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Nomenclature 1

Factoriser la forme « ax2+b x +c »

Information sur le "second degré"

ENVIRONNEMENT du dossier:

 

 

Index  

Objectif précédent

Forme incomplète   

2°) Approche pédagogique : présentation de la forme canonique à partir d’un exemple.

Objectif suivant

1°) Fonction du second degré

2°) produit et somme

3°)   suite  sur la forme canonique …..  

tableau   

Cours : FORME CANONIQUE de la fonction et factorisation du  polynôme du second degré

 

I )    Forme canonique  de la fonction polynôme du second degré.

 

II )  « Factorisation »  de la fonction polynôme du 2ème degré « ax2  + bx  + c »

 

 

TEST

           

COURS

                

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle  

Corrigé évaluation 

COURS

I ) Forme canonique  de la fonction polynôme du second degré.

Voir factorisation

Soit l’ équation : a x2 + b x + c

 

Soit   f (x)  =  ax2  + b x  + c      ; a ¹ 0

 

     On peut écrire    ax2  + b x  + c =  a ( x 2  +   x +    )

 x2  +  x  est  le début du développement

           de  ( x  +  )2  = x2  +   x +

 

ainsi : ( x  + )2-   = x2  +   x + -

 

 on obtenons : ( x  +  )2     = x2  +  x +    

 

on peut remplacer :

       [x2  +  x]  par [( x  +  )2  -  ]

d’où  

       soit f (x) = a [x2  +   x]  +    =  a[[( x  + )2  -] +    ]

 

 ( A )

regroupons :    -    

   -      =  

 

   = 

 

quelque soit la valeur de « x » appartenant à l’ensemble des nombres réels :

                   ax2  + b x  + c = a[( x  +  )2  -   ]

la forme obtenue est appelée  «  forme canonique » de la fonction polynôme du second degré .

 

 

 

 

Etude d’ exemples :

 

Exemple N°1

 

Soit la fonction f définie par : f(x) = x2 – 4x + 10

En remarquant que  « x2 – 4x » est le début du développement de ( x – 2 )2

( x – 2 )2   = x2 – 4x  + 4

On déduit  que quelque soit « x » appartenant à l’ensemble   des réels :

x2 – 4x = ( x – 2 )2 – 4

soit    x2 – 4x + 10  = ( x – 2 )2 – 4 +10

x2 – 4x + 10  = ( x – 2 )2  + 6

Exemple N°2

 

Soit la fonction f définie par : f(x) = 3x2 – 2x + 4

quelque soit « x » appartenant à l’ensemble   des réels :

3x2 – 2x + 4 =  3 (x2x +  )

 

 

3x2 – 2x + 4 =  3 (x2x +  )

en remarquant que « x2x » contient les deux premiers termes du développement d’un carré , on obtient :

x2x  = (x – )2 -

 

d’où x2x +   = (x – )2 - + = (x – )2 +

 

 

 donc : quelque soit « x » appartenant à l’ensemble   des réels :

3x2 – 2x + 4 =  3 [(x – )2 +  ]

exemple N°3 :

Soit la fonction f définie par : f(x) = 2x2 – 7x -  4

quelque soit « x » appartenant à l’ensemble   des réels :

2x2 – 7x -  4  = 2 (x2x -  2)

 

x2x  = (x2 )2 -

 

d’où         x2x -  2 =(x2 )2 --2  = (x2 )2 -

 

donc : quelque soit « x » appartenant à l’ensemble   des réels :

2x2 – 7x -  4 = 2 [(x2 )2 -]

 

 

II )  « Factorisation »  de la fonction polynôme du 2ème degré « ax2  + bx  + c »:

 

      De         « ax2  + bx  + c »    on a :    a[( x  + )2  -  ]

 

                                     la forme obtenue      a[( x  +  )2  -  ]   est appelée  «  forme canonique » de la fonction polynôme du second degré .

 

                                    Nous posons :    = b2 – 4ac

 

                       Le nombre réel  « b2 – 4ac »  est appelé « discriminant » de la fonction polynôme f

Ainsi : ax2  + bx  + c = a [( x  +  )2  - ]

 

Rectangle: On va remplacer :    par  1er cas : > 0

 désignant la racine carrée positive de   , on obtient :

 

 =    =    (pour cette transformation voir puissance d’un rationnel )

on en déduit :

Rectangle: Nous avons une forme :
             A2 – B2
f(x) = a[( x  + )2  - ]

  

nous avons une forme d’une identité remarquable :

                                 A2 – B2 = (A+B) (A-B)

ou   « A » vaut « x  +  »        et     « B »   vaut «  »

 

 

 

 D’où  f(x) = a [x  +   +] [x  +   -]

 

Posons  x’ =    et    x’’ =

 

 

On obtient alors : ax2  + bx  + c =  a ( x – x’ ) ( x –x’’)

 

 

2ème cas : = 0

D’où  f(x) = a [x  +   + 0] [x  +   - 0]

D’où  f(x) = a [x  +   ] [x  +  ]

D’où  f(x) = a [x  +   ]2

3ième cas : < 0 :

 

                    Dans ce cas aucune factorisation n’est possible

 

 

 

 

En résumé :

La factorisation de f(x) = ax2  + bx  + c , dépendra du discriminant :

 

1er cas :   > 0 ;   ax2  + bx  + c  se factorisera en f(x) = a ( x – x’ ) ( x –x’’)

Avec x’ =    et    x’’ =

 

2ème cas :  = 0

D’où    ax2  + bx  + c  se factorisera en f(x) = a [x  +   ]2

 

3ième cas : < 0 :        Dans ce cas aucune factorisation n’est possible

 

 

CONTROLE :

Donner la forme canonique des trinômes suivants :

N°1

Soit la fonction f définie par : f(x) = x2 – 4x + 10

En remarquant que  « x2 – 4x » est le début du développement de ( x – 2 )2

( x – 2 )2   = x2 – 4x  + 4

On déduit  que quelque soit « x » appartenant à l’ensemble   des réels :

x2 – 4x = ( x – 2 )2 – 4

soit    x2 – 4x + 10  = ( x – 2 )2 – 4 +10

x2 – 4x + 10  = ( x – 2 )2  + 6

N°2

 

Soit la fonction f définie par : f(x) = 3x2 – 2x + 4

quelque soit « x » appartenant à l’ensemble   des réels :

3x2 – 2x + 4 =  3 (x2x +  )

 

3x2 – 2x + 4 =  3 (x2x +  )

en remarquant que « x2x » contient les deux premiers termes du développement d’un carré , on obtient :

x2x  = (x – )2 -

 

d’où x2x +   = (x – )2 - + = (x – )2 +

 donc : quelque soit « x » appartenant à l’ensemble   des réels :

3x2 – 2x + 4 =  3 [(x – )2 +  ]

N°3 :

Soit la fonction f définie par : f(x) = 2x2 – 7x -  4

quelque soit « x » appartenant à l’ensemble   des réels :

2x2 – 7x -  4  = 2 (x2x -  2)

 

x2x  = (x2 )2 -

 

d’où         x2x -  2 =(x2 )2 --2  = (x2 )2 -

 

donc : quelque soit « x » appartenant à l’ensemble   des réels :

2x2 – 7x -  4 = 2 [(x2 )2 -]

 

 N°5 : x2 – 16x + 39

 N°6 :  3x2 + 8x +  4

 N°7 : 10x2 – 49x + 51

 N° 8 : 6 x2 – 17x -  45

 

Factorisation de la fonction polynôme du second degré:

Donner la forme mathématique du discriminant :

 

 

En résumé à réciter  :

La factorisation de f(x) = ax2  + bx  + c , dépendra du discriminant :

 

1er cas :   > 0 ;   ax2  + bx  + c  se factorisera en f(x) = a ( x – x’ ) ( x –x’’)

Avec x’ =    et    x’’ =

 

2ème cas :  = 0

D’où    ax2  + bx  + c  se factorisera en f(x) = a [x  +   ]2

 

3ième cas : < 0 :        Dans ce cas aucune factorisation n’est possible

 

 

 

 

EVALUATION

 

 

 

 

INTERDISCIPLINARITE

 

AIRE d' un CARRE:

 

A = c 2

A = aire

c = longueur d' un coté

 

Problème 1:

 

Calculer le coté d'un carré de 225 centimètres carrés d' aire:

 

225 cm2 = c 2

D'ou   c =

C =  + ou - 25 cm

Conclusion : le coté du carré vaut 25 cm

La solution négative ne peut convenir.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Problème 2

 

Calculer le rayon d'un disque dont on connaît son aire:

A = 200,96 cm2

A = 3,14 R2

Donc  200, 96 = 3,14 r2

Après transformation   =  R2

 

R2     = 64

 

R =      ;   R = +8 ou - 8

R = 8 cm

 

 

Problème 3

 

Quel diamètre convient-il  de donner à un cylindre de 1,50 m de haut pour obtenir une capacité de 25 hectolitres ?

 

 

25 hectolitres

25 00 litres

25 00 décimètres cubes

2 , 500 m3

 

 

Le volume d'un cylindre: V =

 

4V = 3,14 D2h

D2 =

= donc

D =

 

D = 1,456 m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Le mouvement uniformément varié

 

 

V = vo + a t

"V " est la vitesse au temps "t"

"V o " est la vitesse initiale

"e"   désigne  l' espace parcouru

"a" désigne  l' accélération du mouvement

"t"  temps mis

e = vot +a t2

"V o " est la vitesse initiale

"e"   désigne  l' espace parcouru

"a" désigne  l' accélération du mouvement

"t"  temps mis

Si le corps part du repos :

vo    = 0  ;     alors les formules deviennent:

 

V = vo + a t  devient V = 0 + a t  ;

 e = vot +a t2   devient e = 0t +a t2

 

 

 

 

 

V = a t

e = +a t2

 

 

 

 

 

Problème 1:

 

Au départ d'une gare un train met 40 secondes pour atteindre sa vitesse uniforme de 72 kilomètres à l'heure. Pour s'arrêter , il ralentit sa vitesse de 0 ,40 m/s-1

On demande :

 

L' accélération du mouvement de départ.

L'espace parcouru quand il atteint sa vitesse normale;

Le temps mis pour s'arrêter;

La distance de la gare d'arrivée à laquelle le mécanicien doit cesser l'admission de vapeur.

 

 

1° v = at , d'où a

 

v =  72 kilomètres à l'heure ou 72 000 mètres en 3600 secondes

 

ou   = 20 mètres à la seconde

 

 

 

a =   = 0,50m par seconde

 

           e = +a t2          ; e = +0,50  402   = 400 mètres.

 

 

 

3°) V = vo + a t    de cette formule nous tirons  :  t =

 

mais  v = 0  correspond à l' arrêt ; vo  = vitesse initiale 72 kilomètres à l'heure ou 20 mètres à la seconde ; a = - 0,40 m accélération "retardatrice".

 

  t =     ;    t =     ; t = 50 secondes

 

4°) e = vot +a t2       ; e = 2050 + (-0,40) 502

 

 

 e = 1000-500 =  500 mètres