Pré requis:

 

1°) le premier degré : résolution d'équations types. Et Problèmes  résolus.

 

Résolution d’équations du premier degré à plusieurs termes.

ENVIRONNEMENT du dossier:

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Objectif précédent :

1°) comment traiter un problème . Sphère metallique

3°)  Résumé .

4°) Autre résumé : exemples.

Objectif suivant :

1°) autres problèmes 

2°) Problèmes d’application .impossible ; indéterminé, inacceptable .

 

)liste des cours

tableau    )Présentation des cours et travaux du premier degré

DOSSIER : Exemples de  PROBLEMES (Résolus) du premier degré

 

 

I ) Exemples de problèmes d’algèbre :

 

 

II ) Méthodologie.

 

 

III )  RESOLUTIONS  DE  PROBLEMES du Premier degré à une inconnue.

 

 

Cas  :  Le problème ne possède pas de nombres  , ceux ci sont remplacés par des lettres .

 

 

IV ) PROBLEMES du Premier degré à deux inconnues.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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  1. Interdisciplinarité

 

 

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  1.   Problèmes du premier degré ;                      Filescrosoft Officeverte

 

 

 

 

 

 

 

  1. Autres problèmes ..

 

 

 

 

 

 

 

 

COURS

 

 

Rappel : l’équation est une égalité qui renferme au moins une inconnue et qui ne peut être vérifiée que lorsque certaines valeurs numériques, qu’il s’agit de trouver, sont mises  à la  place des inconnues.

Les équations se désignent par le nombre de leurs  inconnues et par leur degré.

Si l’équation n’a qu’une inconnue, son degré est l’exposant le plus fort dont cette inconnue est affectée dans l’équation ;

Exemples :

2 x + 4 = x -3

Est une équation du premier degré ( à une inconnue)

2 x² + 4 = x - 3

Est une équation du deuxième degré ( à une inconnue)

 

 

Fin du rappel.

 

 

 

I )   3 Exemples de problèmes d’algèbre :

 

 

Problème N°1 :  ( premier degré à 1 inconnue)

Quel nombre entier faut-il ajouter à chacun des deux termes de la fraction : pour obtenir une fraction égale à  ?

Résolution :

Nous désignons « x » le nombre entier positif inconnu . Nous avons :

 = 

 

l’inconnue satisfait à cette équation.

 

Réciproquement , toute racine entière et positive de cette équation est une solution du problème.

 

Résolution :

Le dénominateur commun est 3 (7 + x )

Nous obtenons , en réduisant au même dénominateur :

 

 = 

 

nous pouvons supprimer les dénominateurs communs .(voir les égalités)

3 ( 4 +x ) = 2 ( 7 + x )

12 + 3x = 14 + 2 x

3x – 2x = 14 – 12

 x = 2

 

cette racine ( solution) est la solution du problème.

 

Vérification : à partir de  ;  =  =

 

 

 

Problème N° 2 : ( premier degré à 2 inconnues)

 

       21 livres sont empilés les uns sur les autres ; la hauteur de la pile atteint 81 cm . Certains de ces livres ont une épaisseur de 5cm ; les autres une épaisseur de 3cm . Trouver le nombre de livre de chaque sorte .

Résolution :

 Nous désignons par « x » le nombre de livres de 5 cm d’épaisseur ; par « y » le nombre de livres de 3 cm d’épaisseur.

Le nombre total de livres est de 21 . Donc  x + y = 21

Les livres de 5 cm d’épaisseur ont , en centimètres , une épaisseur totale 5x ; les livres de 3 cm d’épaisseur ont , en centimètres , une épaisseur totale 3y. La hauteur totale de la pile est de 81 cm . Donc :

5x +3y  = 81

 

         Les nombres «x »  et « y » satisfont donc au système formé par les équations :        x + y = 21     et    5x +3y  = 81

Réciproquement, toute solution de ce système est une solution du problème pourvu que « x » et « y » soient tous deux entiers et positifs .

Résolvons ce système :

 pourvu que « x » et « y » soient tous deux entiers et positifs .

Résolvons ce système :

              x + y = 21       ( on multiplie par -3)

 et       5x +3y  = 81

ce qui donne :

           -3x + -3y  = -63  

 et       5x   +  3y  = 81

on additionne  les deux membres ,terme à terme ,

(5x  + – 3x ) +  ( 3y + – 3 y )  =  81 + (- 63)

2x + 0 = 18

soit x = 9

de l’équation    x + y = 21   ; 9 + y = 21 ;  y = 12

 

Conclusion : il y a donc  9 livres de 5 cm et 12 livres de 3 cm , et 12 livres de 3 cm.

Vérification :   12 + 9 = 21  et   5cm fois 9  + 3 fois 12 = 81 cm

 

 

 

Problème N° 3 ( premier degré à 3  inconnues)

 

 

Les fortunes de trois personnes sont proportionnelles aux nombres  2 ; 3  et 5 . En additionnant  le triple de la première , le double de la seconde et la troisième , on trouve 51 000 euros  . Quelles sont ces fortunes ?

 

Résolution :

 

Désignons par « x » la fortune de la première , par « y » celle de la seconde  , par « z » celle de la troisième .

 

Les indications de l’énoncé se traduisent par le système suivant :

                      = =     et     3x + 2y + z = 51 000

 

désignons par « t » la valeur commune des rapports «   = =  » ;

 

            x = 2t ; y =3t ; z = 5t

portons ces valeurs dans l’équation  « 3x + 2y + z = 51 000 »  , il vient :

6t + 6 t + 5t = 51 000

soit 17 t = 51 000 ; donc t = 51000 : 17   ; x = 3000

la première fortune est 3000 €  fois 2 =   6 000 €

la seconde  fortune est 3000 € fois 3 =   9  000 €

la troisième fortune est 3000 € fois 5 = 15 000 €

la vérification est immédiate . :              51 000 €

  

 

 

 

II )  METHODOLOGIE :  

 

 

La résolution  d'un problème par l'algèbre ( on dit aussi : recherche d’une solution algébrique ) peut se décomposer en quatre parties:

 

1°) Choix de la ou des inconnues :

 

On doit choisir les inconnues de façon que leur détermination entraîne la solution du problème. Il ne pas craindre d’introduire plusieurs inconnues ou même une inconnue auxiliaire si cela facilite la mise en équation et la résolution.

 

2°) Mise en équation :

 

Elle consiste à traduire l’énoncé par une ou plusieurs égalités entre les données et les inconnues . Dans tous les cas il faut autant d’équations que d’inconnues. Il faut rechercher également les conditions pour que toute solution de l’équation ou du système obtenu soit solution du problème.

 

3°) Résolution des équations :

 

la résolution de l’équation ou du système obtenu c’est la partie purement algébrique du problème.

 

4°) Discussion du problème :

 

c’est vérifier si la racine (s)  ou solution (s) trouvée (s) satisfait aux conditions imposées ci-dessus .

commentaire:  nous avons vu la résolution de l'équation du premier degré , nous allons traiter successivement de

 

1°) choix de la ou des inconnues :  SOS ++++

)mise en équation: SOS +++

3°) les résolutions d’équations du premier degré à une ou deux inconnues.

                    -les résolutions d’équation du premier degré à une inconnue.

                    - les résolutions d’équation du premier degré à  deux inconnues.

                     - Résolution d'un système d'équations du premier degré à deux inconnues .

)discussion du problème: SOS ++++

 

 

 

 

 

III )  RESOLUTIONS  DE  PROBLEMES du Premier degré à une inconnue.

 

 

PROBLEMES du Premier degré à une inconnue.

 

 

Définition.

On dit qu'un problème est un problème du premier degré à une inconnue lorsque sa résolution se ramène à la résolution d'une équation du premier degré à une inconnue.  (Cette définition est moins précise qu'elle ne le paraît.)

 

 

Lorsque l'on donne  un problème, en effet, le nombre des inconnues qu'il faut introduire pour le résoudre dépend parfois en partie de la méthode que l'on suit.

 

 

 

Autres  problèmes résolus du premier degré à une inconnue.

 

1°) Un fermier porte au marché un certain nombre d'œufs , qu'il compte vendre 100 centimes pièce ; il en casse 6 , mais il trouve à vendre les autres  150 centimes pièce et rapporte ainsi chez lui 10 euros de plus qu'il ne comptait en partant. Combien avait-il d'œufs?

 

 

On désigne par "x" le nombre d'œufs qu'il avait au départ ; la somme que le fermier comptait rapporter chez lui sera désignée par 10x ,si nous choisissons le centime comme unité. L'énonce nous apprend qu'il vend    x - 6 œufs à 15 centimes , ce qui lui rapporte ( x - 6 ) 15 , et qu' il obtient ainsi 10 francs , c'est à dire 1000 centimes de plus qu'il ne comptait ; l'équation du problème est donc :

( x -6 ) 150 = 100 x+1000

on en conclut :que  50 x = 1900

x = 38

 

La réponse est donc : le fermier avait au départ 38 œufs. Il n'y a pas de discussion, cette solution convenant parfaitement à la question posée. Il est bon de vérifier le résultat ; s'il ne satisfait pas aux  conditions du problème , on devrait en conclure que l'on a fait quelque erreur et chercher à la découvrir.

On voit que 38 œufs à 100 centimes donnent 38 euros ; si l'on à 6œufs de moins , c'est à dire 32 , mais qu'on les vende 150 centimes on obtient 48 francs, c'est bien 10 euros de plus. Le résultat trouvé est donc exacte.

 

 

Pb N°2 :

Un marchand de vin désire obtenir 100 litres de vin lui revenant à 5 euros le litre en mélangeant du vin qui lui coûte   3,50  euros  le litre avec du vin qui lui coûte 9,50 euros le litre. Combien doit-il prendre de litres de vin de chaque espèce?

 

 

Résolution:

Désignons par "x"  le nombre de litres de vin à 3,50 euros , puisqu'il faut 100 litres en tout  ,le nombre de litres de vin  à 9,50 euros  est de 100-x .Le prix total de revient des "x" litres à 3,50 et de 100-x litres à 9,50 doit être égal au prix de 100 litres à 5 euros c'est à dire  à 500 euros.

On a donc l'équation:

3,50x + 9,50(100-x)=500

 

Aussi : on obtient :

 3,50x + 950-9,50x=500

 

3,50x -9,50x =   500- 950

 

-6 x =   -450

      x =   

x = 75

 

Il faut donc prendre 75 litres à 3,50 euros  et , par suite, 25 litres à 9,50 euros

Une vérification s'impose : ……!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

 

Pb N°3 : Un voleur s'est emparé d'une bicyclette et s'enfuit sur une route avec une vitesse de 20 km à l'heure ; on s'en aperçoit 3 minutes après son départ et un bicycliste s'élance à sa poursuite avec une vitesse de 22 km à l'heure .  Au bout de combien de temps le rattrapera-t-il ?  (les vitesses sont des vitesses moyennes)

 

Résolution:

Désignons par "x"  le temps cherché , exprimé en minutes ,et compté à partir du moment où le voleur est parti ; lorsque le bicycliste le rattrape , ils ont parcouru le même chemin , le premier ayant roulé pendant "x" minutes avec une vitesse de  20 à l'heure et le deuxième ayant roulé pendant x-3 minutes avec une vitesse de 22 à l'heure .Comme le chemin parcouru pendant une minute est 60 fois plus petit que le chemin parcouru pendant une heure , l' équation du problème sera :

 

ou ,   en multipliant les deux membres par 30

10x = 11(x-3)

d'où x = 33

 

Le voleur est rattrapé 33 minutes après sont départ .

A vérifier …!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

 

 

 

 

Pb N°4:

Un père a 40 ans et son fils en a 16 ; quand l'âge du père sera-t-il triple de celui du fils ?

 

Désignons par "x" le temps cherché , compté en années à partir de l'époque actuelle, et supposé positif dans l'avenir. A l' époque "x" , l'âge du père sera 40+x et l'âge du fils 16+x ; on doit donc avoir , d'après l'énoncé

40 +x = 3 ( 16+ x )

 

c'est à dire :    -2x = 8

x= -4

Discussion: Nous trouvons  comme solution un nombre négatif ; or nous avons désigné par "x" un temps compté positivement dans l'avenir ; nous devons en conclure que c'est il y a 4 ans que l'âge du père était triple de celui du fils. En effet , le père avait alors 36 ans et le fils 12.

 

(SUITE de problèmes)  traités en arithmétique :

 

1°)   Simon possède 220 billes  , réparties  dans 5 petits sacs. Si l’on ajoutait 7 billes au premier sac , 3 au deuxième et qu’on retranchât 3 billes  du quatrième et 9 du cinquième , les cinq sacs renfermeraient le même nombre de billes. Calculer le contenu de chaque sac .

 

 

Soit « x » le nombre de billes contenues en moyenne dans un sac de billes ;

(x+7) + ( x +3) + x + ( x- 6 )+ ( x-9 ) =  220

5x = 225 ; x = 225 : 5 ; x = 45

dans le premier sac il y a  45 + 7 = 52 billes

dans le deuxième sac il y a 45 +3 = 48 billes

dans le troisième il y a  45 billes

dans le quatrième sac il y a 45 – 6 = 39 billes

dans le cinquième sac il y a 45 – 9 = 36 billes

vérification : 52 + 48 + 45 + 39 + 36 = 220 billes

 

 

§

  Trois chasseurs conviennent de se partager également le gibier qu’ils tueront. A la fin de la journée , ils n’ont tué qu’un perdreau et un lièvre. Le premier prend le perdreau ; le second  prend le lièvre et donne 30 € . au premier et 150 € .  au troisième .De cette façon les parts sont égales. A quels prix ont été estimés le perdreau et le lièvre ?

 

 

Soit « x » le perdreau ; « x » + 30 = 150 ;le lièvre égal 150€ ou à un perdreau plus 30 €  soit  x + 30 = 150 ; d’où x =120

le perdreau vaut donc 120 € et le livre 150 euros

§

 

Partage en parties inégales : dont on connaît leur somme et leur différence.

= grand nombre

 

= petit nombre

 

 

 

3° ) On coupe un fil de fer de 45 m en 2 parties de manière que l’une ait 9 m de plus que l’autre. Trouver la longueur de chaque partie.

 

 

On nomme la première partie « x » ; et la deuxième partie x+9 ; leur somme est égale à  45 = x + x +9 ; soit 2x = 45 – 9 ; 2x = 36 ;

x = 18 m

 

§

 

4°) J’ai  17 objets dans mes deux  mains . Combien ai- je dans chaque main , s’il y en a 5 de plus dans la main gauche ? 

 

 

une main plus une main plus 5 = 17

deux mains +5 =17

deux mains = 17 – 5

deux mains = 12 ; une main =6 ;

conclusion dans  la main droite j’ai 6 objets ; dans la main gauche j’ai  6 + 5 = 11 objets

 

 

§

5°) Deux paniers contiennent 180 pommes , il y an a 20 de plus dans le premier. Quel est le contenu de chaque panier ?

 

 

Soit x le premier panier et (x +20 ) la contenance du deuxième panier la somme égale 180

je peux écrire : x +  x + 20 = 180

2x + 20 = 180

2x = 180 –20

2x= 160

x = 80

§

 

Partages en 2 parts inégales :

 

 

6°) Caroline partage 54 euros  entre Lucile et Claire , de manière que Lucile ait le double de Claire. Quelle est la somme d’argent que recevra chacune ?

 

 

Claire + Lucile =Claire + 2 fois Claire ; soit « x » = Claire

x + 2x = 54 ; donc 3x =54 ; donc x = 54 : 3 ; x =18

conclusion Claire aura 18 €  et Lucile 2 fois 18 €  soit 36 € 

 

§

7°) Alexandre fait deux tas avec ses 35 billes. Le second est 4 fois plus gros que le premier. Combien chaque tas compte-t-il de billes ?

 

 

un tas plus 4 fois ce tas = 35 ; soit 5 tas = 35 ; donc un tas compte 35 :5 = 7 billes ; le plus gros tas compte 4 fois 7 billes soit 28 billes.

Vérification :  7 + 7 fois 4 = 7 + 28   soit   = 35

§

 

8°) Dominique et Frédérique ont reçu pour étrennes une montre et une chaîne. Les 2 chaînes ont même valeur , mais la montre de Dominique vaut deux fois autant que celle de Frédérique. Trouver le prix de chaque objet , sachant que les étrennes de Dominique valent 2400 €.  et celles de Frédérique 1500 €.

Pb plus difficile ! ! !:

Soit « y » la  chaîne de Dominique et « 2x » la montre  ( = 2400 €)

Soit « x » la chaîne de Frédérique et « x » sa montre ( = 1500€)

Nous avons un système : y + 2x = 2400  et y + x  = 1500

Si l’on soustrait membre à membre :

(y + 2x) – ( y +x) = 2400 – 1500 : il reste :   x = 900 €

on en déduit que la montre de Frédérique vaut 900F , et que sa chaîne vaut 1500 – 900 = 600 €

la montre de Dominique vaut deux fois celle de Frédérique  soit 900 fois 2 ; soit 1800 €

 

 

Cas  :  Le problème ne possède pas de nombres  , ceux ci sont remplacés par des lettres :

 

Exemple: l'âge de Paul est représenté par "a" et l'âge de  Pierre par "b" ; dans combien d'années l'âge de Paul sera-t-il "m" fois plus grand que celui de  Pierre?

A faire ! ! ! ! !

 

 

 

 

 

Par exemple :   prenons le problème suivant

 

Claire  à 3 billes de plus que Lucile ;mais si Lucile avait deux fois plus de billes , elle  en aurait 5 de plus que Caroline, combien Lucile et Claire ont-il de billes chacune ?

 

Résolution:

 

1er cas :    On peut appeler "x" le nombre de billes de Lucile et "y" le nombre de billes de Claire , ce qui fait deux inconnues ;

 

on peut aussi remarquer que ,*

 

2ème cas :  si l'on appelle "x" le nombre de billes de Lucile , l'énoncé nous apprend que le nombre de billes de Claire est de x+3 , il est donc possible d'introduire qu'une seule inconnue.

 

 

dans le premier cas  , on est conduit au système : x+3 =y et 2x = y + 5

 

Dans le deuxième cas , on n'a qu'une équation à une inconnue:

2x = (x+3) +5

 

Il nous reste à résoudre:  2x = x +8

 

 

 

Nous pouvons trouver des analogies dans l'exemple suivant , mais pour le degré :

 

Soit le problème :

Trouver un nombre positif sachant que son carré augmenté de 9 est égal au double de son carré diminué de 7.

 

Résolution:

Si l'on désigne ce nombre par "x" , on a l'équation :

x2 + 9 = 2 x2 -7

qui est du second degré. Mais on peut prendre pour inconnue le carré du nombre cherché ; si l'on désigne ce carré par "y" , on a l' équation du premier degré:

y + 9  =  2y - 7

qui donne  y = 16 , le nombre cherché a donc 16 pour carré , il est égal à 4.

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO  FORMATIFS.

 

 

CONTROLE :

Citer les 4 parties de la résolution d’un problème d’algèbre :

 

EVALUATION

 

 

1°) Un fermier porte au marché un certain nombre d'œufs , qu'il compte vendre 100 centimes pièce ; il en casse 6 , mais il trouve à vendre les autres  150 centimes pièce et rapporte ainsi chez lui 10 euros  de plus qu'il ne comptait en partant. Combien avait-il d'œufs?

 

 

 

Pb N°2 :

Un marchand de vin désire obtenir 100 litres de vin lui revenant à 5 euros le litre en mélangeant du vin qui lui coûte   3,50 euros le litre avec du vin qui lui coûte 9,50 euros le litre. Combien doit-il prendre de litres de vin de chaque espèce?

 

 

Pb N°3 : Un voleur s'est emparé d'une bicyclette et s'enfuit sur une route avec une vitesse de 20 km à l'heure ; on s'en aperçoit 3 minutes après son départ et un bicycliste s'élance à sa poursuite avec une vitesse de 22 km à l'heure .Au bout de combien de temps le rattrapera-t-il ? (les vitesses sont des vitesses moyennes)

 

 

 

P b N°4:

Un père a 40 ans et son fils en a 16 ; quand l'âge du père sera-t-il triple de celui du fils ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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