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Les égalités (vocabulaire et théorèmes)

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Résolutions de système d’équations du premier degré à deux inconnues

 

Résolution d’équations du premier degré à plusieurs termes.

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ENVIRONNEMENT du dossier:

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Objectif précédent :

1°) Problèmes d’arithmétique relevant du premier degré.

2°) Résolution d’une équation du  premier degré à 1 inconnue.

Objectif suivant :

 1°) Suite.

2°) autres problèmes   Sphère metallique

3°) les sciences et les égalités.

tableau :

liste des cours

 

 

 

 

DOSSIER : GENERALITES sur la résolution des problèmes   du premier degré

TEST

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COURS

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Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

interdisciplinarité :

Problèmes Filescrosoft Officeverte

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

 

Rappel : l’équation est une égalité qui renferme au moins une inconnue et qui ne peut être vérifiée que lorsque certaines valeurs numériques, qu’il s’agit de trouver, sont mises  à la  place des inconnues.

Les équations se désignent par le nombre de leurs  inconnues et par leur degré.

Si l’équation n’a qu’une inconnue, son degré est l’exposant le plus fort dont cette inconnue est affectée dans l’équation ;

Exemples :

2 x + 4 = x -3

Est une équation du premier degré ( à une inconnue)

2 x² + 4 = x - 3

Est une équation du deuxième degré ( à une inconnue)

Fin du rappel.

 

Pour établir l’équation d’un problème, il suffit de transformer l’énoncé en une égalité. Pour cela, on remplace par une lettre,  « x » habituellement, le nombre cherché ; et l’on établit les relations qui unissent toutes les quantités, en ne se servant que des signes employés en algèbre.

 


COURS

 

La résolution  d'un problème par l'algèbre ( on dit aussi : recherche d’une solution algébrique ) peut se décomposer en quatre parties:

 

1°) Choix de la ou des inconnues :

 

On doit choisir les inconnues de façon que leur détermination entraîne la solution du problème. Il ne pas craindre d’introduire plusieurs inconnues ou même une inconnue auxiliaire si cela facilite la mise en équation et la résolution.

 

2°) Mise en équation :

 

Elle consiste à traduire l’énoncé par une ou plusieurs égalités entre les données et les inconnues. Dans tous les cas il faut autant d’équations que d’inconnues. Il faut rechercher également les conditions pour que toute solution de l’équation ou du système obtenu soit solution du problème.

 

3°) Résolution des équations @  :

 

la résolution de l’équation ou du système obtenu c’est la partie purement algébrique du problème.

 

4°) Discussion du problème :

 

c’est vérifier si la racine (s)  ou solution (s) trouvée (s) satisfait aux conditions imposées ci-dessus .

commentaire:  nous avons vu la résolution de l'équation du premier degré , nous allons traiter successivement de

 

1°) choix de la ou des inconnues:

2°) mise en équation:

3°) résolution d’une équation, ou d’un système d’équations du premier degré à 1 ou 2 inconnues

4°) discussion du problème:

Boule verte @Info cours

Boule verte @ info cours

Boule verteinfo 1 @ cours ( une équation)

Boule verteinfo 2 @ cours ( système d'équations)

Boule verte  @info cours

 


Pour vous aider à comprendre la démarche à employer pour résoudre un problème du premier degré à une inconnue, dans le cours qui suit nous  aiderons continuellement des 4 problèmes types :

 

Problème 1

 

Enoncé du problème

 

On veut partager une somme de 60 000 € entre trois héritiers, de manière que le deuxième ait 5 000 € de plus que le premier, et le troisième 1 000 € de moins que le deuxième. Calculer la part de chacun.

 

 

 

 

Problème 2

 

Enoncé du problème

 

Une marchande apporte au marché un panier de pommes ; elle vend d’abord le   de ce que contenait son panier, puis 12 pommes, puis  du reste, il lui en reste alors 18.

Combien avait-elle de pommes ?

 

 

Problème 3

 

Enoncé du problème

 

Un jardin rectangulaire de 50 mètres de long est plus grand de 257 mètres carrés qu’un autre de même forme, d’une longueur de 42 mètres et dont la largeur surpasse celle du premier de 1, 50 mètre. Calculer la largeur du premier terrain.

 

 

Problème 4

 

Enoncé du problème

 

Un père a 38 ans, son fils a 14 ans . On demande dans combien d’années le père aura juste 3 fois l’âge de son fils.

 

 


 

1°) choix de la ou des inconnues

 

Exemples de problèmes types (recherche de l’inconnue ):

 

Problème 1

 

Enoncé du problème

Choix de l’inconnue :

On veut partager une somme de 60 000 € entre trois héritiers, de manière que le deuxième ait 5 000 € de plus que le premier, et le troisième 1 000 € de moins que le deuxième. Calculer la part de chacun.

Appelons « x » la part du premier.

 

 

Problème 2

Enoncé du problème

Choix de l’inconnue :

Une marchande apporte au marché un panier de pommes ; elle vend d’abord le   de ce que contenait son panier, puis 12 pommes, puis  du reste, il lui en reste alors 18.

Combien avait-elle de pommes ?

Soit « x » le nombre de pommes apportées.

 

 

Problème 3

Enoncé du problème

Choix de l’inconnue :

Un jardin rectangulaire de 50 mètres de long est plus grand de 257 mètres carrés qu’un autre de même forme, d’une longueur de 42 mètres et dont la largeur surpasse celle du premier de 1, 50 mètre. Calculer la largeur du premier terrain.

Soit « x » la largeur du 1er terrain, la largeur du 2e terrain sera :   x + 1,5

 

 

Problème 4

Enoncé du problème

Choix de l’inconnue :

Un père a 38 ans, son fils a 14 ans . On demande dans combien d’années le père aura juste 3 fois l’âge de son fils.

Soit « x » le nombre cherché, ou le nombre d’années à venir.

 

 

Commentaires :   Lorsque l'on veut résoudre un problème par l'algèbre, la première question que l'on doit  se poser est relative au choix des inconnues.

On peut procéder de la façon suivante:

A ) quelles quantités prend-on comme inconnues ?

Le problème posé, dans ses questions élémentaires, l'énoncé indique généralement d'une manière assez claire par elle même quelles inconnues il faut choisir. C'est surtout l'étude de nombreux exemples qui peut servir de guide pour choisir, dans certains cas, certaines inconnues de préférences à d'autres :il en résulte parfois des simplifications assez grandes.

 

B )Comment sont-elles définies en valeur absolue ?

Les quantités que l'on prend pour inconnues étant déterminées, il est essentiel de définir d'une manière précise de quelle manière on les représente par des nombres , puisque ce sont des nombres seulement qui figurent directement ou non dans les formules d'algèbre.

Pour cela , il faut fixer d'une manière précise l'unité que l'on choisit afin de connaître la signification de ce nombre .

Pour une longueur il faut savoir si le résultat est exprimé en mètres , décimètres , centimètres ou millimètres

Pour une surface , il faut savoir si l' unité est le mètre carré ou le décimètre carré ,…

Pour le temps il faut savoir si le nombre est exprimé en année , jours , heures , minutes , secondes ….

De plus dans certains cas , il est nécessaire  de fixer une origine si l'inconnue est un temps (par exemple), un prix de départ, une caution ….

 

 

C )Comment sont-elles  définies en signe ?

Dans de nombreux problèmes , les quantités inconnues sont de nature telle qu'on peut les considérer comme négatives ou positives ; il est donc nécessaire , en même temps qu'on choisit une unité , de faire une convention précise relative au signe de chacune de ces quantités. On devra se rappeler cette convention , lorsque l'on aura obtenu la solution de manière à en connaître la signification concrète précise.

 

Problème 5

Exemple:

Jean à 3 ans 6 mois , et pierre 18 mois ; peut-il arriver que l'âge de Jean soit double de celui de Pierre ?

 

Il est "naturel" de prendre pour inconnue le temps qui sépare le moment actuel de l'époque où l'âge de Jean  sera (ou a été) double de celui de Pierre.

On prend  donc comme origine des temps l'époque actuelle.

De plus , on devra choisir  une unité de temps , on prendra  , soit le mois , soit l'année (ici le mois semble le mieux indiqué).Enfin , on devra indiquer si on compte les temps positif vers le futur et négatifs vers le passé , ou inversement.

Les conventions ainsi faites permettront de mettre le problème en équation et , cette équation résolue , de discuter le résultat.

 

 

 

 

 

2° )  MISE en EQUATION:

 

Mettre un problème en équation, c'est écrire les équations que les inconnues doivent vérifier, d'après l'énoncé. Les conditions non traduisibles par des équations sont étudiées dans la discussion. On ne s'occupe ici que des conditions qui s'expriment par des relations entre les inconnues et les quantités données.

Les inconnues étant représentées par des lettres "x ; y ; z "  etc.…, on n'a souvent qu'à écrire les égalités exprimées par l'énoncé en écrivant ces lettres à la place des quantités qu'elles représentent.

On procède comme si l'on voulait faire la vérification des relations  qu'indique l'énoncé ; ces relations dans lesquelles figurent les lettres à la place des nombres inconnus donnent les équations du problème.

 

Il peut se faire cependant que les relations indiquées par l'énoncé ne suffisent pas à déterminer la question et notamment qu'elles ne conduisent pas à un nombre d'équations aussi de grand que le nombre des inconnues .Il faut connaître des propriétés nouvelles  conduisant à d'autres relations.

En Géométrie:

S'il s'agit d'un problème de géométrie il y aura lieu de se demander si l'on connaît des théorèmes s'appliquant

Et …..

S'il s'agit d'un problème de mécanique , d'arithmétique , de physique , de chimie , etc …il y aura souvent nécessité de connaître une propriété mécanique , arithmétique , physique ou chimique ,….que ne donne pas l'énoncé et sans laquelle cependant le problème ne pourra être résolu.

Il convient en tout cas d'avoir grand soin , avant d'écrire toutes les relations, d'exprimer toutes les quantités de même nature avec la même unité et s'il y a lieu , avec la même origine et les mêmes conventions de signes .Sans cette précaution , les équations écrites ne signifieraient rien et on ferait des erreurs très graves.

 

Prenons un exemple: soit le problème suivant :

Deux voyageurs se déplacent sur la route de Paris à Soissons, le premier est à 25 km de Paris, et le second à 50 km de Soissons. Le premier se dirige vers Soissons  avec une vitesse de 30 Km à l'heure, et le second  se dirige vers  Paris avec une vitesse de 3 m par seconde. On demande au bout de combien de temps  ils se rencontrerons, sachant que la distance  de Paris à Soissons est de 500 Km.

Etude du problème:  ( INFO PLUS +++++)

Nous prendrons comme inconnue le temps "x" qui s'écoule depuis l'époque actuelle jusqu'au moment de la rencontre , ce temps sera supposé compté positivement vers l'avenir et exprimé en heures .

Nous avons ainsi choisi une origine  des temps , un sens positif pour les temps et une unité de temps .

 

Mais l'énoncé  renferme aussi  des longueurs ; nous choisirons une origine  des longueurs  , par exemple Paris , un sens positif , par exemple le sens de Paris vers  Soissons , et une unité de longueur , par exemple le kilomètre.

 

Avec ces unités , la position du premier voyageur est définie par + 25 et sa vitesse est de + 30  .Quant au second voyageur , sa position est définie par 500-50 = 450 , puisque  Soissons est à 500 km et qu'il est à 50 km de Soissons  vers Paris ; quand à sa vitesse , il faut remarquer  que s'il parcourt 3 m en une seconde  , il parcours en une minute  3 fois 60 = 180 m par minute , et en une heure il parcourt 180 fois 60 = 10800m, c'est à dire 10,8 km par heure, de plus il se dirige de Soissons  vers Paris  , c'est à dire dans le sens négatif , sa vitesse est donc de -10,8 km par heure.

Ces premiers calculs faits la mise en équation est immédiate , il suffit d' écrire qu'au bout du temps "x" les deux voyageurs sont au même point , c'est à dire que leurs distance du point à  Paris sont égales .or , d'après l'équation du mouvement uniforme , la distance  du premier voyageur à Paris  au bout du temps "x"  est de  25 + 30x et la distance du second  est  450  - 10,8 x; l'équation du problème est donc :

25   + 30 x = 450 - 10,8 x

 

Suite  sur les  problèmes types :

 

Après avoir identifié  l’inconnue « x » on passe à la mise en équation:

 

Problème 1

Enoncé du problème

Mise en équation :

On veut partager une somme de 60 000 € entre trois héritiers, de manière que le deuxième ait 5 000 € de plus que le premier, et le troisième 1 000 € de moins que le deuxième. Calculer la part de chacun.

Appelons « x » la part du premier. On a :

Part du premier :      x  ;

Part du deuxième :   x + 5 000

Part du troisième :

                    (x + 5000)  - 1000   ou    x + 4 000

Il est évident qu’on obtient l’équation :

       x +  x + 5 000  + x + 4000 = 60 000

 

Problème 2

Enoncé du problème

Mise en équation :

Une marchande apporte au marché un panier de pommes ; elle vend d’abord le   de ce que contenait son panier, puis 12 pommes, puis  du reste, il lui en reste alors 18.

Combien avait-elle de pommes ?

Soit « x » le nombre de pommes apportées.

La marchande a vendu dans ses deux premières ventes :   soit  

Il reste, avant al troisième  vente :

x -         ou      x -  - 12

la 3e vente comprend :

 de x -  - 12   ou

 

Dans les 3 ventes, la personne a vendu :

 

          + 

 

Si l’on ajoute à ce total les 18 pommes qui restent, on devra égaliser avec le contenu total du panier.

On tire donc l’équation suivante :

 +  + 18 = x

 

 

Problème 3

Enoncé du problème

Mise en équation :

Un jardin rectangulaire de 50 mètres de long est plus grand de 257 mètres carrés qu’un autre de même forme, d’une longueur de 42 mètres et dont la largeur surpasse celle du premier de 1, 50 mètre. Calculer la largeur du premier terrain.

Soit « x » la largeur du 1er terrain, la largeur du 2e terrain sera :   x + 1,5

Surface du premier terrain :  50 × x =  50 x

Surface du 2e terrain : 42 × (x + 1,5  = 42 x + 63

On écrira l’égalité suivante :

    50 x - (42 x + 63 ) = 257

 

Problème 4

Enoncé du problème

Mise en équation :

Un père a 38 ans, son fils a 14 ans . On demande dans combien d’années le père aura juste 3 fois l’âge de son fils.

Soit « x » le nombre cherché, ou le nombre d’années à venir.

On écrira :

          38 + x = 3 ( 14 + x)

On remarquera qu’évidemment les âges du père et du fils augmentent d’une même quantité d’années.

 

 

La mise en équation du problème est effectué, il reste à résoudre l'équation ou les équations ,voir (SOS cours sur les égalités)

 


Avant de passer à la troisième étape « résolution de l’équation » ;il est nécessaire de faire un rappel sur les propriétés des égalités (@) :

 

Définition :

une équation est une égalité qui peut subir toutes les transformations suivantes :

 

Exemple 1

Règle 1

Soit l’égalité    8 = 8

Ajoutons 5 unités à chaque membre :   8 + 5 = 8 + 5

On a , encore l’égalité :  13 =  13

On peut ajouter un même nombre aux deux membres d’une égalité sans altérer cette égalité.

 

Exemple 2

Règle 2

Soit l’égalité    8 = 8

Retranchons 3 unités à chaque membre :   8  - 3 = 8  - 3

On a , encore l’égalité :  5 = 5

On peut retrancher un même nombre aux deux membres d’une égalité sans altérer cette égalité.

 

Exemple 3

Règle 3

Soit l’égalité    8 = 8

Multiplions par  3 unités chaque membre :   8 × 3 = 8 × 3

On a , encore l’égalité :  24 = 24

On peut multiplier les deux membres d’une égalité par un même nombre sans altérer cette égalité.

 

Exemple 4

Règle 4

Soit l’égalité    8 = 8

Divisons  par  2 unités chaque membre :   =   

On a , encore l’égalité :  4  =  4

On peut diviser les deux membres d’une égalité par un même nombre sans altérer cette égalité.

 

Exemple 5

Règle 5

Soit l’égalité    8 = 5 + 3

On peut retrancher 3 unités à chaque  membre :   8 - 3 = 5

D’autre part , soit l’égalité :  2 = 5 - 3

On peut ajouter 3 unités de chaque côté de l’égalité, et l’on a : 2 + 3 = 5  

 

Si l’on transporte un terme algébrique précédé du signe + ou - , d’un membre d’une égalité dans l’autre membre, ce terme garde sa valeur absolue, mais change de signe.

Toutes les propriétés des égalités s’appliquent aux équations.

 

 

Exemple 6

Règle 6

Soit l’équation 5 x = 20

Divisons les deux membres par « 5 », on obtient :

     x = 

       x  =  4

 

Dans une équation, pour chasser le coefficient de « x », il suffit de diviser les deux membres par ce coefficient.

 

Exemple 7

Règle 7

Soit l’équation  

On a deux fractions qu’on peut réduire au plus petit commun dénominateur. Celui - ci est 12

Effectuons, on a :

multiplions les deux membres par 12, on a :   8 x = 7

 

et        x = 

 

Lorsqu’ une équation présente des dénominateurs différents, on réduit tous les termes au même dénominateur. On supprime ensuite ce dénominateur commun.

 

Remarque : la suppression des dénominateurs s’appelle «  chasser les dénominateurs ». 

 

3° ) Résolution  des  équations :

 

Toutes les propriétés des égalités s’appliquent aux équations.

Résoudre une équation, c’est « transporter » les termes inconnus d’un côté du signe « = » et les termes connus de l’autre côté, de manière à trouver la valeur de l’inconnue.

 

Pour cela, on appliquera les 7  règles qui précédent. et qu’il faut connaître « par cœur ».

 

Reprenons la résolution des équations posées par les problèmes 2 ;3 ;4 ;5 .

 

Problème 1 : on a à résoudre l’équation trouvée :

            x+ x + 5 000 + x + 4 000 = x

 

On gardera tous les « x » du même côté de l’égalité, ce qui fera « 3x », et l’on fera passer les nombres 5 000 et 4 000 du côté opposé. D’après les règles précédentes, on aura :        x + x + x = 60 000 - 5 000 - 4000

                          3 x = 51 000

                             x = 17 000

La part du 1er héritier sera de 17 000 €

Le 2e héritier aura : 17 000 + 5 000 = 22 000 €

Le 3e héritier aura    22 000 - 1000 = 21 000 €

 

Commentaire : le résultat est positif et devaient l’être forcément.

 

Vérification :     17 000 + 22 000 + 21 000 = 60 000 €

 

Remarque : ici , l’équation était « simple » , et ne présentait aucun dénominateur à faire disparaître.

 

Problème 2 :

 

On a à résoudre  l’équation trouvée :  +  + 18 = x

 

Il faut chasser les dénominateurs. Le plus petit dénominateur commun sera « 28 ». En réduisant tous les termes à ce dénominateur, on aura :  

                               

 

Faisons disparaître le dénominateur « 28 ».

                       7 x + 336 + 4x - x - 48 + 504 = 28 x

Faisons passer tous les termes en « x » du côté droit de l’équation, et l’on aura :

336   - 48 + 504  = 28 x - 7 x - 4x + x

 

ou                  792  =  18 x

ou                    18 x = 792

et  en chassant le coefficient « 18 » :   x =   = 44

Conclusion : le nombre primitif de pommes était : 44

 

Remarque 1 : ce nombre est positif est devait l’être.

 

Remarque 2 : Si l’on fait passer les termes inconnus du côté droit de l’équation, c’est qu’on s’était assuré rapidement qu’il y avait moins d’ »x » à gauche de l’équation qu’à droite, et qu’on aurait un nombre positif d ‘ « x » à droite . C’est une précaution importante. Sans cela on aurait eu :   - 18 x = - 792 

Et il aurait fallu changer tous les signes de  l’équation, ce qui pourtant n’altérait pas le résultat de l’équation.

 

Problème N°3   On a à résoudre l’équation trouvée  50x - ( 42x + 63) = 257 

 

On fait disparaître les parenthèses :      50 x - 42 x - 63 = 257

On réduit :                                                8 x =  257 + 63

                                                                 8x = 320

                                                                   x = 40

conclusion : la largeur du terrain sera de 40 mètres.

 

Problème N°4 On a à résoudre l’équation trouvée   38 + x = 3 ( 14 + x )

 

Faisons disparaître les parenthèses en faisant la multiplication :

38 + x = 42 +3x

Faisons passer les « x » à droites, on obtient :

                     38 - 42  = 3 x - x

                          - 4 = 2 x

                          - 2 = x

ou                    x = - 2

On obtient ici une valeur négative « -2 », qui peut facilement s’interpréter. On demandait dans combien d’années l’âge du père serait égal à 3 fois l’âge de son fils. On trouve que ce nombre d’années est -2 . Cela veut dire qu’il y avait « déjà » 2 ans que la condition posait avait été réalisée. En effet, 2 ans auparavant, l’âge du père était 36 ans et l’âge du fils 12 ans.

 

Il faut  discuter les résultats. voir ce qui suit :

4° ) DISCUSSION des résultats:

 

La résolution  de l'équation ou des équations  d'un problème  est déterminée, impossible ou indéterminée.

 

Si elle est impossible : il n'y a pas de solution ou racine.

Si elle est indéterminée, il faudra lever l'indétermination.

 

Remarque : on verra plus tard que ces cas d’impossibilité et d’indétermination trouve surtout leur application dans la résolution des équations du 1er degré à plusieurs inconnues ( @ )  et des équations du 2e degré.

 

Si elle est déterminée:

Elle conduit à des nombres qui peuvent être positifs ou négatifs , entiers , fractionnaire ,…

Discuter le problème , c'est examiner quelles conséquences on peut déduire de ces divers circonstances au point de vue de la solution du problème.

 

Par exemple , supposons que la lettre "x" représente le nombre de femme  composant une assemblée et que nous avons x =  , ou bien  x = -13 , nous devrons en conclure que , si nous  n'avons pas fait d'erreur de calcul , le problème proposé est impossible. De même si  pour l'un des chiffres  d'un nombre , on trouve 14 (par exemple), nombre supérieur à 9 , de même si l'on trouve un nombre négatif pour le salaire d'une personne  , un nombre supérieur au rayon pour la distance d'une corde au centre de la circonférence.

 

Nous allons montrer sur des exemples comment on discute un problème ; cette discussion est généralement très aisée dans le cas  où les données sont numériques ; elle est souvent plus longue lorsque ces données , ou certaines d'entre elles , sont représentées par des lettres  dont la valeur numérique n'est pas connue. Pour faire une discussion complète , il est alors nécessaire d' examiner successivement les divers hypothèses que l'on peut faire sur le signe et la grandeur relative des données. Tout cela sera rendu plus clair par l' étude de quelques exemples.

 

INFO complémentaire :   « PROBLEMES du Premier degré à une inconnue. »

 

On donne couramment la définition suivante :

On dit qu'un problème est un problème du premier degré à une inconnue lorsque sa résolution se ramène à la résolution d'une équation du premier degré à une inconnue.  

 

Cette définition est moins précise qu'elle ne le paraît.

 

 

Lorsque l'on donne  un problème, en effet, le nombre des inconnues qu'il faut introduire pour le résoudre dépend parfois en partie de la méthode que l'on suit.

 

Par exemple :prenons le problème suivant

Claire  à 3 billes de plus que Lucile ;mais si Lucile avait deux fois plus de billes , elle  en aurait 5 de plus que Caroline, combien Lucile et Claire ont-il de billes chacune ?

 

Résolution:

1er cas :    On peut appeler "x" le nombre de billes de Lucile et "y" le nombre de billes de Claire , ce qui fait deux inconnues ;

on peut aussi remarquer que ,

 2ème cas :  si l'on appelle "x" le nombre de billes de Lucile , l'énoncé nous apprend que le nombre de billes de Claire est de x+3 , il est donc possible d'introduire qu'une seule inconnue.

 

 

dans le premier cas  , on est conduit au système : x+3 =y et 2x = y + 5

 

Dans le deuxième cas , on n'a qu'une équation à une inconnue:

2x = (x+3) +5

 

Il nous reste à résoudre:  2x = x +8

 

Nous pouvons trouver des analogies dans l'exemple suivant, mais pour le degré :

Soit le problème :  Trouver un nombre positif sachant que son carré augmenté de 9 est égal au double de son carré diminué de 7.

Résolution:

Si l'on désigne ce nombre par "x" , on a l'équation :

x2 + 9 = 2 x2 -7

qui est du second degré. Mais on peut prendre pour inconnue le carré du nombre cherché ; si l'on désigne ce carré par "y" , on a l' équation du premier degré:

y + 9  =  2y - 7

qui donne  y = 16 , le nombre cherché a donc 16 pour carré , il est égal à 4.

 

 

En complémentaire : Autres EXEMPLES de problèmes du premier degré à une inconnue.

 

1°) Un fermier porte au marché un certain nombre d'œufs , qu'il compte vendre 100 centimes pièce ; il en casse 6 , mais il trouve à vendre les autres  150 centimes pièce et rapporte ainsi chez lui 10 francs de plus qu'il ne comptait en partant. Combien avait-il d'œufs?

 

 

On désigne par "x" le nombre d'œufs qu'il avait au départ ; la somme que le fermier comptait rapporter chez lui sera désignée par 10x ,si nous choisissons le centime comme unité. L'énonce nous apprend qu'il vend x-6 œufs à 15 centimes , ce qui lui rapporte (x-6) 15 , et qu' il obtient ainsi 10 francs , c'est à dire 1000 centimes de plus qu'il ne comptait ; l'équation du problème est donc :

(x-6)150 = 100 x+1000

on en conclut :que  50x = 1900

x = 38

 

La réponse est donc : le fermier avait au départ 38 œufs. Il n'y a pas de discussion, cette solution convenant parfaitement à la question posée. Il est bon de vérifier le résultat ; s'il ne satisfait pas aux  conditions du problème , on devrait en conclure que l'on a fait quelque erreur et chercher à la découvrir.

On voit que 38 œufs à 100 centimes donnent 38 Francs; si l'on à 6œufs de moins , c'est à dire 32 , mais qu'on les vende 150 centimes on obtient 48 francs, c'est bien 10 franc de plus. Le résultat trouvé est donc exact.

 

 

Pb N°2 :

Un marchand de vin désire obtenir 100 litres de vin lui revenant à 5 euros  le litre en mélangeant du vin qui lui coûte   3,50 euros le litre avec du vin qui lui coûte 9,50 euros le litre. Combien doit-il prendre de litres de vin de chaque espèce?

Résolution:

Désignons par "x"  le nombre de litres de vin à 3,50 euros, puisqu'il faut 100 litres en tout  ,le nombre de litres de vin  à 9,50 euros est de 100-x .Le prix total de revient des "x" litres à 3,50 et de 100-x litres à 9,50 doit être égal au prix de 100 litres à 5 euros c'est à dire  à 500  euros .

On a donc l'équation:

3,50 x + 9,50  (100 - x )  =500

 

Aussi : on obtient :

 3,50x + 950-9,50x=500

 

3,50x -9,50x =   500- 950

 

-6 x =   -450

      x =   

x = 75

 

Il faut donc prendre 75 litres à 3,50 euros et , par suite, 25 litres à 9,50 euros

Une vérification s'impose : ……!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

 

Pb N°3 : Un voleur s'est emparé d'une bicyclette et s'enfuit sur une route avec une vitesse de 20 km à l'heure ; on s'en aperçoit 3 minutes après son départ et un bicycliste s'élance à sa poursuite avec une vitesse de 22 km à l'heure .Au bout de combien de temps le rattrapera-t-il ? (les vitesses sont des vitesses moyennes)

 

Résolution:

Désignons par "x"  le temps cherché , exprimé en minutes ,et compté à partir du moment où le voleur est parti ; lorsque le bicycliste le rattrape , ils ont parcouru le même chemin , le premier ayant roulé pendant "x" minutes avec une vitesse de  20 à l'heure et le deuxième ayant roulé pendant x-3 minutes avec une vitesse de 22 à l'heure .Comme le chemin parcouru pendant une minute est 60 fois plus petit que le chemin parcouru pendant une heure , l' équation du problème sera :

 

ou ,   en multipliant les deux membres par 30

10x = 11(x-3)

d'où x = 33

 

Le voleur est rattrapé 33 minutes après sont départ .

A vérifier …!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

 

 

Pb N°4:

Un père a 40 ans et son fils en a 16 ; quand l'âge du père sera-t-il triple de celui du fils ?

Désignons par "x" le temps cherché , compté en années à partir de l'époque actuelle, et supposé positif dans l'avenir. A l' époque "x" , l'âge du père sera 40+x et l'âge du fils 16+x ; on doit donc avoir , d'après l'énoncé

40 +x = 3 ( 16+ x )

 

c'est à dire :    -2x = 8

x= -4

Discussion: Nous trouvons  comme solution un nombre négatif ; or nous avons désigné par "x" un temps compté positivement dans l'avenir ; nous devons en conclure que c'est il y a 4 ans que l'âge du père était triple de celui du fils. En effet , le père avait alors 36 ans et le fils 12.

Le problème  suivant possède pas de nombres  , ceux ci sont remplacés par des lettres :

Exemple: l'âge de Paul est représenté par "a" et l'âge de  Pierre par "b" ; dans combien d'années l'âge de Paul sera-t-il "m" fois plus grand que celui de  Pierre?

A faire ! ! ! ! !

 


CONTROLE :

1°) citer les 7 règles permettant de résoudre les équations du premier degré à une inconnue.

2°) Donner la procédure de résolution d’un problème (par l’algèbre):

(Citer les 4 étapes chronologiques de la résolution d’un problème d’algèbre :

 

EVALUATION

 

Série 1 : (traités dans le cours)

Enoncé du problème N°1

 

On veut partager une somme de 60 000 € entre trois héritiers, de manière que le deuxième ait 5 000 € de plus que le premier, et le troisième 1 000 € de moins que le deuxième. Calculer la part de chacun.

 

 

Enoncé du problème N°2

 

Une marchande apporte au marché un panier de pommes ; elle vend d’abord le   de ce que contenait son panier, puis 12 pommes, puis  du reste, il lui en reste alors 18.

Combien avait-elle de pommes ?

 

 

Enoncé du problème N°3

 

Un jardin rectangulaire de 50 mètres de long est plus grand de 257 mètres carrés qu’un autre de même forme, d’une longueur de 42 mètres et dont la largeur surpasse celle du premier de 1, 50 mètre. Calculer la largeur du premier terrain.

 

 

Enoncé du problème  N°4

 

Un père a 38 ans, son fils a 14 ans . On demande dans combien d’années le père aura juste 3 fois l’âge de son fils.

 

 

Série 2.

 

1°) Un fermier porte au marché un certain nombre d'œufs , qu'il compte vendre 100 centimes pièce ; il en casse 6 , mais il trouve à vendre les autres  150 centimes pièce et rapporte ainsi chez lui 10 francs de plus qu'il ne comptait en partant. Combien avait-il d'œufs?

 

Pb N°2 :

Un marchand de vin désire obtenir 100 litres de vin lui revenant à 5 francs le litre en mélangeant du vin qui lui coûte   3,50 francs le litre avec du vin qui lui coûte 9,50 francs le litre. Combien doit-il prendre de litres de vin de chaque espèce?

 

Pb N°3 : Un voleur s'est emparé d'une bicyclette et s'enfuit sur une route avec une vitesse de 20 km à l'heure ; on s'en aperçoit 3 minutes après son départ et un bicycliste s'élance à sa poursuite avec une vitesse de 22 km à l'heure .Au bout de combien de temps le rattrapera-t-il ? (les vitesses sont des vitesses moyennes)

 

 

Pb N°4:

Un père a 40 ans et son fils en a 16 ; quand l'âge du père sera-t-il triple de celui du fils ?

 

 

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