1.     Aire du disque ,

2.    Aire d’une couronne 

3.    Aire d’un secteur circulaire

COURS

Par définition : Un disque est constitué par l’ensemble des points de  la circonférence du cercle  et de sa région intérieur.

AIRE du disque :

Le disque est la surface colorée.     Cette surface est  appelée « aire » ;  noté :  A_d

La mesure de cette surface se ferait après quadrillage (en mm , ou cm ,ou ...) il suffit de compter le nombre de « carrés » ;

         on obtient, aussi ,la valeur de cette Aire en utilisant la relation :    p =   

Formule à retenir pour les cas courants:

L’Aire du disque est égale au produit de « pi » par le « carré du rayon ».

( on prendra :  pi = 3,14 )

Modèle mathématique :

A_d = 3,14 R²

On peut aussi dire :

L’aire du disque est égale au produit de la longueur de la circonférence par le rayon divisé par « 2 »

A = 2p r =p r²

Application : 

Exemple : Trouver l’aire d’un disque de 3m de rayon.

Réponse : A = 3²3,1416 =28 ,2744 m²

Aire de la couronne :   (Info plus ++++)

On appelle « couronne circulaire » la surface comprise entre deux circonférences concentriques.

On obtient l’aire de la couronne en retranchant l’aire du petit disque à celle du grand disque.

A = p R² - p r²     ( on factorise par « pi » )

Ce qui revient à multiplier par « pi » la différence des carrés des rayons.

A = p ( R² - r² )

Application :

 Trouver l’aire de la couronne , sachant que les rayons des cercles ont 8 cm et 6 cm

Solution 1 :

Aire du grand disque = 8² 3,1416  = 64 3,1416  = 201,0624 cm²

Aire du petit  disque = 6² 3,1416  = 36 3,1416  =113,0976  cm²

Aire de la couronne = 201,0624 cm²  -   113,0976  cm²   = 87,9648  cm²

Nota : en appliquant le deuxième formule , on arrive plus facilement au résultat :

A = p ( R² - r² )  A = p ( 8² - 6² )   =p ( 64 - 36 )  =28 3,1416= 87,9648  cm²
Exercices types sur le calcul d’aire :

1 )   Calculer l ‘ aire  du disque de   10 cm de rayon.

  Corrigé :

      a )inventaire de ce que je connais : A_d = 3,14 R²        et     R =10 cm

b)  On remplace  dans A_d  la valeur de R : A_d = 3,14 10²

c)  Calcul : 3,1410 10 =     314 ; (10cm10 cm  donne 100 cm²)

      d) Conclusion :   l ‘ aire du  disque est de 314 cm²

2 )Calculer l ‘ aire du disque de 10cm de diamètre.

Corrigé :

      a )inventaire de ce que je connais : A_d = 3,14 R²     et    D =10  et  D = 2 R

  à ce niveau deux sont possibles :

          je cherche la valeur du rayon et j’applique cette valeur dans la « formule » ou je garde la valeur du diamètre j’applique la « formule »

 A_d = 3,14 ( D² / 4)    .Les deux démarches conduisent au même résultat.

b)  Je  calcule R :       R  = 10 :2     ;   R= 5 cm

c)   On remplace  dans A_d = 3,14 R²   ;    

                                     A_d = 3,14 5²

      d) Calcul : 3,145 5 =   78,5      ;  (  voir puissance 2  , N°68 :  cm ¹ cm¹ = cm²)

      e) Conclusion :   l ‘ aire du disque est de 78,5 cm²

Activité :

Calculer l’aire de la couronne ci-contre.

AIRE D’UN  SECTEUR CIRCULAIRE .

On obtient l’aire d’un secteur circulaire  en multipliant l’aire du disque  par le nombre de degrés de l’arc et en divisant le produit par 360

Le secteur circulaire :

On appelle « secteur circulaire » l’aire comprise entre un arc et les deux rayons ( OB et OA )  qui aboutissent à ses extrémités.

Aire : on obtient l’aire d’un secteur circulaire en multipliant l’aire du disque par le nombre de degrés de l’angle du secteur et en divisant par 360.

A = p r²

Info sur : SOS ARC et angle

Application Trouver l’aire d’un secteur circulaire dont le rayon du cercle a 5 m et dont l’angle du secteur égale 45°.

1° aire du disque = 5² 3,1416 = 78,54 m²

2° aire du secteur :  78,54 =  78,54 = 9,8175 m²

Segment circulaire :        Info plus ++++

On appelle segment circulaire l’espace compris entre un arc et la corde qui la sous tend

Le secteur circulaire peut être ( très souvent le cas ) exprimé en degré ; ou en grade : (info ++)

  Calcul de l’aire d’un  secteur  circulaire  dont l’angle est exprimé en degrés :

Formule :  A  = °

On divise l’aire du disque en 360 parties égales ; pour multiplier par le nombre degrés  ( ) de l’angle au centre de l’arc.

Exemple : Si l’angle alpha(  )vaut 30 °   et   le rayon ( OA ou OB ) 35 mm :

On sait que A = ° ;

soit : A = ° =  641,08333

l’aire du secteur circulaire est de   641 mm²

INFO Plus ++++

En statistique une des représentations graphiques des pourcentages est le « diagramme circulaire » .  La circonférence est divisée en 100 parties égales ;

Relation entre % et valeur en degré :

360° représente 100%   ;  soit  ;       Le 1% représente 3,6° d’angle

Relation entre % et valeur en grade :    400 gr. représente 100%   ;  soit  ;

Le 1% représente 4 grades d’angle  .

Travaux auto – formatifs.

CONTROLE :

1 ) A quoi est égale l’ aire du disque  ?

2 ) Donner la formule permettant de calculer l’aire d’un disque (compléter avec un dessin coté )

EVALUATION

1°)  Donner les formules ; remplacer les lettres par les valeurs données , faire les calculs .

Compléter le tableau  suivant :

INTERDISCIPLINARITE

La couronne . ( INFO plus en algèbre )

Autres travaux : CALCULER LES AIRES  SUIVANTES. ( avec l’aide des carreaux)

figure 1 =

Figure 2 =

Figure 3 = 

 :  Aire = 

II )   DETERMINATION DE L’AIRE par CALCULS :