2  ; nous pouvons conclure que la forme factorisée de   a2 -2ab +b2   est   (a - b ) 2  .

 

Exercices types :

 

 

Factoriser:           9 x2 - 12 x + 4

Info plus.

 

 

Procédure: (de factorisation)

 

a ) On reconnaît un polynôme du second degré   (grâce au «  x2 » )

 

b)  On remarque que ce polynôme  contient trois termes ,dont un terme (en « x » de degré 1 ) ,  « négatif »,  il pourrait  être de la forme   a2 -2ab +b2

 

c)  Nous allons comparer terme à terme , pour vérifier si ce polynôme  peut se mettre sous la forme (a-b)2  ;    dont la  forme développée est   a2 -2ab +b2

 

 

 1 )   Est ce que   9 x2  est de la forme a2  ?

 

CONVENTION D’ECRITURE :

 

Dans l’expression  (a - b ) 2  ;   9 x2  est de la forme « a2 » est non de la forme « b2 » ; parce que « le terme en « x » de chaque facteur est « en tête » , donc suivi du signe «  - »

 

On utilisera  toujours cette écriture  (x - b ) 2   au lieu de  (a - x ) 2 ) 

 

  9 est le carrée parfait de 3   on peut écrire  9x2 = 32 fois x2  ,

  ( se souvenir que le carré d’un produit est égale au produit des carrés (et inversement  le produit d’un carré est égal au carré des produits : 32x2  =( 3x )2    )

   

 On peut conclure que  9x2  est de la forme  a2  ;  soit ( 3x )2

 

2)   Est ce que  12x est de la forme  2 a b ?

 

      on décompose 12 en produit de facteurs premiers : 12 = 2 fois 2 fois 3 ;  donc  12x s’écrit « 2 » fois « 2 » fois « 3 » fois « x »

   

     on en déduit que « ab »  vaut   « 2 » fois « 3 » fois « x » ;     on sait que « a » vaudrait  3x    ;  il  reste  la valeur  « 2 »  pour « b »

 

3) Est ce que  « 2 » convient  pour « b »?

 

On sait que  b2 est égale à 4 ,que racine carrée de 4 vaut 2 , donc  « b » à pour valeur  « 2 »

 

d) Inventaire des calculs:

    puisque a2  = ( 3x )2

          que  b  = 2  ;donc que b2 =4

       que  2ab  = 2 fois 3x fois 2 = 12x

e) Conclusion:

        9 x2- 12 x + 4  est de la forme   a2 -2ab +b2  ; avec a = 3x et b = 2 ;  donc  la forme factorisée de  9x2 -12x +4  =  ( a -b )2

 

Réponse :  la factorisation de   9x2 -12x +4   est  (  3x  - 2 ) 2

 

Certains polynômes du second degré ne peuvent se factoriser de façon « directe » tel :

x2 - x + 1   ; x2-18x+77   ;  2x2-13x+21  ;........................

 


Nous trouverons une solution ,quand elle existe , d’opérer une factorisation lorsque nous aborderons  l’objectif traitant de l’équation du second degré. « EQUA2° »

 

Factorisation :    Conduisant à la forme canonique

SOS cours

 

 

 

Soit l’ équation :  x2 – 4x + 9

On remarque que x2 – 4x est le début du développement de ( x –2 ) 2

( x –2 ) 2  = x2 – 4x + 4

on en déduit que x2 – 4x  = ( x –2 ) 2 - 4

aussi : x2 – 4x +9  =( x –2 ) 2 – 4 +9

aussi : x2 – 4x +9  =( x –2 ) 2 + 5

 

 

Soit l’ équation : 2x2 – 7x - 4

2x2 – 7x – 4  =  2 ( x2  - x – 2 )

 x2  - x  est  le début du développement

           de  ( x2  - )2  = x2  - x +

 

on peut remplacer :

                   [x2  - x]  par [( x2  - )2  -]

 

d’où       [x2  - x] – 2   =    [( x2  - )2  -] - 2

 

ainsi : ( x2  - )2  - - 2  =  ( x2  - )2  -

 

en conclusion :

2x2 – 7x – 4  =  2 ( x2  - x – 2 )

ou :

2x2 – 7x – 4  =  2  [( x2  - )2  - ]

 

 

 


 

Soit l’ équation : 3x2 – 2x + 4

3x2 – 2x + 4

on factorise par « 3 »

3x2 – 2x + 4  = 3 ( x2 - x + )

en remarquant  que x2 - x  contient  les deux premiers termes du développement d’un carré , (x - )2 on obtient : x2 - x +

on peut écrire :

x2 - x   = (x - )2 -

 

on remplace dans l’équation ci dessous

x2 - x +  = [(x - )2 -] +

on supprime les crochets :

x2 - x +  = (x - )2 - +

on calcule : -+   =

ainsi :

x2 - x +  =    [(x - )2 + ]

puisque

3x2 – 2x + 4  = 3 ( x2 - x + )

on remplace ( x2 - x + ) par [(x - )2 + ]

 

 

3x2 – 2x + 4  = 3 [(x - )2 + ]

d’où :

 3x2 – 2x + 4  = 3 ((x - )2 -+ )

 

on peut donc écrire  en conclusion  que :

3x2 – 2x + 4  = 3 [(x - )2 + ]


 

APPLICATION

Données du problème :

Un rectangle a pour aire :  ........................

Sa longueur est de : x +

Sa largeur est de   x  +  ...

Questions  :

Calculer   « x »

Calculer sa longueur et sa largeur:

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE:

 

Donner la forme mathématique du développer du carré d’une différence  de deux nombres.

 

 

EVALUATION.

I ) Développer:

1.          

(3x-1) 2 =

 

2.        

( x-1 ) 2 =

 

3.        

(x -3 )2 =

 

4.        

(x -)2=

 

5.        

(x -1) =

 

II ) Factoriser:

 

a)      x2 - 12x +36

b)       

 

b)   16x2 - 4x + 9

 

;

III ) Que faut-il ajouter aux expressions suivantes pour les transformer en carré d’une différence ?:

 

a)    a2 + b 2

 

b)    9a2 + b2

 

c)    a2 - 2ab

 

d )  4a2 - 4ab

 

e)   -10ab +b2

 

f)     a2 +9b2

 

 

IV )Trouver une forme factorisée  intégrant  un « carré » de la forme des IR

 

a)  Soit l’ équation : 3x2 – 2x + 4

 

b)  Soit l’ équation : 2x2 – 7x - 4

 

c)  Soit l’ équation : x2 – 4x +9

 

 


 

CORRIGE CONTROLE:

 

Donner la forme mathématique du développer du carré d’une différence  de deux nombres.

 

 

EVALUATION.

I ) Développer:

(3x-1) 2 =

 

( x-1 ) 2 =

 

(x -3 )2 =

 

(x -)2=

 

(x -1) =

 

 

II ) Factoriser:

x2 - 12x +36

 

16x2 - 4x + 9

 

;

III ) Que faut-il ajouter aux expressions suivantes pour les transformer en carré d’une différence ?:

a2 + b 2

 

9a2 + b2

 

a2 - 2ab

 

4a2 - 4ab

 

-10ab +b2

 

a2 +9b2

 

 

IV )Trouver une forme factorisée  intégrant  un « carré » de la forme des IR

 

Soit l’ équation : 3x2 – 2x + 4

3x2 – 2x + 4  = 3 [(x - )2 + ]

Soit l’ équation : 2x2 – 7x - 4

2x2 – 7x – 4  =  2  [( x2  - )2  - ]

Soit l’ équation : x2 – 4x +9

x2 – 4x +9  =( x –2 ) 2 + 5

 

 

 

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