Pré requis:

  1. Les équations du premier degré 

  1. Les identités remarquables

  1. résolution de problèmes du premier degré

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index   

Objectif précédent :

1°) Résoudre une équation incomplète ou complète du second degré.

2°) Equations du second degré. (exercices et problèmes)

Objectif suivant

 

.2°) Vers « formation niveau IV »

Retour vers la liste des cours sur le second degré « équations »

 

DOSSIER : le second degré  : Suite : Série 2 :   EXERCICES et PROBLEMES du second degré.

1°) Rappels :résolution algébrique .

 

2°) Résolution des problèmes du second degré.(définition et procédure)

 

3°) Problèmes résolus

 

 

TEST

 

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

 

 

 

I ) Rappel  .

 

 

Rappel : par définition une équation à une inconnue est dite du second degré, lorsque après avoir fait toutes les réductions possibles , elle renferme l’inconnue « au carré ».

Equation type : 5 x² - 75 = 0

Nous en déduisons successivement :  5 x² = 75 ;  x² = (75 / 5) ; x² = 25

 

Extrayons les racines carrées des deux membres de l’équation

 

                     soit    x = ± 5

 

 nous aurons deux solutions :  

 

En effet :     ( + 5 ) ² = + 25   et  (  - 5 ) ² = + 25

 

 

 

 

 

 

1°) Trouver deux nombres sachant que leur différence est 12 et la somme de leurs carrés 1530.

 

Résolution :

Choix de l’inconnue : soit « x » le plus petit  des deux nombres, l‘autre sera « x+12 »

 

Mise en équation :Leurs carrés sont « x² »  et  « x² + 24 x + 144 ».

 

On doit donc avoir : x²  +  x² + 24 x + 144  = 1530

 

Ou                                     2 x² + 24 x -  = 1530

 

 

II ) Equation incomplète :

 

 

 

III ) Problèmes simples  résolus

 

Série 1 :

a) Carré (@):

1)   S = c² ; S = aire, c = côté

Problème : calculer le côté d’un carré de 225 centimètres carrés d’aire.

c² = 225 , d’où c = ±  =  ± 15 centimètres ;

 c = 15 centimètres

la solution négative ne convient pas au problème.

 

2) Calculer le côté d’un carré qui soit le  d’un carré de 24 centimètres de côté. (au mm près)

 

 S = 24 ² = 576   , S’ =  (576 : 6)  = 96

 

    = S’ ; c² = 96   d’où  c =  ;  c "H  9 , 708 .cm  =   98 mm

 

 

Série 2

  Problème d’arithmétique :   Si du carré d’un nombre, on retire 24 unités , on obtient 120 unités. Calculer ce nombre.

 

Solution :

1°) Soit « x » le nombre demandé

2°) mise en équation :*

          x² - 24 = 120

3°)résolution de l’équation :

 

                                      =  120 + 24

                                       = 124

                                    x =       ou    x =  ± 12

 

4°) On voit qu’on obtient deux réponses : une positive te une négative.

 

c’est qu’en effet, le carré de  -12  est 144  , et le carré de  +12 est aussi 144.

 

Remarque : dans ce problème, les deux réponses s’admettent. D’autres problèmes n’admettent que la solution positive.

 

 

 

 

Problème 2 ( de géométrie) :

 

Un champ rectangulaire a pour surface 4 800 mètres carrés. Sachant que la longueur est le triple de sa largeur, on demande de calculer ses deux dimensions.

 

Solution :

On posera l’équation de la surface d’un rectangle. Soit « x » la largeur , on aura comme longueur « 3x » , et l’on écrira :

                                   3x × x = 4 800

                                    3 x²    =  4 800

   x ²    =   =  1 600

   x      = 

                                       x     =  ± 40

Dans ce cas : la réponse positive est seule admissible.

 

 

Calculer le diamètre du cercle  de même surface qu’une calotte sphérique  de 30 millimètres de hauteur  et de 750 mm de diamètre de sphère. (voir figure ci dessous)

 

Soit « x » le diamètre du cercle cherché, sa surface  est  .nous avons vu en géométrie que la surface de la calotte  est «  S = 2 À R h » ou « S =  À D h » 

 

Donc nous aurons :  

 

Nous divisons les deux membres par « À » , nous aurons : 

 

 

 

 d’ où    =  300 millimètres.

 

 

 

 

Problème n°3  :

 

Rappel :   la pression « p » due à une force pressante de valeur F perpendiculaire à la surface  de contact « S » est donnée par :

 

                                                                

 avec  « p » exprimée en pascal (Pa) ; « F » en newton (N) et « S » en mètre carré ( m²)

 

* l’unité de pression est  le pascal (Pa) : 1 Pa = 1 N. m-2    , dans la pratique  , on utilise le bar ( bar) : 1 bar = 105 Pa

 

 

Quel diamètre convient - il de donner à une barre de fer rond  devant supporter un effort longitudinal de  7 0 000 newtons  , le coefficient de résistance étant de 700 bars  soit   70 000 000  pascals  ?

( g = 10 )

 F = 70 000   N    ;   p =   70 000 000 Pa   ( 700 bars) 

 

 

Nous avons vu en science que   F = p S et par suite :

 

      ;    =  0 , 0010 mètre carré  soit 10 cm² .

 

Nous avons donc   :  

 

D’où :   

 

Et :       =  3,56. cm =  35, 6 .mm

 

 

Problème :    Cylindre.

 

 

  V = volume ;

  D = diamètre ;

 h =  hauteur .

 

Quel diamètre convient- il de donner à un cylindre de 1,50 .m de haut  pour obtenir  une capacité de 25 hectolitres ?

 

On sait que  ( @ )  25 hectolitres = 2500 litres  =  2500 décimètres cubes = 2,500 m3

 

 

 

 

 

problème :   sur le    Mouvement uniformément varié .

 

 

 

 

  v = vitesse

  vo = vitesse initiale

  e = espace parcouru.

   ³   = accélération du mouvement.

Info : « sciences »

Si le corps part au temps t0  ( repos)  ;  v 0 = 0 et les formules deviennent  «  v = at » et « 

 

Problème : Au départ d’une gare un train met 40 secondes pour atteindre, sa vitesse uniforme de 72 kilomètres à l’heure , pour s’arrêter ,il ralentit sa vitesse de 0,40 .m par seconde. On demande :

1°) l’accélération du mouvement de départ.

2°) l’espace parcouru quand il atteint sa vitesse normale.

3°) le temps qu’il lui faut pour s’arrêter.

4°) la distance de la  gare d’arrivée à laquelle le mécanicien doit stopper l’alimentation en électricité du moteur.

 

 

1°)         

 

« t » est en seconde » alors par convenance on  déclame la vitesse  ( V ) en m / s :   v =  72 kilomètres à l’heurs ou 72 000 mètres en 3600 secondes  soit

                                      ( 20 m /s)

 

donc 

 

2°)           

 

3°)           de cette formule nous tirons : 

 

mais « v = 0 »  correspondant à l’ arrêt ;  v0 = vitesse initiale 72 kilomètres à l’heure ou 20 m /s ; ³ = - 0,40 .m/s  accélération décélérée. (dit aussi : retardatrice)

 

 

 

4°)       ;

 

Problème :   

 

On demande combien de coups par minute on pourrait faire battre à un mouton de casse - fonte tombant d’une hauteur de 8 mètres, s’il faut 10,72 secondes pour le remonter après chaque chute.

 

 

 

 

Temps de chute + temps de remontée = 10,72.s + 1,98 .s = 12 .s

 

Nombre de coups par minute : 

 

 

Problème   

 

Un corps est lancé verticalement  de bas en haut  avec une vitesse initiale de 30 mètres à la seconde. On demande :

1°) Le temps de la montée.

2°) la hauteur qu’il atteindra.

3°) le temps de la chute .

4°) la vitesse quand il arrivera au bas de sa chute. (On ne tiendra pas compte de la résistance de l’air.)

 

 

                                                

 

1°) Quand le corps s’arrêtera  la vitesse sera nulle ; or ;   v = v0 - gt = 0

 

donc 

 

2° )                  

 

 

                                  

 

 

3°)  

 

 

d’où     

 

Nous voyons que la durée de la chute est la même que celle de la montée.

 

4°)     v’ = v ‘0 + gt    ;   v’0 = 0

 

         v’ = g t  =  v0 = 30 mètres.

 

             La vitesse à l’arrivée au sol est la même  que la vitesse de départ.

 

 

                                   Puissance vive d’un corps en mouvement .

 

 

Problème : un corps tombe dans un puits de mine de 50 m de haut . Quelle est sa vitesse en arrivant au sol ?

 

Nous avons  v² = 2 g h   d’où 

 

           

 

 

 

B)

EQUATION COMPLETE

 

 

Problème:  Un rectangle a des côtés égaux respectivement à 4 m et 7 m . De combien doit - on augmenter l’un des côtés pour que , en diminuant en même temps l’autre côté de la même longueur, l’ aire  de la surface deviennent  24 mètres carrés.

 

Si l’on désigne par « x » la longueur cherchée, exprimée en mètres, les côtés deviendront respectivement  « 4 + x » et « 7 -x » ; si « x » est positif , on aura augmenté le côté égal primitivement à « 4 » et diminué l’autre ; si « x » est négatif , ce sera le contraire , mais en tout cas les conditions de l’énoncé sont satisfaite. L’aire de la surface d’un rectangle exprimée en mètres carrés est égale au produit des côtés exprimés en mètres ; on doit donc avoir :

                                               ( 4 + x ) (  7 - x ) = 24

c’est à dire                  x ² - 3 x - 4 = 0

 

d’où l’on tire :       x =    =   =

 

On a deux racines              x ‘  =   =    4

                                           x’’  =   = - 1

 

Commentaire : la première donne pour côtés « 4 + 4 » et « 7 - 4 » c’est à dire  « 8 » et « 3 ». On a donc deux solutions du problème proposé , mais ces solutions conduisent à deux rectangles égaux, dont les côtés sont simplement permutés. Cela tient à ce que le problème proposé revient à ceci : puisque l’on diminue l’un des côtés , et qu’on augmente l’autre de la même  longueur , leur somme reste constante et égale à « 11 »,il s’agit donc de trouver un rectangle connaissant la surface et la moitié du périmètre ; nous allons résoudre ce problème et voir qu’l y a un seul rectangle répondant à la question.

 

Problème 4 : Quels sont les côtés d’un rectangle dont on connaît  l’aire « 30 mètres carrés »  et le périmètre « 22 m. »

 

Désignons par « x’ »  et « x’’ » ses côtés, exprimés en mètres, le périmètre est « 2 x’+ 2 x’’ » et l’aire « x’ x’’ » ; on a donc :

      2x’ + 2x’’  = 22    soit         x’ + x’’ = 11   

                                  et         x’ x’’ = 30

il s’agit donc de trouver deux nombres  « x’ » et « x’’ » connaissant leur somme et leur produit. Pour cela, nous remarquerons que nous connaissons les coefficients de l’équation du second degré qui admet pour racines « x’ » et « x’’ » ; cette équation est :

                                      -  ( x’ + x’’)  + 30 = 0

Nous pouvons la résoudre, ce qui donne :

 

    X  =  ±  = ±

 

 

Les deux racines sont « 5 » et « 6 » ; on peut donc prendre, ou bien :

                                    x’  =  5     et  x ‘’ = 6

 

ou bien :                 x’ = 6  et   x ‘’ = 5

 

 

Conclusion : On a deux solutions, mais à ces deux solutions correspondent deux rectangles égaux ; leurs côtés seuls sont intervertis.

 

 

Problème 5 : Trouver deux nombres dont  la différence soit « 3 » et le produit « 40 ».

 

Nous allons ramener le problème au précédent ; dans ce but, nous remarquerons que la différence de deux nombres est égale à la somme du premier et d’un nombre opposé au second ; nous sommes ainsi conduits à désigner le premier nombre par « x’ » et le second par « -x’’ » ; leur différence est alors « x’ + x’’ » et leur produit est « - x ’x’’ » ; on a ainsi les deux équations :

                                   x’  + x’’ = 3

                                   x’ x’’     = - 40

Donc  « x’ » et « x’’ » sont les racines de l’équation : x² - 3 x - 40 = 0

D’où l’on tire :

              x =   ±   =   ± . =  ±

les deux racines sont « 8 » et « -5 » ; on peut prendre :

                                  

                               x’ = 8  et  x’’ = -5

donc les deux nombres « x’ » et « -x’’ » sont « 8 » et « 5 » On peut prendre  aussi :

 

                                   x’ = - 5  et  x’’ = + 8

Donc les deux nombres « x ‘»  et « -x’’ » sont -5  et - 8

 

On a ainsi deux solutions à la question posée. 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE:

 

1° ) Combien de termes composent  une équation du second degré ?

 

2 °) Comment nomme –t-on son premier membre ?

 

3°) Dans le premier membre comment nomme –t-on :

 

 Le premier terme ?

 Le second terme ?

 Le dernier terme ?

 

Et encore :

1.      Qu’est ce qu’une équation ?

2.      Qu’entend - on  par résoudre une équation ?

3.      Qu’appelle t - on degré d’une équation ?

4.      Enoncez la règle pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue ?

5.      Quand on fait passer un terme d’une équation d’un membre dans un autre quelle précaution doit -on prendre ?

6.      Enoncez la règle pour résoudre un système de deux équations à deux inconnues par la méthode de substitution ?

7.      Qu’appelle - t- on équation du deuxième degré à une inconnue ?

8.      Donnez  les solutions x’ et x’’ de l’équation générale  « a x² + b x + c = 0 »

 

 

EVALUATION:

 

Identifier les membres et nommer les termes :

 

1°)   Dans l’équation : - 3x – 1 + x2  = 0  

 

2°)Dans l’équation : + x2  – 1 = 0 

 

3°)     ( m + 3 ) x2 – ( 2 – n + p )x  + m – n  = 0

 

 

Exercices de récapitulation :

Ordonner  les polygones suivants :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Calculer les surfaces suivantes données par les formules Lexprimer toutes les quantités à l’aide de la même unité)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

INTERDISCIPLINARITE :

 

Problème 1 :  Un brocanteur  achète une caisse contenant un lot « soldé » de vases en verre blanc pour 360 € , 3 sont cassés et vend les autres 5 euros de plus par vase qu’ils ne lui ont coûté. Il gagne ainsi 15 euros sur son marché ; combien chaque vase  lui avait-il coûté ?

 

Solution : soit « x » le nombre de vases ; chaque vase lui coûte  ; il en pers 3 , donc il lui en reste «  x - 3 » ; il revend chacun 5 € de plus  par vase , on il en revend chacun «  + 5 » ; cela fait  ( x - 3) (  + 5 )

Et ainsi  il gagne 15 euros , il  doit donc toucher 360 + 15  ou 375 € .

 

On a enfin : ( x - 3) (  + 5 ) = 375

 

Soit   5x² - 30x  - 1080 = 0   ou    x² - 6x - 216 = 0  

 

Les racines sont « 18 » et «-12 » ; le nombre « 18 » répond seul à l’énoncé proposé ;le nombre « -12 » satisfait à un énoncé modifié.

 

Problème 2 : Deux ville « A » et « B » sont situées sur un fleuve ;« A » à 42 km en aval de « B ».Un bateau fait le service entre les deux villes. Sachant que la vitesse  du courant est de 4 km/h et que la différence des trajets « AB » et « BA » est de 1h 12 min. Calculer la vitesse du bateau. 

 

1°) choix de l’inconnue : soit « x » la vitesse propre du bateau.

 

2°) Mise en équation : Admettant que la vitesse réelle du bateau est égale à sa vitesse propre , augmentée ou diminuée de la vitesse du courant suivant qu’il le descend  (trajet BA)  ou qu’il remonte ( trajet AB) nous exprimerons algébriquement l’égalité :

Durée du trajet AB    -   durée du trajet BA = 1 h   ou   h .

 

 

                                              -            = 

 

3°) Résolution de l’équation :

   -    = 

Supposant   x¹ 4  et   x ¹ -4  

Multiplions tous les termes par le p.p.d.c. qui est : 5 ( x+ 4) - 42 ( x -4) = 5 (  x² - 16)

 

il  vient :                       210 ( x - 4) - 210 ( x- 4 ) = 6 ( x² - 16 )

  soit                             210 ( x + 4 - x + 4 )         = 6 x² - 96

 

                                                             1 680         = 6 x² - 96

  6 x² = 1 680 + 96 = 1 776

                                                                  =   = 296

                                                               x     = ±   =  ± 17,2

 

4°) Discussion : seule la réponse positive convient :la vitesse propre du bateau est de  17,2 km / h .

 

Problème 3 :

Une amicale d’anciens élèves organise une excursion en autocars. Le prix global de l’excursion s’élève à 1200 €. Le nombre des participants étant supérieur  de « 4 »au nombre prévu chacun peut ainsi payer 10 € en moins. Quel était primitivement le  nombre d’excursionnistes ?

 

Solution :

1°) Choix de l’inconnue : soit « x » le nombre d’excursionnistes.

2°)Mise en équation :

 

Nous exprimerons algébriquement l’égalité :

      « part de chaque excursionniste ans le 1er cas » = « part de chaque excursionniste dans le second cas + 10 € »

 

                        soit        =   + 10

3°) Résolution de l’équation :

 

                                     =   + 10

Supposant x ¹  0 et   x ¹ - 4 multiplions tous les termes par le p.p.d.c.:  «  x ( x+4) »

 

  =   + 10  devient   1200 ( x + 4) = 1200x + 10 x (x+4)

 

                                               1200 x + 4800 = 1200x + 10 x² + 40 x

                                                 10 x² + 40 x -  4800 = 0

 

Soit en simplifiant :        x² + 4 x - 480 = 0 

 

« a » = +1 ; « b » = + 4 ; « b’ » = +2 ; « c » = - 480

 

= 4 + 480 = 484

  = 22

« x’ »  =  -2 + 22   =  + 20

« x ’’ »  =  - 2 - 22  =    - 24

4°) discussion : la solution positive convient seule. Le nombre des excursionnistes primitivement prévu était de « 20 ».

Problème 4 : Un ascenseur monte dans une cage d’escalier à la vitesse constante de 2 mètres par seconde.

Quand il a parcouru 10 mètres, on abandonne, à 20 mètres du bas de la cage une pierre qui descend avec une accélération de 9,80 mètre à la seconde par seconde. A quelle distance du haut de la cage , la rencontre se produira - t- elle ?.

 

Voir dessin niveau « 0 » départ de l’ascenseur vers le haut,la pierre est au niveau (+20) ;quand l’ascenseur est au niveau (+10), la pierre est lachée.

 

 

Solution : En premier  lieu nous remarquerons que le mouvement  de la pierre étant uniformément accéléré ( @ ) , son équation est : 

e =      avec  « e » l’espace parcouru ; « ³ » l’accélération ; « t » durée de parcours.

Le mouvement de l’ascenseur étant uniforme, son équation est :

   e = v t      avec  « e » l’espace parcouru ; « v » la vitesse ; t la durée du parcours.

 

1°) Choix de l’inconnue : soit « t » la durée de la chute de la pierre exprimée en secondes.

2°) Mise en équation :

Nous exprimerons algébriquement l’égalité :

 

« Chemin parcouru par l’ascenseur + chemin parcouru par la pierre = 20 m »

 

                                   10 + 2t +   = 20

3°) résolution de l’équation :

 

10 + 2t +   = 20  devient            4,9 t² + 2 t - 10 = 0

 

« a » = + 4,9 ; « b » = +2 ; « b’ » = +1  ; « c » = - 10

 

= 1 + 49  =  50

  #  7,07

 

                                 t’ =    #   1,25  s

 

                                 t’’ =    s    Cette réponse négative ne peut convenir.

La distance du point de rencontre au haut de la cage s’obtient en remplaçant dans la formule «  e = 4,9 t² » , « t » par sa valeur « 1,25 ».

 

                On trouve « e #  7,65 m”

 

 

Problème 5 : Un détaillant en électroménager ayant commandé des lampes de bureau  pour une somme de 4375 €  constate une erreur à la livraison. Le fabriquant lui a expédié des lampes valant 3,75 € de moins par unité mais leur nombre est supérieur de 15 au nombre de lampes commandées. Le détaillant conserve la livraison pour le prix convenu. On demande quel était le nombre de lampes commandées et le prix d’une lampe. 

 

Solution :

 1°) Choix des inconnues : soit « x » le nombre de lampes commandées et « y » le prix d’une lampe.

2°) Mise en équations  : nous exprimons algébriquement les égalités :

 

(1)   le prix total des lampes dans le 1er cas est  4375 €

(2)   le prix total des lampes dans le 2e cas est  4375 €

 

d’où le système     

 

 

3°) Résolution du système

 

Dans l’équation (2) effectuons les parenthèses et réduisons

 

                         x y - 3,75 x + 15 y - 56,25 = 4375

                         x y - 3,75 + 15 y =  4 431,25                  (2)

 

de l’équation (1) tirons la valeur de « y » :     y =

 

Remplaçons « y » par son valeur dans l’équation (2)

     x ×    - 3,75 x + 15 ×  =   4431,25

 

Soit   

    - 56,25 - 3,75 x + 15 ×  = 0

 

« x » n’étant pas nul multiplions tous   les termes par « x »  

 

                 - 56,25 x - 3,75 x² + 65 625 = 0

ou                     3,75 x² + 56,25 x - 65 625  = 0

 

« a » = + 3,75 ; « b » = + 56,25 ; « c » = - 65625

 

=  3164,0625 + 984375 = 987539,0625

 = 993,75

 

x’   =   = 125

 

 x’   =   = - 140 

4°) Discussion :   la réponse positive x’ = 125 convient seule.

Reportons cette valeur dans l’égalité « y =  » nous obtenons  «  y = =35 »

                 Le nombre des lampes de poche commandées était de 125 et leur prix unitaire de 35 €.