Les IDENTITES  REMARQUABLES  de la forme :   (A + B ) ( A - B )

 

 TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

 

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

 

 

 

 

>>>Info générales.

 

 

 

 

 

 

 >>>Aide pédagogique

 

COURS

 

La forme   ( a + b ) ( a - b ) s’écrit  aussi  ( a - b ) ( a +b )

 

 

Exemples :                 ( x +1 ) ( x - 1 )  qui s’écrit    aussi ( x -1 ) ( x + 1 )

                                 ( 3x + 2 ) ( 3x - 2 ) qui s’écrit aussi  ( 3x - 2 ) ( 3x + 2 )

 

 

 

 

La forme fondamentale : ( a + b ) ( a - b )  =  a2 - b2   est  utilisée Développement de    ( a + b ) (a - b )  soit la forme factorisée    a2 - b 2

     

  (voir page 7 objectif : FACDEVE)

 

 

Recherche de la forme développée:

 

          ( a + b ) (a - b)   ,    on met un indice à « a » et « b »

 

ce qui donne :

 

         ( a1 + b1 ) ( a2 - b2)  =  ?          se souvenir que   (a1  = a2   et     b1  = b2  )

 

on  transforme les soustractions en additions .

               (se souvenir qu une soustraction  se transforme en addition à condition de respecter la régle : on ajoute au premier nombre l’opposé du second )

 

                                  ( a + b ) ( a  - b )   =  ( a1 + b1 )  ( a2 + (- b2))

 

Développement :

( a1 + b1 )  ( a2 + (- b2))     =     a1 a2 + a1 (-b2)  +  b1 a2 +  b1(- b2  )

 

On effectue le calcul pour chaque terme  (avant de regrouper )

(voir objectif sur les décimaux relatifs:  Obj:  D....)

 

 

se souvenir que   (a1  = a2   et     b1  = b2  )

 

a1 a2    =   a a =  a2

a1 (-b2) =  ( - a1b2 ) =  - ab

b1 a2  =ba  =  ab

b1 (- b2  ) = - b1 b2  =  - b b   =- b2

 

on réécrit l’égalité:

   ( a + b ) ( a - b )     =   a2 +  (- ab ) + ab  + (- b2)

-ab +ab = 0

( a+ b ) ( a  - b )     = a2 + 0+ (- b2)

( a+ b ) ( a  - b )     = a2 - b2

 

ON  RETIENDRA  :

 

( a +b ) (a -b)   =    a2  -  b2

 

  Traduction en langage littéral :

 

Le produit de la somme de deux nombres par la différence  de ces deux nombres est égal à la différence des carrés de ces nombres .

                                       

 

la Quantité ou expression conjuguée :

Info +@

 

Rappel : On dit qu’une expression numérique est « irrationnelle » lorsqu’elle  renferme des radicaux  portant sur des nombres qui ne sont pas des carrés parfaits. Sinon l’expression est « rationnelle ».

 

Lorsqu’on veut calculer une valeur décimale approchée d’une expression numérique irrationnelle dans laquelle il y a des radicaux  en dénominateur, on a intérêt (afin d’avoir à effectuer des divisions plus courtes) à trouver une expression égale qui n’ait pas de radicaux au dénominateur. On dit que l’on chasse les radicaux du dénominateur. ( @  les quantités  conjuguées)

 

II) pour rendre rationnel les dénominateurs de fractions contenant des radicaux tel que :

 

  ou   ;  ou   ou bien   encore    ;ou alors

 

 

il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par la Quantité ou expression conjuguée :du dénominateur

nous conviendrons d’appeler  l’expression ( a + b ) ( a - b ) ; « expression conjuguée » :

    Une expression conjuguée est un produit de deux facteurs chacun contenant deux termes leur premier terme étant identique( a),leur second terme étant opposé  ( « +b » et « -b » ).

 

Exemples :

par définition nous dirons que  les expressions : et   sont dites « conjugués »

par définition nous dirons que  les expressions : et   sont dites « conjugués »

par définition nous dirons que  les expressions : et   sont dites « conjugués »

par définition nous dirons que  les expressions : et   sont dites « conjugués »

par définition nous dirons que  les expressions : et   sont dites « conjugués »

il suffit  de faire le produit de ces expressions  conjuguées ,le résultat sera  entier ou décimal (les radicaux auront disparus ........)

nous savons par  ailleurs qu’une fraction reste « équivalente »  si l’on multiplie le numérateur et le dénominateur par un même nombre (ou expression même conjuguée) ,si nous voulons faire disparaître au dénominateur d’une fraction une expression contenant un radical il suffira de multiplier le numérateur et le dénominateur par l’expression conjuguée du dénominateur !

 

Ainsi :  si on a  à calculer les valeurs décimales approchées des nombres   et  on les écrira au préalable :

 

 

 = =

 

 

 = =

 


 

EXERCICES TYPES :

 

Pour chaque exercice , il y a deux solutions:

 

Première  solution

on applique directement : ( a +b ) (a -b)   =    a2  -  b2

 

 

          on pose a = x  et b = 1  ;

 

Deuxième solution:

                                         on transforme   ( a + b ) ( a  - b )   en  ( a1 + b1 )  ( a2 + (- b2))

 

          Dans ce cas on pose a = x et   (- b) =  (-1 )                       

         et  l’on développe ................

 

 

Dans les exemples qui suivent la première solution sera retenue:

 

A  )  Développer :  ( x +1 ) ( x - 1 )

       

on applique : ( a +b ) (a -b)   =    a2  -  b2

 

                                   (x +1 ) (x - 1 )       =  x2 - 12

 

 

On calcule pour chaque terme : 

a 2 =x fois x =  x2

b 2 = 12 = 1

 

                                   (x - 1 ) 2   =  x2 -1

 

 

 

B)  Développer : ( 3x + 2 ) ( 3x - 2 )

 

on applique : ( a +b ) (a -b)   =    a2  -  b2

 

On pose a  = 3x  et b = 2   ;  : ( 3x + 2 )  ( 3x - 2 ) =  ( 3x )2 - 22

 

On calcule pour chaque terme:

 

 a2 = (3x)2  = 9 x2

 b2 =  22  = 4

 

Conclusion: ( 3x + 2 )  ( 3x - 2 ) = 9 x2 -4

 

Factoriser : a2 -b2

 

Nous savons que la forme a2-b2 est la forme développer de  (a + b )  (a - b ) ; nous pouvons conclure que la forme factoriser de   a2 -b2   est  (a + b ) (a - b ).

 

Exercice type :

 

Factoriser:           9 x2 - 4

 

Procédure: (de factorisation)

 

a )On reconnaît un polynôme du second degré   (grâce au «  x2 » )

 

b) On remarque que ce polynôme  contient deux  termes ,dont  pas de  terme « x » de degré 1  mais un terme  « négatif »,  il pourrait  être de la forme   a2 -b2

 

c) Nous allons comparer terme à terme , pour vérifier si ce polynôme  peut se mettre sous la forme ( a+b)(a-b);    dont la  forme développée est   a2 -b2

 

 

 1 )   Est ce que   9 x2  est de la forme a2  ?

 

CONVENTION D’ECRITURE :

Dans l’expression  (a - b ) 2  ;   9 x2  est de la forme « a2 » est non de la forme « b2 » ; parce que « le terme en « x » de chaque facteur est « en tête » , donc suivi du signe «  - »

On utilisera  toujours cette écriture                (x+ b ) ( x - b )               au lieu de  (a + x ) ( a -x ) 

    9 est le carrée parfait de 3   on peut écrire  9x2 = 32 fois x2  ,

               ( se souvenir que le carré d’un produit est égale au produit des carrés (et inversement  le produit d’un carré est égal au carré des produits : 32x2  =( 3x )2    )

   

 on peut conclure que  9x2  est de la forme  a2  ;  soit ( 3x )2

 

3) Est ce que  « 2 » convient  pour « b » ?

 

On sait que  b2 est égale à 4 ,que racine carrée de 4 vaut 2 , donc    « b » à pour valeur  « 2 »

 

d) Inventaire des calculs:

   puisque a2  = ( 3x )2     que  b  = 2  ;donc que b2 =4

 

e) Conclusion:

        9 x2 - 4  est de la forme a2 -b2  ; avec a=3x et b=2

donc  la forme factorisée de  9x2 -4  =  ( 3x+ 2) ( 3x- 2)

 

 

           Réponse la factorisation  de    9x2 -4  est  ( 3x+ 2) ( 3x- 2)

 

 

Certains polynômes du second degré ne peuvent se factoriser de façon « directe » tel :

x2 + 1   ; x2-77   ;  2x2-21  ;........................

 

Nous trouverons une solution ,quand elle existe , d’opérer une factorisation lorsque nous aborderons  l’objectif traitant de l’équation du second degré. « EQUA2° »

APPLICATION

Données du problème :

 

Un rectangle a pour aire :  ........................

Sa longueur est de : x +

Sa largeur est de   x  +  ...

 

Questions  :

 

Calculer   « x »

Calculer sa longueur et sa largeur:

 

CONTROLE:

 

Donner la forme mathématique du développer d ‘une somme de deux nombres par la différence de ces deux nombres.

 

 

EVALUATION.

 

I ) Développer:

 

(3x+1) (3x-1) =

( x+1 ) ( x -1 )  =

(x +3 ) (x -3 ) =

(x +) ( x - ) =

(x +1)  (x -1) =

 

 

II ) Factoriser:

 

 

 

x 2- 36

 

 

16x2  - 9

 

 

 

III ) Que faut-il ajouter aux expressions suivantes pour les transformer en carré d’une différence ?

 

 

 

a2 + b 2

 

 

9a2 - b2

 

 

4a2 - 4b2

 

 

a2 - b 2

 

 

a2 -9b2

 

 

 

DEVOIR BILAN:

 

Factoriser les expressions suivantes:

 

(il est nullement question ici de chercher à résoudre une équation ,ni même d’étudier une fonction ;il est simplement demandé de trouver une nouvelle forme d’écriture mathématique)