Algèbre Factorisation d'une équation du second degré

Pré Requis:  

 

Définition "identité"

Boule verte

Les égalités   EG1             

Boule verte

Les égalités   EG2             

Boule verte

Développer

Boule verte

Les éléments et ensembles 

Boule verte

Environnement du cours :

 

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Objectif précédent :

les identités remarquables    Sphère metallique

Objectif suivant :

Le second degré (présentation)  Sphère metallique

 

Forme canonique du second degré.

Info : Le second degré (présentation)

Ou  autre «  factoriser – développer » : Sphère metallique

 

 

 

 

FACTORISATION du second degré  :  Forme :  a2 -2ab +b2

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COURS

 

 

Nous savons que la forme   a2-2ab +b2 est la forme développer de   (a - b ) 2  ; nous pouvons conclure que la forme factoriser de   a2 -2ab +b2   est   (a - b ) 2  .

 

Exercices types :

 

Factoriser:           9 x2 - 12 x + 4

 

 

 

Procédure: (de factorisation)

 

a ) On reconnaît un polynôme du second degré   (grâce au «  x2 » )

b) On remarque que ce polynôme  contient trois termes ,dont un terme (en « x » de degré 1 ) ,  « négatif »,  il pourrait  être de la forme   a2 -2ab +b2

 

c) Nous allons comparer terme à terme ,pour vérifier si ce polynôme  peut se mettre sous la forme (a-b)2  ;    dont la  forme développée est   a2 -2ab +b2

 

 

 1 )   Est ce que   9 x2  est de la forme a2  ?

 

CONVENTION D’ECRITURE :

Dans l’expression  (a - b ) 2  ;   9 x2  est de la forme « a2 » est non de la forme « b2 » ; parce que « le terme en « x » de chaque facteur est « en tête » , donc suivi du signe «  - »

On utilisera  toujours l’ écriture  (x - b ) 2   au lieu de  (a - x ) 2

    9 est le carrée parfait de 3   on peut écrire  9x2 = 32 fois x2  ,

  

 ( se souvenir que le carré d’un produit est égale au produit des carrés (et inversement  le produit d’un carré est égal au carré des produits : 32x2  =( 3x )2 

   

 on peut conclure que  9x2  est de la forme  a2  ;  soit ( 3x )2

 

2)   Est ce que  12x est de la forme  2 a b ?

 

      on décompose 12 en produit de facteurs premiers : 12 = 2 fois 2 fois 3

donc  12x s’écrit « 2 » fois « 2 » fois « 3 » fois « x »

   

     on en déduit que « ab »  vaut   « 2 » fois « 3 » fois « x »

 

     on sait que « a » vaudrait  3x    ;  il  reste  la valeur  « 2 »  pour « b »

 

 

3) Est ce que  « 2 » convient  pour « b » ?

 

On sait que  b2 est égale à 4 ,que racine carrée de 4 vaut 2 , donc    « b » à pour valeur  « 2 »

d) Inventaire des calculs:

   puisque a2  = ( 3x )2

  que  b  = 2  ;donc que b2 =4

  que  2ab  = 2 fois 3x fois 2 = 12x

e) Conclusion:

        9 x2- 12 x + 4  est de la forme a2 -2ab +b2  ; avec a=3x et b=2

donc  la forme factorisée de  9x2 -12x +4  =  ( a -b )2

 

           Réponse la factorisation de   9x2 -12x +4   est  (  3x  - 2 ) 2

 

Certains polynômes du second degré ne peuvent se factoriser de façon « directe » tel :

x2 - x + 1   ; x2-18x+77   ;  2x2-13x+21  ;........................

 

Nous trouverons une solution ,quand elle existe , d’opérer une factorisation lorsque nous aborderons  l’objectif traitant de l’équation du second degré. « EQUA2° »

 

Factorisation :     Conduisant à la forme canonique

 

 

Soit l’ équation : x2 – 4x +9

On remarque que « x2 – 4x » est le début du développement de ( x –2 ) 2

( x –2 ) 2  = x2 – 4x + 4

on en déduit que x2 – 4x  = ( x –2 ) 2 - 4

aussi : x2 – 4x +9  =( x –2 ) 2 – 4 +9

aussi : x2 – 4x +9  =( x –2 ) 2 + 5

 

 

 

Soit l’ équation :           2x2 – 7x - 4

 

2x2 – 7x – 4  =  2 ( x2  - x – 2 )

 x2  - x  est  le début du développement

           de  ( x2  - )2  = x2  - x +

 

on peut remplacer :

                   [x2  - x]  par [( x2  - )2  -]

d’où       [x2  - x] – 2   =    [( x2  - )2  -] - 2

 

ainsi : ( x2  - )2  - - 2  =  ( x2  - )2  -

en conclusion :

2x2 – 7x – 4  =  2 ( x2  - x – 2 )

ou :

2x2 – 7x – 4  =  2  [( x2  - )2  - ]

 

 

 

 

 

Soit l’ équation : 3x2 – 2x + 4

 

3x2 – 2x + 4

on factorise par « 3 »

3x2 – 2x + 4  = 3 ( x2 - x + )

en remarquant  que x2 - x  contient  les deux premiers termes du développement d’un carré , (x - )2 on obtient : x2 - x +

on peut écrire :

x2 - x   = (x - )2 -

 

on remplace dans l’équation ci dessous

x2 - x +  = [(x - )2 -] +

on supprime les crochets :

x2 - x +  = (x - )2 - +

on calcule : -+   =

ainsi :

x2 - x +  =    [(x - )2 + ]

puisque

3x2 – 2x + 4  = 3 ( x2 - x + )

on remplace ( x2 - x + ) par [(x - )2 + ]

 

3x2 – 2x + 4  = 3 [(x - )2 + ]

d’où :

 3x2 – 2x + 4  = 3 ((x - )2 -+ )

on peut donc écrire  en conclusion  que :

3x2 – 2x + 4  = 3 [(x - )2 + ]

 

CONTROLE:

 

 

 

EVALUATION.

 

I II ) Factoriser:

 

a)  x2 - 12x +36

 

 

b) 16x2 - 4x + 9

 

;

III ) Que faut-il ajouter aux expressions suivantes pour les transformer en carré d’une différence ?

 

  1.  

a2 + b 2
  1.  

9a2 + b2
  1.  

a2 - 2ab
  1.  

4a2 - 4ab
  1.  

-10ab +b2
  1.  

a2 +9b2

 

 

IV )Trouver une forme factorisée  intégrant  un « carré » de la forme des IR

 

a)  Soit l’ équation : 3x2 – 2x + 4

 

 

b)  Soit l’ équation : 2x2 – 7x - 4

 

 

c)  Soit l’ équation : x2 – 4x +9

 

 

 

CORRIGE CONTROLE:

 

Donner la forme mathématique du développer du carré d’une différence  de deux nombres.

 

 

EVALUATION.

I ) Factoriser:

 

a)    x2 - 12x +36

 

 

b)    16x2 - 4x + 9

 

;

II ) Que faut-il ajouter aux expressions suivantes pour les transformer en carré d’une différence ?

 

  1.  

a2 + b 2
  1.  

9a2 + b2
  1.  

a2 - 2ab
  1.  

4a2 - 4ab
  1.  

-10ab +b2
  1.  

a2 +9b2

 

III )Trouver une forme factorisée  intégrant  un « carré » de la forme des IR

 

Soit l’ équation : 3x2 – 2x + 4

3x2 – 2x + 4  = 3 [(x - )2 + ]

 

Soit l’ équation : 2x2 – 7x - 4

2x2 – 7x – 4  =  2  [( x2  - )2  - ]

 

Soit l’ équation : x2 – 4x +9

x2 – 4x +9  =( x –2 ) 2 + 5