Pré requis:

Le cercle

Sphère metallique

Disque

 

Le cercle et disque

3D Diamond

Circonférence

3D Diamond

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

 

Index : warmaths         

Objectif précédent :

Aire du disque ( primaire)

Objectif suivant :

Liste des cours sur  les calculs d’aires Sphère metallique

2°) exemples  de calculs

3°) Travaux sur les calculs d’aires

1.     :Aires (présentation)  généralités   

2.     Aire : progression

 

DOSSIER :  

 

1.     Aire du disque ,

 

 

2.    Aire d’une couronne 

 

 

3.    Aire d’un secteur circulaire

 

 

TEST

           FilesOfficeverte

COURS

                FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité :

)Situations problèmes

2°) Sciences    Filescrosoft Officeverte

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

 

 

 

3°) Travaux dossiers.

 

 

 

 

 

 

 

>>>Fiche de calculs

 

 

 

 

 

 

 

 

 

COURS

 

 

 

Par définition : Un disque est constitué par l’ensemble des points de  la circonférence du cercle  et de sa région intérieur.

 

 

 

AIRE du disque :

 

 

 

Le disque est la surface colorée.     Cette surface est  appelée « aire » ;  noté :  Ad

 

 

 

 

 

 

disc

 

 

La mesure de cette surface se ferait après quadrillage (en mm , ou cm ,ou ...) il suffit de compter le nombre de « carrés » ;

         on obtient, aussi ,la valeur de cette Aire en utilisant la relation :    p =   

 

 

Formule à retenir pour les cas courants:

 

L’Aire du disque est égale au produit de « pi » par le « carré du rayon ».

 

( on prendra :  pi = 3,14 )

 

 

 

 

 

Modèle mathématique :

 

 

Ad = 3,14 R2

 

 

On peut aussi dire :

 

L’aire du disque est égale au produit de la longueur de la circonférence par le rayon divisé par « 2 »

 

A = 2p r =p r2

 

 

disc

 

 

Application : 

Exemple : Trouver l’aire d’un disque de 3m de rayon.

 

 

Réponse : A = 323,1416 =28 ,2744 m2

 

 

 

 

Aire de la couronne :   (Info plus ++++)

 

 

 

On appelle « couronne circulaire » la surface comprise entre deux circonférences concentriques.

 

On obtient l’aire de la couronne en retranchant l’aire du petit disque à celle du grand disque.

 

A = p R2 - p r2     ( on factorise par « pi » )

 

 

Ce qui revient à multiplier par « pi » la différence des carrés des rayons.

 

 

A = p ( R2 - r2 )

 

 

 

 

Application :

 

 Trouver l’aire de la couronne , sachant que les rayons des cercles ont 8 cm et 6 cm

Solution 1 :

Aire du grand disque = 82 3,1416  = 64 3,1416  = 201,0624 cm2

Aire du petit  disque = 62 3,1416  = 36 3,1416  =113,0976  cm2

Aire de la couronne = 201,0624 cm2  -   113,0976  cm2   = 87,9648  cm2

Nota : en appliquant le deuxième formule , on arrive plus facilement au résultat :

A = p ( R2 - r2 )  A = p ( 82 - 62 )   =p ( 64 - 36 )  =28 3,1416= 87,9648  cm2
Exercices types sur le calcul d’aire :

 

1 )   Calculer l ‘ aire  du disque de   10 cm de rayon.

  Corrigé :

      a )inventaire de ce que je connais : Ad = 3,14 R2        et     R =10 cm

 

b)  On remplace  dans Ad  la valeur de R : Ad = 3,14 102

c)  Calcul : 3,1410 10 =     314 ; (10cm10 cm  donne 100 cm2)

 

 

      d) Conclusion :   l ‘ aire du  disque est de 314 cm2

 

 

2 )Calculer l ‘ aire du disque de 10cm de diamètre.

Corrigé :

      a )inventaire de ce que je connais : Ad = 3,14 R2     et    D =10  et  D = 2 R

  à ce niveau deux sont possibles :

          je cherche la valeur du rayon et j’applique cette valeur dans la « formule » ou je garde la valeur du diamètre j’applique la « formule »

 Ad = 3,14 ( D2 / 4)    .Les deux démarches conduisent au même résultat.

 

b)  Je  calcule R :       R  = 10 :2     ;   R= 5 cm

c)   On remplace  dans Ad = 3,14 R2   ;    

                                     Ad = 3,14 52

 

      d) Calcul : 3,145 5 =   78,5      ;  (  voir puissance 2  , N°68 :  cm 1 cm1 = cm2)

 

      e) Conclusion :   l ‘ aire du disque est de 78,5 cm2

 

 

 

 

Activité :

 

Calculer l’aire de la couronne ci-contre.

 

 

 

 

 

AIRE D’UN  SECTEUR CIRCULAIRE .

 

 

 

On obtient l’aire d’un secteur circulaire  en multipliant l’aire du disque  par le nombre de degrés de l’arc et en divisant le produit par 360

 

 

 

 

 

Le secteur circulaire :

 

 

On appelle « secteur circulaire » l’aire comprise entre un arc et les deux rayons ( OB et OA )  qui aboutissent à ses extrémités.

 

Aire : on obtient l’aire d’un secteur circulaire en multipliant l’aire du disque par le nombre de degrés de l’angle du secteur et en divisant par 360.

 

 

 

 

A = p r2

 

 

 

 

 

Info sur : SOS ARC et angle

arc

 

 

Application Trouver l’aire d’un secteur circulaire dont le rayon du cercle a 5 m et dont l’angle du secteur égale 45°.

 

1° aire du disque = 52 3,1416 = 78,54 m2

2° aire du secteur :  78,54 =  78,54 = 9,8175 m2

 

 

 

 

 

 

Segment circulaire :        Info plus ++++

 

 

 

On appelle segment circulaire l’espace compris entre un arc et la corde qui la sous tend

 

 

 

Le secteur circulaire peut être ( très souvent le cas ) exprimé en degré ; ou en grade : (info ++)

 

 

 

  Calcul de l’aire d’un  secteur  circulaire  dont l’angle est exprimé en degrés :

 

 

Formule :  A  = °

 

 

 

On divise l’aire du disque en 360 parties égales ; pour multiplier par le nombre degrés  ( ) de l’angle au centre de l’arc.

 

 

 

c4

 

 

Exemple : Si l’angle alpha(  )vaut 30 °   et   le rayon ( OA ou OB ) 35 mm :

 

On sait que A = ° ;

 

soit : A = ° =  641,08333

 

l’aire du secteur circulaire est de   641 mm2

 

 

 

INFO Plus ++++

 

 

 

 

En statistique une des représentations graphiques des pourcentages est le « diagramme circulaire » .  La circonférence est divisée en 100 parties égales ;

 

 

Relation entre % et valeur en degré :

 

360° représente 100%   ;  soit  ;       Le 1% représente 3,6° d’angle

 

 

Relation entre % et valeur en grade :    400 gr. représente 100%   ;  soit  ;

 

Le 1% représente 4 grades d’angle  .

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

Travaux auto – formatifs.

 

 

 

CONTROLE :

 

1 ) A quoi est égale l’ aire du disque  ?

 

2 ) Donner la formule permettant de calculer l’aire d’un disque (compléter avec un dessin coté )

 

 

 

 

EVALUATION

 

 

 

1°)  Donner les formules ; remplacer les lettres par les valeurs données , faire les calculs .

Compléter le tableau  suivant :

 

Cercle et disque

1

( niv. 5e)

2

3

4

Rayon « R »

11 m

 

 

 

Diamètre « D »

 

63 cm

 

 

Périmètre « P »

 

 

32,342 dm

 

Aire « A »

 

 

 

124,6266 m2

 

 

2°) La surface du  quart d’un disque mesure 3,5 cm2 .Calculer le diamètre du disque .

 

 

 

)Calculer l’aire du segment hachuré.

S43

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

INTERDISCIPLINARITE

 

 

 

 

 

La couronne . ( INFO plus en algèbre )

 

 

On note "R" le rayon moyen de la couronne circulaire ci contre .

1°) exprimer en fonction de "R" et "x" les rayons  extérieurs et intérieur  de la couronne .

2°) En déduire que l'aire de la couronne est égale à  2 p R x

couron

 

 

Autres travaux : CALCULER LES AIRES  SUIVANTES. ( avec l’aide des carreaux)

 

 

 

A36

 

 

figure 1 =

 

 

Figure 2 =

 

Figure 3 = 

 

 

 

 

 

A44 :  Aire = 

 

 

 

 

 

A52

 

 

A56

 

 

A57

 

 

 

 

 

 

 

 

II )   DETERMINATION DE L’AIRE par CALCULS :

A1

 

 

 

 

 

 

Dessins a exploiter

 

 

A20

A19

 

A33

A34

 

 

A35

 

 

 

A40

 

 

 

 

A41

 

 

A42

 

 

A43


 

 

 

 

 

A46

 

Calculer l’aire du triangle , l’aire du disque inscrit , l’aire de la surface colorée.

A47

 

Un carré mesure 5 cm

A58

Calculer l’aire du carré , l’aire du disque inscrit , l’aire de la surface colorée.

 

Evaluer l’aire en carré .

A62

 

Série 3 :

1°) quelle est l’aire en mm² , puis en cm² ,d’un CD de 6 cm de rayon ?

 

2°) Quelle l’aire d’une piste de cirque de 11 m de diamètre ? donner le résultat en m² , arrondir au m² par excès ?

 

3°) Un bassin circulaire a une aire de  18 m² . quelle est  la mesure de son rayon , en m ? ( à 0,01 par excès)

 

Série 4 :

 

4°) Quelle est en mm la mesure du diamètre d’un disque dont l’aire est égale à 19 ,625 cm² ?

 

5°) Quelle est l’aire en m² du rond central d’un terrain de football  sachant que le diamètre mesure 18,3 m ? ( arrondir au m² par excès )

 

6°) Quelle est l’aire de verre nécessaire à la réalisation d’une table circulaire de 650 mm de rayon. ?  (Arrondir à 0,1 m² prés )

 

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