Pré requis:                                                                      

Arithmétique

Le premier degré . ( exercices types et problèmes résolus)

Le premier degré (suite) les mises en équations ( avec  systèmes)

Calcul numérique

Formation niveau V : le premier degré

ENVIRONNEMENT du dossier:

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DOSSIER : LES PROBLEMES DU PREMIER DEGRE

Série 1 :

Choisir un domaine d’application ! ! !

 

Sport  ( piste d'athlétisme)   +  ( un problème d’arithmétique :dossier 145)

Arithmétique et vie usuelle

Economie

Les a%

Géométrie

Physique 

Chimie

Série 2 Différentes  applications .

 

 

Problème de niveau I  « des tours de piste »:  Calculs numériques 

Une piste d'athlétisme  possède 4 couloirs , un couloir par coureur.

Dans le dessin ci- dessus les couloirs ne sont pas dessinés ,les lignes représentent le milieu  ( l'axe) de chaque couloir.

"x" = 60 m  ; "y" = 100 m

1°) Calculer   la longueur du tour de piste 1.

2°) Calculer la longueur du tour de piste 2.

3°) Calculer la longueur du tour de piste 3.

 

 

4°) Si l'on veut  que le coureur  "B" ligne 2  , parcourt  la même distance que le coureur "A" ligne 1 , il faut un "décalage" entre les coureurs "A" et "B" (voir figure)

Calculer ce décalage .

5°) Montrer que le décalage entre les coureurs  A et B et le même qu'entre les coureurs "B" et "C" . 

 

Sport :

Algèbre .

Problème de niveau II :  « Les tours de piste »

Une piste d'athlétisme  possède 4 couloirs , un couloir par coureur.

Dans le dessin ci- dessus les couloirs ne sont pas dessinés ,les lignes représentent le milieu  ( l'axe) de chaque couloir.

1°) Exprimer en fonction de "x" et "y"  la longueur du tour de piste 1.

2°) Exprimer en fonction de "x" et "y"  la longueur du tour de piste 2.

3°) Exprimer en fonction de "x" et "y"  la longueur du tour de piste 3.

 

 

4°) Si l'on veut  que le coureur  "B" ligne 2  , parcourt  la même distance que le coureur "A" ligne 1 , il faut un "décalage" entre les coureurs "A" et "B" (voir figure)

Calculer ce décalage .  Dépend- il de "x" ? ; de "y" ?

5°) Montrer que le décalage entre les coureurs  A et B et le même qu'entre les coureurs "B" et "C" .

Série 1 :

Arithmétique et vie usuelle :

 

1°) Calculer deux nombres sachant que leur somme est 37 et que leur différence est 13 .Généraliser.

Résolution :

1°) choix de la ou des inconnues : « x » le premier nombre  et « y » le deuxième nombre.

2°)mise en équation :

a)  x + y = 37 

 b) x – y = 13

3°)résolution des équations :

première proposition de résolution :

de « l’équation « b » x = 13 +y on remplace dans « l’équation a »

x + y = 37   d’où  (13 + y) + y = 37

2y = 37 - 13 ; donc « y » = 12

on en déduit : x + 12 = 37 ; donc x =37 –12 ; x = 25

deuxième proposition de résolution :

on additionne les deux égalités pour faire disparaître « y »

donc  x + y + x – y = 37 + 13

       2x = 50

    x = 25

on remplace « x » dans une des équations : 25 + y = 37

donc y = 37 – 25 ;  y = 12

4°)discussion du problème :

le premier nombre vaut  « 25 » et le second nombre = 12

vérification : 25 + 12 = 37   et 25 – 12 = 13

 

 

2       °) La somme de deux nombres est 100 et en retranchant 1/6 du plus grand pour l’ajouter au  plus petit , ils sont égaux. Quels sont ces deux nombres ?

 

Résolution :

1°) choix de la ou des inconnues

2°)mise en équation

3°)résolution des équations

4°)discussion du problème

 

 

 

3°)Quel est le nombre dont les 13 /20 surpassent de ¼ de 7 entiers ½ ?

 

 

 

4°)Trouver deux nombres  dont la somme  soit 19 et le produit 60 .(on calculera l a différence de ces nombres en utilisant l’identité remarquable :

 ( x + y )² – ( x - y )² = 4xy

 

 

 

5°)Trouver deux nombres dont la différence soit 4 1/9 et le quotient 3/7   .

 

 

6°)Un marchande  d’œufs se rendant au marché vend à un passant les 3/8 de ses œufs , à l’entrée de la ville , elle vent encore les 2/5 des œufs  qui lui restent , et elle arrive  au marché avec 360 œufs .Combien en avait-elle en partant ?

 

 

7°)Partagez une somme de 252 euros  entre trois personnes  de telle sorte que la seconde  ait les ¾ de la première et que la part de la troisième soit égale  à la demi –somme  des parts des deux autres .

 

 

8°)Une pompe destinée à élever l’eau pour le service d’une usine  met 10h 5/11  pour remplir le réservoir si elle fonctionne bien .Par suite d’un accident , le rendement est diminué de 1/3 lorsque la bassin est plein au ¼. Combien mettra-elle  ce jour là pour le remplir ?

 

 

 9°) Compagnies d’ouvriers sont telles que la première aidée de la moitié de chacune des deux autres , exécuterait un certain travail en 27 jours ; la deuxième , plus la moitié des deux autres  , en 23 jours ; la troisième plus la moitié des eux autres  en 19 jours.

 

Combien ces trois compagnies  d’ouvriers travaillant ensemble mettraient-elles de jours pour faire le travail ?

 

 

10°) Un bassin est alimenté par 3 robinets , si l’on ouvre les deux premiers , il se remplit en 3 heures , si l’on ouvre le premier et le troisième ; il se remplit en 1heure 40minute , sachant que la capacité du bassin est de 135 m3  .

 

 

11°) Il a été fabriqué en France , pendant l’année 1900 2 185 858 pièces d’or de 10 euros  et de 20 euros , pour une valeur totale de 

28    012 830 euros  .Combien a-t-on fabriqué de pièces de 10  euros et de pièces de 20 euros.

 

 

 

12°) Une montre avance de 10 mn en 24 heures , on l’ a mise à l’heure à midi ; quelle heure est-il lorsqu’elle marque 6 heures.

 

 

13°) Trois frères désirent acheter une maison valant 700 000 euros. Aucun d’eux n’a assez d’argent ; si l’ aîné  donnait au second 1/3 de ce qu’il possède , ou au troisième ¼ de ce qu’il possède ,chacun des deux aurait une somme suffisante pour acheter la maison . Mais l’aîné emprunte au troisième la moitié de sa fortune et achète la maison. Combien possédait chaque frère ?

 

 

 

 

Economie :

 

Une somme est déposée chez un banquier où elle porte intérêt à 3 % l’an. On la retire au bout de 255 jours et l’on touche 2 859,50 euros pour le capital et les intérêts. Quelle somme avait-on placée ?

 

Trouver le montant du capital tel que si on  en place le 1/6 à 3% , la moitié à 5 % et le reste à 6 % on obtienne au bout de 4 mois 1000 euros  d’intérêt .

 

 

ométrie :

 

1°) trouver les dimensions d’un rectangle sachant que si l’on augmente la longueur de 8 m et la largeur  de 5 m la surface augmente de 180 m2 ; tandis que si l’on augmente la longueur  de 3 m et que l’on diminue la largeur de 4 m la surface  diminue de 30m2  .

 

 

2°) Une roue de vélo a 4 mètre de circonférence ; on la photographie pendant la marche, la durée de la pose étant 1 /30 de seconde , et l’on constate sur le cliché que , pendant la durée de la pose , chaque rayon de la roue à tourné de la moitié de l’angle que font entre eux deux rayons consécutifs ; sachant que la roue à 12 rayons équidistants , on demande quelle était la vitesse du cycliste  ? 

 

 

)On note "R" le rayon moyen de la couronne circulaire ci contre .

a) exprimer en fonction de "R" et "x" les rayons  extérieurs et intérieur  de la couronne .

b) En déduire que l'aire de la couronne est égale à  2 p R x

 

 

 

 

Physique :

 

On sait qu’en graduant un thermomètre centigrade on marque 0° dans la glace fondante et 100° dans la vapeur d’eau bouillante ; avec le thermomètre Fahrenheit , on marque 32° et 212° à ces mêmes points fixes .Deux thermomètres, un centigrade et un Fahrenheit peuvent-ils indiquer le même degré de température dans un même bain ? Quelle est cette température ?

 

 

 

 

Un bateau fait en 10 heures  110 milles en suivant le courant et 70 milles en le remontant .Lors d’un autre voyage , il fait dans le même temps 88 milles en suivant le courant et 84 milles en le remontant . Combien de milles ce bateau peut-il faire à l’heure dans une eau calme (vitesse propre du bateau) et quelle est la vitesse du courant ?

 

 

 

 

D’un train  qui marche à une vitesse de 40 km .h-1 un voyageur voit passer en 3 seconde un train expresse marchant en sens inverse et ayant 75 m de long, calculer la vitesse à l’heure de ce train express.

 

 

 

Une personne disposant de 4 heures pour faire une promenade , part dans une voiture qui fait du 50 km. h-1   .A quelle distance du point de départ doit-il quitter la voiture pour être de retour à l’heure fixée , s’il veut revenir à pied en faisant du 5 km. h-1 ?

 

 

 

Un coureur à pied par avec une vitesse de 11 km à l’heure .Un cycliste par à sa poursuite qui fait 297 mètres par minute et qui rejoint au bout de 2heures 27 minutes. Combien de temps s ‘est-il écoulé entre le départ de la voiture et le départ du cycliste ?

 

 

 

Deux véhicules vont dans la même direction il vont parcourir le même trajet soit une distance de 15 km ; le premier véhicule plus lent part avant .Au bout de 4 minutes le suivant décide de rattraper son copain ; le premier véhicule roule à une vitesse moyenne de 105 km à l’heure , le second prend des risques pour le rattraper et roule à une vitesse moyenne de 140 km par heure.

Questions:

Quel temps on mis les deux véhicules pour parcourir les 15 km ?

au bout de combien de temps le second aura rattrapé le premier véhicule ? quel temps s’est-il écoulé ? à  quelle distance du but se rencontrerons –t-ils ?

 

 

 

Chimie :

 

On veut prépare 50 litre d’oxygène  , quel masse de chlorate de potassium devra-t-on décomposer par la chaleur ?

 

Masse atomique du Cl 35,5

Masse atomique de l’O  16

Masse  atomique du K 39

Masse du litre d’oxygène 1,43 grammes

 

 

Quel volume d’hydrogène préparerait-on en attaquant 200 grammes de zinc par l’acide chlorhydrique ?  CL = 35,5   ; H = 1 ; Zn = 65

 

 

 

 

 

 

Problèmes  "Série 2":

 

N°1: :   Un rectangle a les caractéristiques suivantes :

Son périmètre  mesure   80 m ; sa longueur est le triple de sa largeur .

Calculer  sa longueur et sa largeur .

 

N°2 : Trouver 3 nombres entiers pairs consécutifs dont la somme est égale à 36 . Donner la valeur du premier nombre.

 

N°3 : Une ouvrier met 15 minutes pour usiner  une pièce , pour aménager et préparer le poste de travail il faut prévoir 3h 45 mn. Combien de pièces peut-il usiner  sur une semaine de 35 heures ?

Prendre "x" le nombre de pièces.

 

 

 

 

N°4 : trouver trois nombres entiers consécutifs dont la somme est 1884 .( prendre pour inconnue , le plus petit nombre.

 

N°5 : Trouver  3  nombres  multiples de 3 consécutifs  dont la somme est   27

Prendre pour inconnue le plus petit nombre .

6 + 9 + 12

 

 

N°6 : Trouver 5 nombres entiers impairs consécutifs dont la somme est  75.

 

Info : prendre pour  inconnue le nombre médian ( celui qui se trouve au milieu )

 

Résultat  : 11 ; 13 ; 15 ;  17  ; 19

 

N°7 :Trouver 13  nombres consécutifs dont la somme est 2457 .

Info : prendre pour  inconnue le nombre médian ( celui qui se trouve au milieu )

N°8  Quel nombre faut-il multiplier 34 pour obtenir  25 ?

 

Interdisciplinarité :

 

N°1   Le réservoir d'une voiture est au  deux cinquièmes  rempli . Il faut ajouter 38 litres  de carburant pour le remplir entièrement . Quelle est la contenance de ce réservoir ?

N°2   Le réservoir  d'un voiture est vide aux deux tiers . On ajoute  30  litres de carburant pour le remplir   aux trois quarts . Quelle est la contenance du réservoir ?

 

N°3 la largeur d'un rectangle  est le tiers de sa longueur et le périmètre mesure 48 m . Calculer les dimensions de ce rectangle . ( 6 et 18 m)

 

N°4 La longueur d'un rectangle surpasse de   10 m sa largeur . Le périmètre est de 120 m .Calculer les dimensions de ce rectangle . ( 25 et 35 m)

 

N°5 Le 1er janvier 1997 la population  de la France  a été estimée à 58 494 000 habitants  se répartissent  en 30 017 000 femmes et 28 477 000 hommes.

Quel pourcentage de la population les femmes et les hommes représentent - ils ?

 

N°6  Augmenter un nombre de x % , c'est multiplier ce nombre par  ( 1 + ) ou ( 1 + 0,01x )

 

Pour calculer  le pourcentage  d'augmentation du prix d'un objet qui passe de  34 à 39,5 € , on écrit : 39,5 = 34 ( 1 + 0,01 x)

Ecrire cette équation sous la forme ax + b = c  , puis la résoudre ( arrondir à 0,01 près  , ou à 2 décimales).

Enoncer le résultat sous forme  d'une phrase .

 

N°7 Calculer le pourcentage d'augmentation de la population d'un village qui passe de 3764 habitants à 3978 .

 

 N°8 un centre de formation organise un voyage .Le transporteur propose un prix global correspondant à  160 €  par personne . Si le nombre de personnes augmente de 5 , on passe pour le même prix  global , à 120 € par personne.

Combien de personnes participent au voyage ?

 

N° 9  La durée de fabrication d'une pièce est de 6,50 mn.

Au cours d'une journée de 8 h , combien peut-on fabriquer de pièces sachant qu'il faut compter 1 h 30 mn pour le réglage la machine et l'affûtage de l'outil et l'approvisionnement .

 

N° 10

ABC est un triangle équilatéral de côté  6 cm On place sur le côté  [BC] le point M tel que BM = d.

1°) calculer la hauteur du triangle ABC , puis l'aire du triangle .

2) où doit -on placer le point M pour que l'aire du triangle AMC soit égal à 10?

 


N°11 .

On veut découper dans une plaque carrée de 0 cm de côté un octogone régulier de côté "x".

a)     Sachant que chaque triangle hachuré est un triangle rectangle isocèle , déterminé la mesure de chacun de leurs angles aigus .

b)    Calculer la longueur  AB en fonction de "x" , puis la longueur "x".

 

N°12

Dans une pièce rectangulaire de 2 m de longueur et de 1 m de large , on effectue une découpe de forme rectangulaire comme l'indique la figure ci -dessous.

Donner l'expression de l'aire de la partie restante en fonction de "x".

Calculer "x" pour que l'aire de la partie restante  soit 1,25 .

 

N°13

On considère un trapèze ABCD.

Vérifier que l'aire du trapèze peut s'écrire :A = 8,5 x

Calculer "x" pour que l'aire du trapèze soit égale à 172,2 cm² ( arrondie à deux décimales)

 

 

 

 

N° 14

Un triangle a les dimensions ( en m) indiquées sur la figure .

Exprimer le périmètre du triangle en fonction de "x".

Calculer "x" pour que le périmètre  soit égal à 30 m . En déduire les dimensions du triangle .

 

N°15

Montrer que l'expression de l'aire du trapèze rectangle en fonction de "x" est :

 A = 4 x + 60

Calculer "x" pour que l'aire du trapèze rectangle soit égale à 200 cm² . Pour cela , résoudre l'équation : 4x + 60 = 200

 

 

 

 

 

 

 

 

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