PRE REQUIS:

 

Calcul mental : le multiple et diviseur

 

 

 

« multiple »

 

 

 

Calcul  du    PGCD

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

 

Index   warmaths

Objectif précédent 

 Sphère metalliqueDécomposer un nombre en produit de facteurs premiers

Suite 

:Application : fraction :rendre irréductible   

 

Réduire au même dénominateur Sphère metallique

1°) Tableau     Sphère metallique  32

 

2°) Informations  Sphère metallique

 

3°) voir liste des cours sur le calcul numérique.

 

4°) liste des cours sur les nombres premiers.

 

 

 

 

 

DOSSIER :  calcul du nombre appelé

Calcul du « Plus Petit Commun Multiple » de deux ( ou + )nombres ;

 on dit aussi :  calcul du «  Plus Petit Dénominateur Commun » (utilisé dans les fractions pour obtenir un dénominateur commun )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TEST

           FilesOfficeverte

COURS

                FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité

                        Filescrosoft Officeverte

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

 

 

 

 

COURS

 

 

 

 

Savoir calculer  le Plus Petit Commun Multiple de deux nombres.(a et b )

 

Utilisation du PPCM:

                  Le PPCM sera utilisé  dans le calcul avec des fractions  pour chercher le plus petit   dénominateur commun de deux fractions.

Et Voir  aussi : le partage optimal

Remarque:

Le PPCM  ne peut jamais être inférieur au plus grand nombre , il peut être tout au moins égal au plus grand .

(Exemple : le PPCM de 12 et 42 est ( au moins ) supérieur à 42 ; le PPCM de  3 et 12  est 12 )

  

 

 

 

 

 

 

A )  Multiple d’un nombre:

 

revoir ce qu’est « un multiple d’un nombre »  (définition) Objectif « Caractères de divisibilité »

 

 

Exemple:

                         rechercher les premiers  multiples de 24 et 36

Procédure: pour calculer le multiple d’un nombre (entier)  il suffit de multiplier le nombre donné par un nombre entier.(en commençant  par 1 ;2 ; 3 ..........)

    

      Les  premiers multiples  de 24  sont :  24 ; 48 ;  72 ;  96 ; 120 ; ........ ;864 ;.....

      Les  premiers  multiples de 36 sont  36 ; 72 ; 108 ;144 ......    ;864 ;........ 

 

Remarque : nous obtenons des  multiples   de même valeur ( 72 ; 864)

 

 

B  )  Multiple commun de deux nombres :

 

                   Remarque  :  Pour  obtenir  un des  multiples communs de deux nombres ,  il suffit simplement  de faire le produit de ces  deux nombres.

  exemple :    le multiple commun à  24 et 36 est  24 36 =  864  ,

 

 

        La question que l’on peut se poser est : existe-t-il un Plus Petit Commun Multiple à ces deux nombres ?

      

 

Procédure permettant de trouver ,par le calcul le PPCM:

 

Méthode « longue » :

         pour obtenir  le plus petit multiple commun il suffit de :  multiplier chaque nombre donné  par les nombres entiers  ( 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ;.........et...ainsi de suite).

 

                On cesse de calculer  lorsque l’on rencontre un même multiple  dans les deux séries de calcul.

 

.ainsi dans l’exemple  de 24 et 36    (bas de la page 2)

                                    on remarque que 24 x3 = 72     et   36   x  2 = 72;

                                     72 est le premier multiple commun rencontré,

                                     on conclut qu’il est le plus petit multiple commun

 

Cette méthode est  intéressante ,  mais longue  ,aussi ce qui suit  permet d’aller plus vite:

 

Leçon : savoir Calculer le plus petit commun multiple de deux nombres

 

PROCEDURES :

On décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers :

Ensuite on choisit  l ‘ une des  méthodes :

  

Première méthode :    

 

    «  on indicie les facteurs premiers » .

 

1°) Après voir décomposer les deux nombres ,on affecte un indice a chaque facteur:

                   24  = 21 x 22 x 23 x 31

                   36 =  21 x 22 x  31 x  32

 

2°) On recense tous les facteurs premiers ayant un indice différent, commun ou pas, entrant dans les deux décompositions

        dans l’exemple  nous avons comme 5 facteurs portant un indice  différent 2;22 ;2;3;32

 

3°) On fait le produit de tous ces facteurs :    21 x 22 x 23  x31 x 32  =  72

 

4°) On conclut :

                 Résultat:  Le PPCM est (24 et 36 ) est 72


 

Deuxième méthode :

 

 

« on écrit les facteurs  sous forme de puissances ».

 

1° ) Après avoir décomposé les nombres en produit de facteurs premiers , les écrire sous forme de puissance:

                  24 = 23 x31

                  36 =22 x32

2°) On récence tous les facteurs premiers  différents entrant dans les décompositions :

                                lci :2 et 3

 

)On affecte à chaque facteur premier différent l’exposant le plus élevé

 Dans l’exemple à 2 on affecte l’exposant 2  3 on affecte l’exposant 2

 

4°) On fait le produit de ces facteurs affectés de leur plus grand exposant :

      dans l’exemple  23 x32

5°) On conclut l’exercice

                 Résultat :Le PPCM de 24 et 36 est  72

 

 

BILAN : LES DEUX PROCEDURES PERMETTENT D’ARRIVER AU MEME RESULTAT

 

 

Autres exemples

            

a )   Le PPCM de 10 et 12 est :    60

b )   Le PPCM  de 12 et 24 est   24

c  )  Le PPCM de  120 et de 252 est  2520

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS :

 

 

PREPARATION DU 

 

CONTROLE

 

1 ° ) citer  une des utilisations du PPCM

 

2 ° ) Qu ‘est ce qu ‘un multiple d’un nombre ?

 

3  ° ) Deux méthode sont proposées pour rechercher  le produit de facteurs communs pour calculer  le PPCM de deux nombres ; qu ‘est ce qui les caractérise ?

 

 

4 ° ) Donner la procédure permettant de calculer le PPCM de deux (ou plus) nombres. (choisir une des deux méthodes proposées ci dessus )

 

 

 

 

 

 

EVALUATION

Calculer un multiple commun des  couples de nombres suivants :

10 et 12   ; 

 

Calculer le « PPCM » :

Le PPCM de 10 et 12

 

 

 

Le PPCM  de 12 et 24

 

 

 

Le PPCM de  120 et de 252

 

 

 

De   180 et 152

 

 

 

De  2916 et 3402

 

 

 

Calculer le PPCM des trois nombres : 15 ; 18 ; 25 

 

 

 

De idem  132 ; 198 et 297

 

 

 

 

 

 

 

 

Vous pouvez vérifier en faisant les exercices précédents.

 

INTERDISCIPLINARITE:

 

 

Calculer le  PPCM de   :

X et X2

 

 

3X2 et X3

 

 

YX  et 3X

 

 

Y2X3  et Y3 et X3