RAPPEL :

 

un facteur ?

 

    a)   Un facteur  est un nombre ,ou une lettre, situés à droite et à gauche  du signe   ( x  ; appelé « croix » qui signifie  « multiplier »).

 

Exemples :       2a   : « 2 » et « a »  sont des facteurs ; on dit aussi :  « 2a » est un produit de facteurs.

 

Un terme ?

 

Un terme est  un nombre , lettre ou produit de facteurs situé à droite ou à gauche d’un signe  + ou  - 

 

« 2a   +  B – 3cd + 35  »    ;     « 2a » ; « +B » ; « - 3 cd » ; « +35 »   :  sont les termes de l’expression algébrique……..

 

En conclusion : 

 

les termes sont situés à droite et à gauche du signe opératoire   « plus »  ou « moins »  alors que les facteurs  sont situés à droite et à gauche  du signe   ( x  ; appelé « croix » qui signifie  « multiplier »). 

 

 

Vocabulaire:  le signe   opératoire  de la multiplication  ,en forme de  « croix » , peut se traduire par plusieurs  « mots »:

le mot « fois » :     ( 3fois 7)

par   «  multiplié par » :         ( 3 multiplié par 7 )

« fois  entre parenthèses » :       ( 3 fois entre parenthèses  5 + 2  ;               pour 3 ( 5+2)

« facteur de »      (3 facteur de 5+2 ; pour   3 ( 5+2)  )

       

CONVENTIONS   D’ECRITURE:

Dans les expressions algébriques  le signe « multiplier » n ‘ est jamais  représenté

On ne  trace pas  la « croix »  pour éviter toute confusion avec la lettre « x »,qui est  couramment utilisée pour représenter  «  l’inconnue » .

 

En l’absence de signe ,il y a toujours « produit » entre:

 

 un nombre et une lettre  :  3x   ;lire  « trois fois ixe »

(le mot « fois » doit être remplacé  par   «  multiplié par » ) 

 

 Deux lettres  :    ab      ; lire  «  a fois b »  ou « a » facteur « b »

 

Un nombre et une racine:      3   ;lire  « 3  fois racine carré de 18 »

 

Un nombre et une parenthèse :    3 ( 2x + 1)   ; lire   « 3 fois  entre parenthèses 2 ixe plus un » ou aussi « 3 facteur de  2ixe plus un »

 les groupes de mots  « fois  entre parenthèses » et « facteur de » ont la même signification .

 

Une lettre et une parenthèse:   x (  2x +2)  , lire «  ixe facteur  de  2ixe plus 2 »

 

Entre deux parenthèses :  (2x+1)(3x+2)  , lire     « 2ixe plus un » entre parenthéses facteur de « 3 ixe plus 2 » )

 


OBJECTIF:  FACTDEVE   Définition  de l’objectif : Savoir factoriser et ou développer des expressions algébriques.

 

Première partie:  Factoriser .

 

Le  mot  « factoriser » doit être associer au mot  « facteur »   (voir objectif  EG1 )

 

Factoriser:

 

 

             Activité mathématique   qui consiste à  transformer  une somme  ( ou expression) algébrique  pour la mettre sous la forme « d’un produit  de facteurs ».

 

La factorisation n’est possible que si l’on identifie un « facteur commun » évident ou que l’on découvre aprés avoir fait la décomposition de chaque terme de l’expression. (La factorisation n’est pas toujours possible ou toujours évidente

 

   Procédure permettant de factoriser   « une somme »  :

 

Exemple :  factoriser   3x+15

 

a ) Décomposer sous forme de produit chaque terme de l’expression:

3x = 3 fois x

15 = 3 fois 5

 

b )Identifier dans les termes quel est le chaque facteur commun  ou le produit de facteurs communs (on dit aussi de même indice).

Facteur commun =  3

 

c ) Ecrire le facteur ou le produit de facteurs communs et ouvrir une parenthèse, écrire l’expression donné en remplaçant dans la décomposition de chaque terme le ou les facteurs communs par l’élément neutre « 1 ». Fermer la parenthèse .

    3 ( 1 x  + 15)

 

Pour chaque terme (se trouvant dans les parenthèses ) remplacer la décomposition par un nouveau produit.

( 1 x  + 15)  =  ( x + 5 )

 puisque :    1 x = x   et   15  = 5

d ) Rendre compte :sous forme d’une égalité :

  3x + 15 = 3 ( x + 5 )

 

   premier membre : l’expression à factoriser :        3x + 15

deuxième membre : la factorisation terminée.:     3 ( x + 5 )

 

 

Conclusion      3x + 15 = 3 ( x + 5 )


 

Modèle    mathématique(à retenir)

 

    ab + ac  =   a ( 1    b + 1  c )

    ab  + ac   =  a ( b + c )

 

 

Avant de procéder à la factorisation il faut  d’identifier un facteur commun:

 

 

(Pour chaque cas , il faut appliquer la procédure vu précédemment)

 

 

a) le facteur commun peut être un nombre:

                        5 x + 15  =   donne  5 ( x + 3 )

 

b) le facteur commun peut être  une lettre

 

                       3x 2 +x    =   ,donne   x ( 3 x + 1 )

 

c) Ce peut être un produit de facteurs:

 

                          9x2 -3x =  3 x ( 3 x -1)

 

d ) Le facteur commun peut être   «le groupe de termes  entre parenthése »

 

                  (x-1) 2  - (x- 1) =   (x-1 ) [ (x-1) - 1 ]

 

 

FACTORISATION  d ’ un polynôme du second degré :  (forme  ax2 +bx +c)

   (contenant au plus trois termes dont un terme  du second degré )

 

                             Exemple :x2 + 2x -3

   nous remarquerons   que le dernier  terme ne contient pas de facteur commun;

 

            La factorisation de cette forme fera appelle à des connaissances contenues dans les deux objectifs suivants :

 

                   Objectif : Identrem  (sur les identités  dit aussi « égalités » remarquables) 

                   Objectif  : Secdegré ( factorisation des polynômes du second degré)

        

 

 


CONTROLE:

 

 

1°) Quel  est le signe opératoire qui n ’apparaît pas dans une expression algébrique ?

 

2°) Comment reconnaît - on un facteur ?

3 °)Que peut-être « un facteur » ?

4°)  Traduire en langage littéral:

3

3x

ab

x2y

3(2x+1)

2(x-3)

x(x+1)

(a+b)2  = (a+b) (a+b)

(a-b)(a-b) = (a-b)2

(a+b)(a-b) = a2 -  b2

 

Donner la procédure qui  d’opérer une factorisation :

 

 

EVALUATION:

 

Factoriser les expressions suivantes:

 

5 + 35   =

5 +25   =

2x + 6 =6x + 3 =

3x +5x  =

11x -8x =

Remarque : il faut se souvenir qu ‘ une « puissance » est une écriture  « condensée » de la multiplication , dit aussi « produit de facteurs communs .

x2 + x =

x3 +x2 =

3x2 + 6=

2 x2 +22  =

 

3 x (x + 2 ) + x ( x + 2 )  =

(x+1) (2x+3) + (x + 1 ) ( 5 x +7 ) =

 

( x - 1 ) 2  + ( x- 1 ) ( x + 3 )  =

 

DEVELOPPER:

 

 

« Développer »  est une activité  mathématique  qui a pour but de transformer un « produit » en  « somme  algébrique » .

 

 

 

Condition minimum  pour réaliser un développement :

     

 

       Avoir un produit de  deux facteurs  dont un facteur étant un nombre ou une lettre ,le second  facteur étant composé d’une « somme » de deux ou plusieurs termes.

 

     Modèle mathématique :   a ( b + c )   ou    a ( b - c )

 

 

  Exemples:        2 ( x + 3 )   ;     x  ( 2x - 5 ) ;    a ( b + c  - d ) ;  autres exemples:        3x  ( 7 x -12 )   ;  x2 ( x - 3 )

 

 

Procédure de développement:

 

    Exemple : a ( b + c )   

a ) Multiplier le premier terme du deuxième facteur par le premier facteur.

   a fois  b  = ab

b ) Multiplier le  deuxième terme du deuxième facteur par le premier facteur.

    a fois c = ac 

c ) Rendre compte:

           le premier membre étant le produit de facteurs ,le deuxième membre étant composé des deux termes calculés précédemment.

 Conclusion : a ( b + c )  = ab + ac

 

 

 

 

A RETENIR

Traduction mathématique:

a ( b + c )  =   a b + a c

 

On dit aussi :

       

                       que « développer »  c’est «  distribuer le facteur simple sur les termes contenus dans la parenthèse »

 

Applications:

 

Enoncé:  Développer  (on dit aussi « effectuer » )

 

Exemple :   2 ( x + 3 )  =   ?

 

on calcule :

    a)     2 fois x =  2x     et

     b )    2 fois 3  = 6

   c)  Conclusion:

                                     2 ( x + 3 )  =  2x + 6

 

Exemple  N°2 :   3x  ( 7 x -12 ) = ?

 

a)  3x1 fois 7x2 = 3 fois x1 fois 7 fois x2

= 3 x1 7 x2

=  3  7  x1 x2

 = 21 x2

 = 21 x2

 

b)  3 x fois -12  = 3 x  -12

                          =3  -12  x

                          = -36 x

 

c) Conclusion:

                                 3x  ( 7 x -12 ) =  21 x2 - 36

 

 

Autres cas rencontrés :  

                        

 Le premier facteur contient deux termes

 

              Nous avons un produit de facteurs  ,chaque facteur étant une somme de deux (ou plusieurs)  termes.

 

 Modèle mathématique :     du type     ( a + b ) ( c + d ) = ?

 

 

Trois autres cas  sont couramment rencontrés;

 

          Un des facteurs contient un signe opératoire  « moins » , tel que :

  (a +b ) ( c- d)=  ?     ; ou   ( a - b )  ( c + d  )= ?   ;

         Les deux facteurs  ont un signe opératoire « moins » :      ( a - b ) ( c - d ) = ?

 

dans ces trois modèles  ,se souvenir ,pour les applications   que  a - b = a + opp.b  ;

                                                                                                   c -  d = c + opp.d

 

      Exemples:

 

      a)   ( x + 3) ( x - 1)  devient  ( x + 3) ( x + (- 1))

      b)    ( x - 3) ( x - 1)  devient  ( x + (-3))  ( x + (- 1))


 

Procédure de développement :   du type   ( a + b ) ( c + d )

 

a ) Multiplier au premier terme du premier facteur le premier terme du deuxième facteur:

         a fois c = ac

b) Multiplier au premier terme du premier facteur le deuxième terme du deuxième facteur:

        a fois  d = ad

c) Multiplier au deuxième  terme du premier facteur le premier terme du deuxième facteur:

       b fois c = bc

d) Multiplier au premier terme du premier facteur le premier terme du deuxième facteur:

        b fois d = bd

e) Rendre compte:

    conclusion: ( a + b ) ( c + d )  = ac  + ad + bc + bd

Remarque  :  Dans les applications on peut  souvent regrouper les produits  ad et bc .

 

 

Applications:

 

nous traitons les cas courants :

Premier cas :

(x +3) ( 2x +7) =  ?

 

a ) x fois 2x = 2 x2

b ) x fois 7  = 7x

c ) 3 fois 2x = 6x

d ) 3 fois 7  = 21

 

Conclusion : 

(x +3) ( 2x +7) =  2 x2  + 7x + 6x +21

nous pouvons  regrouper les termes  en x  ( ce qui correspond à une factorisation de 7x + 6x  qui est égal  à 13x)

donc : (x +3) ( 2x +7) =      2 x2  + 13x +21

 

Deuxième cas :

Développer  et regrouper les termes de même degré:

 

(x +3) ( 2x -7) =  ?

 

On transforme : (x +3) ( 2x -7) =  (x +3) ( 2x + (-7))

 

a) x fois 2x = 2x2

b) x fois (-7) = -7 x

c) 3 fois 2x  = 6x

d) 3 fois (-7) = -21

 

Conclusion:

(x +3) ( 2x -7) = 2x2 -7x +6x -21    (nous regroupons les termes de même degré : -7x + 6x est égal à   -x  )

 

                                     (x +3) ( 2x -7)  = 2x2 -x -21

 

Troisième cas :

 

(x  -3) ( 2x -7) =   (x +( - 3)) ( 2x  + (-7)) =

 

a) x fois 2x  = 2x2

b) x fois ( -7)   =  -7 x

c) (-3) fois 2x  =  - 6 x

d ) (-3) fois (-7)  =  +21

 

Conclusion:

 

(x +3) ( 2x -7) = 2x2 - 7 x  - 6 x + 21

                    (nous regroupons les termes de même degré ; -7x  plus-6x est égal à  -13x )

(x +3) ( 2x -7) = 2x2  - 13 x  +21

 

PUISSANCE « 2 »  D ’ UNE   ADDITION   ; ou D’UNE SOUSTRACTION

 

 

LES CAS SUIVANTS  FONT L ‘ OBJET   D’UN TRAVAIL PARTICULIER:

               Les facteurs contiennent des termes identiques:

(a + b)2      =    (a + b) (a + b)  =  ?

 (a  - b)2     =     (a - b) (a - b)  =   ?

   Les facteurs sont identiques ,le signe séparant les termes sont opposés:

                   (a + b) (a - b) =(a + b) (a - b) =   ?

 

              Se sont des cas remarquables et  « à remarquer » ,que l’on doit  connaître pour effectuer rapidement un développement  ou une factorisation.

 

De nombreux exercices en mathématique font appel  à ces savoirs:

 

(Voir objectif : identrem  )

 

Voir + : PUISSANCE « 3 » ; d’une addition ou d’une soustraction.

 

 

 

 

CONTROLE:

 

1° ) Que signifie: Développer ?

 

2° ) Donner la condition minimum per mettant de faire un  développement.

 

3° ) Donner le modèle mathématique représentant ce minimum.

 

4 ° )Donner le modèle mathématique  sur le développement  de  ( a + b ) ( c + d )

 

EVALUATION :

 

1° )   Développer les expressions suivantes :

       a)   9  ( 3 + 5 ) =

        b)   3 ( 4 -2x ) =

        c)   4  (3x - 5 ) =

        d)    x (2y - 5x ) =

 

2) )  Développer les expressions suivantes  et  simplifier si possible :

    

       a)   ( x +1 ) ( x -2 ) =

       b)   ( x +5 ) ( 3x -2 ) =

       c)  ( -4x  +3 ) ( 5 x - 6 ) =

 

        d)  ( x +5 ) ( x + 5 ) =

        e)   ( x -5 ) ( x - 5 ) =

  

          f)  ( x  +5 ) ( x - 5 ) =

 

          g)   ( 2x +3 )2 =

          h)   ( -3x +1 ) 2  =

 

          j)   ( a + b )2  =

          k)   ( a - b )2  =

          m)  ( a + b )  ( a - b )  =