DOC. : Professeur ; Formateur

DOC : Formation Individualisée

DOC : Elève.

 

DOSSIER  N° 3 sur le Second degré.

Matière : MATHEMATIQUE :

Information « TRAVAUX »

Cliquer sur  le mot !.

INFORMATIONS PEDAGOGIQUES :

Formation :    NIVEAU  IV :

 

BAC PROFESSIONNEL :

Formation  Niveau IV

OBJECTIFS :

- Savoir résoudre  l’équation du second degré :    «  a x² + b x + c = 0 »  

-  Savoir factoriser le polynôme de la forme :        « a x² + b x + c »

En vu d’étudier les fonctions de la forme :    f(x) = a x² + b x + c   ayant pour équation : y = a x + b x +c .   

I ) Pré requis:

1-

Cours de niveau V (repérage)   BEP - CAP

 

2-

Pré requis tracés géométriques

:i

3-

Cours niveau V sur la fonction (en BEP)

:i

4 -

TESTS : Calculs ( série E , et toute la partie 2)

:i

5-

TESTS : tracés (série 1 : n°6 et série 2 : n°5)

:i

6 -

INFO :   Représentation graphique d’une fonction

:i

II ) ENVIRONNEMENT du dossier :

Index warmaths

Dossier précédent :

)Fonction « a x² »

2°) :voir résolutions des équations du second degré incomplètesi

3°) Résumé niv V / niv IV.

Dossier suivant :

- Somme et produit.

- Niveau IV dossier 4

- Les fonctions(étude) de la forme : y = a x² + b x + c

- Résoudre un système d’équation du second degré.

Info : Tableau synoptique  :i

 

Info :  Retour vers la liste des cours sur le second degré « équations »

III )  LECON  n°3  :    LE SECOND DEGRE  (niv IV / niv. III )

 

Chapitres :

 

i9  

 Définition

:i

iles IR9   

Résoudre  l’équation de la forme a x² + bx + c = 0

:i 

 

 

et - Somme et produit.

i19

Factorisation de «  a x² + b x + c » démonstration  exemple et  cas général

 Forme canonique :i

i29

 

2°) Factoriser :

i9  

Système d’équations comportant le produit de deux inconnues ou leur carré.

:i

 

Racines et signe du trinôme

 

i9  

Inéquation du second degré (signe du trinôme et résolution à partir d’un tableau.

:i

 

IV)   INFORMATIONS  «  formation leçon » :

 

Test

 

COURS 

Travaux  auto - formation.

 Ici : Exercices corrigés

Corrigé des travaux  auto - formation.

Contrôle

évaluation

 

Interdisciplinarité 

Débouche sur ! résoudre une situation  problème du second degré

Corrigé Contrôle

Corrigé

 évaluation

V )   DEVOIRS  ( écrits):

 Devoir diagnostique L tests. (devoir 1)

Ÿ

 Devoir  Auto  - formatif  (intégré au cours)        ici : ; autres devoirs à préparer  

Ÿ

  Devoir Formatif  « Contrôle : savoir » ;   (remédiation)

Ÿ

 Devoir  Formatif  «  Evaluatio  savoir faire »  (remédiation)

Ÿ

Devoir sommatif.

Ÿ

Devoir certificatif : (remédiation)                                                                                                                                                                                                                                                                       

Ÿ

* remédiation : ces documents peuvent être réutilisés ( tout ou partie) pour conclure une formation .

 

Leçon

Titre

N°3

LE SECOND DEGRE

CHAPITRES

i9  

 Définition

:i

i9  

Résoudre  l’équation de la forme a x² + b c + c = 0

:i

i9  

 Factorisation Démonstration

:i

i9  

Système d’équations comportant le produit de deux inconnues ou leur carré.

:i

 

Racines et signe du trinôme

 

i9   

Inéquation du second degré.

:i

 

COURS

 

i9  

 Définition

:i

 Une équation du second degré d’inconnue « x » est une équation de la forme :

                                                           a x² + b x + c = 0

« a », « b », « c » sont les coefficients ( ce sont des nombres réels) ; et   « a » "` 0

 

info :  a x² + b x + c = 0  est  un trinôme de degré deux , appelé « polynôme du second degré ».

Activité :     x² + 2 x = -1       se ramène à la forme        + x   - 1 = 0

                3 x² =  + 2x - 5   se ramène à la forme    3x²   - 2 x + 5 = 0

                    =  9 x  - 6  se ramène à la forme x²  - 9 x + 6 = 0

 

i9   

Résoudre  l’équation de la forme a x² + b c + c = 0

:i

 

 

a x² + b c + c = 0

 

 

 

 

 

 

 

Calcul du discriminant :

= b² - 4 ac

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  > 0

 

  = 0

 

  <  0

 

 

 

 

 

Deux solutions :

x’ =

x’’ =

 

Une solution :

 

x’ = x’’ =

 

 

Aucune solution

Remarques :

 la première solution  se note  , invariablement ,   :     x’ (lire :  ixe prime)  ou   x1  ( lire : ixe indice 1)

la deuxième  solution  se note  , invariablement ,   :    x’’ (lire ixe seconde) ou   x2   ( lire :ixe indice 2)

EXEMPLES DE RESOLUTION : (parfois Il faut transformer l’égalité et ramener l’équation à la forme d’un polynôme du second degré  ( vu précédemment) )

Exemple 1 :      résoudre      - 9 x + 6 = 0

 

Procédure :

     - 9 x + 6 = 0   ;  x’ = ?  et   x’’ = ?

Identifions  les coefficients

  a =  1  ; b = -9 ; c = 6

Calcul du discriminant : = b² - 4 ac

(-9) ²  - 4 × 1 × 6 ;  =  81 - 24 ;  =  57

Analyse du signe et du résultat de

1ère conclusion :

Le discriminant est  > 0 ;  positif

Le discriminant étant positif l’équation a …2…solution (s)

Calcul de la racine de   ( )

  #  7,55

Calcul de la ou des solutions :

 

x1  = = 8,275

 

 x2  =   =0,725

 

 

2ème conclusion :

    - 9 x + 6 = 0  à pour solutions (racines)       8,275 et 0,725

Activité : résoudre    7 x² + 5 x - 38 = 0            ( x’ = 2 ; x’’ = )

Exemple 2 :      résoudre   25 x²  - 30 x + 9 = 0

 

Identifions  les coefficients

  a = 25   ; b = - 30 ; c = 9

Calcul du discriminant = b² - 4 ac

( - 30)² -  4 × 25 × 9 ;  900  -  900  =  0

Analyse du signe et du résultat de

1ère conclusion :

Le discriminant est  nul  (= 0)

L’équation a 2  solution (s)  égales.

Calcul de la racine « double »

    

 

Calcul de la ou des solutions :

x ‘ =  x ‘’  =  =   = 0,6

 

 

2ème conclusion :

25 x²  - 30 x + 9 = 0

à pour solutions   x ‘ =  x ‘’  =  0,6

 

 

 

 

Exemple 3 :      résoudre   2 x²  - 4 x + 5 = 0

Identifions  les coefficients

  a = 2   ; b = - 4 ; c = 5

Calcul du discriminant = b² - 4 ac

( - 4)² -  4 × 2 × 5  =  16 - 40 = -30

Analyse du signe et du résultat de

1ère conclusion :

Le discriminant est  négatif

L’équation n’admet pas de solution

 

i9

 

FACTORISATION : Démonstration  sur la factorisation du polynôme           a x² + b x + c

1°) Forme canonique :i  2°) Factoriser :

 

Ici : Activité pédagogique 

 

Pour factoriser il faut connaître les racines de l’équation !donc avant de factoriser il faut « résoudre ».

Application numérique

Cas général

 

Résoudre l’équation x² - 4 x + 3 = 0 

 

 

Résolution de l’équation a x² + b x + c =0 

Le coefficient  « a » ¹ 0

 

Factorisons le polynôme :

 

  • - 4 x  = - 2 × 2 × x
  • x² - 4 x  sont les 2 premiers termes du développement * de (x - 2)²

 

On met en facteur  « a »

a x² + b x + c = a ( x² + x +)

On factorise      x² + x +               (1)

 

 

*Le développement de l’I.R.  

           (x - 2)² étant :       - 4 x + 4

Ainsi  on sait que :

 (x +  ) ² = x² + x +

 

 

Nous pouvons établir l’égalité :

 

  - 4 x + 3    =      - 4 x + 4   - 4 + 3

 

 

Par conséquent :

 

x² +x +    = x ² + x+  -  +

 

 

Ainsi :

  - 4 x + 3 =  (x - 2)² + 1 

comme     1 = 1² = 1×1 = 1 ;

on peut écrire (x - 2)² + 1  = (x - 2)² + 1² 

On remarque que   X² + 1²  = (X+1) (X-1)

Voir l’identité remarquable de la forme

  a ² - b² = ( a + b ) ( a - b)

 

regroupons    +  Û

 

D ‘ où :

 (x - 2)² + 1² = [ ( x -2) +1) ( x - 2 - 1) ]

 

L’équation (1) devient

( x + -  +=( x + -    (2)

 

 

(x - 2)² + 1² =    ( x -1) ( x - 3)

 

Soit : le discriminant    On pose :    = b² - 4 ac

 

L’expression factorisée de

x² - 4 x + 3 est :

  ( x -1) ( x - 3)

 

   On discute  suivant la valeur de ” pour obtenir une factorisation possible:

Si    > 0 :

 l’expression (2) s’écrit :

 =

 

 

les racines du polynôme a x² + b x + c sont

                   x’ =  ;    x’’ =

On peut écrire :

 =  ( x - x’ ) ( x - x’’)

 

Si   = 0 ; l’expression (2) s’écrit :

 

 ( x + )² -   = ( x + )² -  ” = ( x + )² -  0 =  ( x +

 

La racine du polynôme « a x² + b x + c »  est    x’  (= x’’)  =   

On peut écrire :          ( x - x’ )²            (ou)         ( x - x’’)²

 

Si < 0 : le polynôme « a x² + b x + c »  ne peut être factorisé et il n’a donc pas de « racine »

Résolution de l’équation :

Pour que

 ( x -1) ( x - 3) = 0

 

Il faut que (x -1) = Soit : x - 1 = 0   Û  x = 1

0 et  ou (x - 3) =0 x - 3 = 0   Û  x = 3

 


FACTORISATION  (résumé)

 

Cas général : a x² + b x + c

Application : « factoriser » 

1er cas :   > 0 

 Alors   2 racines : x ‘  et x ’’

Factorisation :

a x² + b x + c = a ( x -x’) ( x -x’’)

     7 x² + 5 x - 38 = 0 

les racines sont x’ = 2 ; x’’ =

Factorisation :

      =  7 ( x - 2 ) ( x - )

 

 vérification : il faut développer.

2e  cas     = 0 

Alors   1  racine :  x  (ou)    x ’’

Factorisation :

a x² + b x + c =   a( x -x’)²  (ou)  a( x -x’’)²

     25 x²  - 30 x + 9 = 0

 une racine « double » : 0,6

Factorisation :

        =   25 ( x - ²

 

vérification : il faut développer.

3e   cas   < 0 

Pas de racine ; la factorisation n’est pas possible.

2 x²  - 4 x + 5 = 0

  = - 30

Pas de factorisation possible

On retiendra la procédure suivante:

Pour factoriser un polynôme de la forme  a x² + b x + c  il faut  résoudre l’équation  a x² + b x + c  = 0 .

Il faut appliquer la  procédure suivante :

- calculer le discriminant. = b² - 4 ac

- ensuite il suffit d’appliquer  suivant la valeur de :

 

Si :    > 0

Alors   2 racines :

x’ =  ;    x’’ =

Factorisation :

a x² + b x + c = a ( x -x’) ( x -x’’)

Si      = 0

Alors   1  racine :  x  (ou)    x ’’ =   

Factorisation :

a x² + b x + c =   a( x -x’)²  (ou)  a( x -x’’)²

Si     < 0

Pas de racine :

On rédige la phrase :

La factorisation n’est pas possible puisque le discriminant est négatif. ( = …)

 

 


 

i9    

Système d’équations comportant le produit de deux inconnues ou leur carré.

:i

Voir les INFORMATIONS SUR la somme ( S ) et le produit  ( P ) des solutions :

 

Le système est de la forme 

 

Pour résoudre un système de deux équations faisant intervenir leur produit ou leur carré , on peut utiliser :

- Soit la méthode  de substitution.

- Soit  résoudre l’équation  de la forme  x² - S x + P  = 0

 

Exemple : résoudre le système

 

Par substitution :

Par    x² - S x + P          (1)

 

de l’équation (1) tirons  y = 9 - x   (3)

On remplace (3)   dans (2)

 

    x ( 10 - x ) = 20

on développe :

  9x - x²  = 20

on transforme l’équation pour  ……= 0

0 =  20 - 9 x + x²

On résout l’équation  x² -  9 x + 20 = 0

a  =  1 ; b = -9 ; c = 20

Calcul de   =  81² - 4 fois 20 = 81 - 80 = 1

Calcul de =

 

x’ = 4   et 

x’’ = 5

conclusion les deux nombres sont 4 et 5

 

 On  note que   S = x+y = 9

 On note que    P = x y = 20

 

On remplace dans l’équation (1) :

 

      - 9 x + 20 = 0

 

IL suffit de résoudre l’équation :

 

On trouve  x’ = 4  et x’’ = 5

 

Les deux nombres ont pour valeur : 4 et 5

Conclusion

 

Les nombres dont la somme est « 9 » et le produit  « 20 »  sont  4 et 5

(pas de système  à résoudre)

Activité : résoudre le système                                                                   (sol. : 2 et 3)


 

i29

« Racines » et « signe » du trinôme.

:i

 

Commentaire : nous devons  faire l’étude d’une fonction de la forme y = a x² + b x +c .

 

Lors de cette étude il est demandé de savoir donner le signe  du trinôme « a x² + b x + c » lors que l’on fait varier « x ».

 

La valeur de « x »  peut être positif, négatif ou être égal à « 0 ».

 

On se pose la question : Quel est le signe du résultat du calcul  du trinôme  si l’on prend « x » >0 ; < 0  ou = 0 ?

 

ACTIVITES :

Activité 1 :

A ) remplir le tableau :

x

- 20

-15

-10

-7

 -5

+0

+2

+3

+5

+10

+20

x² + 2x - 15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B ) Avec un logiciel traceur  de courbe sortir le graphique y =   x² + 2x - 15

Activité 2 :

A ) remplir le tableau :

 

x

- 20

-15

-10

-7

 -4

-3

-2

+3

+5

+10

+20

-x² - 9x - 14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B) Avec un logiciel traceur  de courbe sortir le graphique y = -x² - 9x - 14

Activité 3 :

A) remplir le tableau :

 

x

- 20

-15

-10

-5

 -3

+0

+2

+3

+5

+10

+20

3x² - 2x + 14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B) Avec un logiciel traceur  de courbe sortir le graphique y =  3x² - 2x + 14

Activité 4 :

A ) remplir le tableau :

x

- 20

-10

-5

-3

0

+2

+3

+6

+7

+10

+20

x² - 12x +36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B) Avec un logiciel traceur  de courbe sortir le graphique y = x² - 12x +36

 

 

 

 

 

 

 

 Recherche du signe du trinôme a x² + b x + c

 

Il faut tout d’abord  résoudre  l’équation  a x² + b x + c = 0 ; de là trois cas peuvent se présenter. (suivant la valeur de )

I )  Cas    le     est supérieur à 0  ( > 0)

 

Premier exemple :     Soit  le trinôme      x² + 2x - 15

On remarque que :     a = + 1   > 0 ; Les racines du trinôme sont  x1 = -5    ; x 2  = +3

 

Activité 1 :

A ) remplir le tableau :

x

- 20

-15

-10

-7

-5

+0

+2

+3

+5

+10

+20

x² + 2x - 15

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

Signe du résultat  du calcul du trinôme :

+

+

+

+

 

-

-

 

+

+

+

Noter :

Signe de « a » ou signe de « -a »

a

a

a

a

 

-a

-a

 

a

a

a

 

B ) Avec un logiciel traceur  de courbe sortir le graphique y =   x² + 2x - 15 , comparer les calculs et la courbe.

 

Si l’on trace la courbe :   y = x² + 2x - 15   (activité 1-B)

 

Etude   du signe de   x² + 2x - 15, d’après le tableau.

Forme  du graphique : vérifiez !

 

Si      x < -5   ; x² + 2x - 15  > 0

Si      x =  -5   ; x² + 2x - 15  = 0

Si      x > 3   ; x² + 2x - 15  > 0

Si      x  = 3   ; x² + 2x - 15  =  0

Si      - 5 < x  > 3 ; x² + 2x - 15  < 0

 

 

 

Ces résultats  peuvent être consignés dans un tableau des signes :

 

x

 

-5

 

    +3

 

Signe  de

x² + 2x - 15

 

 

 

 

 

 

 

+

0

-

0

+

 

 

 

 

 

 

 

 

Conclusion :

Le coefficient « a » du trinôme  x² + 2x - 15  > 0  à pour valeur   a = +1  > 0.

Le trinôme a le signe de « a » pour les valeurs de « x » extérieures à  -5  et à + 3

Le trinôme a le signe contraire de « a » pour les valeurs    - 5 <  x  < +3 

Soit l’inégalité x² + 2x - 15  > 0 

L’inégalité proposée est donc vérifiée pour   x < -5  et x > 3

Soit l’inégalité x² + 2x - 15  < 0 

L’inégalité proposée est donc vérifiée pour   - 5 <  x  < +3 

 

 

Deuxième exemple :     Soit  le trinôme  = - x² - 9x - 14

 

Activité 2 :

A ) remplir le tableau :

 

x

- 20

-15

-10

-7

-4

-3

-2

+3

+5

+10

+20

-x² - 2x - 14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Signe du résultat  du calcul du trinôme :

-

-

-

 

+

+

 

 

-

-

-

Noter :

Signe de « a » ou signe de « -a »

a

a

a

 

-a

-a

 

a

a

a

a

 

B) Avec un logiciel traceur  de courbe sortir le graphique y =  - x² - 9x - 14

 

Les racines du trinôme sont  x1 = -7    ; x 2  = -2

 

Si l’on trace la courbe :   y =- x² - 9x - 14   (activité 1-B)

 

Etude   du signe de   x² + 2x - 15

Forme  du graphique

 

Si      x < - 7          ; - x² - 9x - 14  < 0

Si      x =  -7          ; - x² - 9x - 14  = 0

Si      x > -2            ; - x² - 9x - 14  < 0

Si      x  = -2           ; - x² - 9x - 14  = 0

Si      - 7 < x  > -2   ; x²  - 9x - 14  > 0

 

 

 

Ces résultats  peuvent être consignés dans un tableau des signes :

 

x

 

-7

 

    -2

 

Signe  de

-x² - 9x - 14

 

 

 

 

 

 

 

-

0

+

0

-

 

 

 

 

 

 

 

Conclusion :

Le trinôme  - x² - 9x - 14 > 0 ;  a = -1  < 0.

Le trinôme a le signe de « a » pour les valeurs de « x » extérieures à  -7  et à - 2

Le trinôme a le signe contraire de « a » pour les valeurs     -7 < x < -2  

 

 

Soit L’inégalité : - x² - 9x - 14 > 0 

L’inégalité proposée est donc vérifiée pour   -7 < x < -2  

 

Soit L’inégalité : - x² - 9x - 14 < 0 

L’inégalité proposée est donc vérifiée pour   x < -7  et x > -2

 

En résumé :

Si     > 0 ; le trinôme à deux racines

 

Si « a » > 0

x

 

-5

 

    +3

 

Signe  de

x² + 2x - 15

 

 

 

 

 

 

 

+

0

-

0

+

 

 

 

 

 

 

Et    si a < 0

x

 

-7

 

    -2

 

Signe  de

-x² - 9x - 14

 

 

 

 

 

 

 

-

0

+

0

-

 

 

 

 

 

 

 

On peut observer  que le signe  du trinôme  a x² + b x + c  dépend du signe de « a »

Si    > 0 ; le trinôme à deux racines :

x

 

x1

 

    x 2

 

Signe  de

a x²  +b x + c

 

 

 

 

 

 

 

Signe de « a »

  0

Signe de « - a »

 0

Signe de « a »

 

 

 

 

 

 

 

 

II  )  Cas    le     est inférieur  à 0  ( < 0)

Voir l’activité :

Voir le trinôme      3x² - 2x + 14 

Calcul du discriminant du trinôme : 3x² - 2x + 14 ;    = (-2 )² - 4 fois 3 fois 14 = 4 - 168 = -164

A ) remplir le tableau :

x

- 20

-15

-10

-5

-3

+0

+2

+3

+5

+10

+20

3x² - 2x + 14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Signe du résultat  du calcul du trinôme :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Noter :

Signe de « a » ou signe de « -a »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B) Avec un logiciel traceur  de courbe sortir le graphique y =  3x² - 2x + 14

Calcul du discriminant du trinôme : 3x² - 2x + 14 ;    = (-2 )² - 4 fois 3 fois 14 = 4 - 168 = -164

Pas de racine possible ( la courbe ne coupe pas l’axe des « x »)

Le discriminant  étant négatif, le trinôme 3x² - 2x + 14  a toujours le signe de « a ».

Voir le trinôme     - x² - 2x - 3 ;   = -12 ;

Pas de racine possible (la courbe ne coupe pas l’axe des « x »)

A ) remplir le tableau :

x

- 20

-15

-10

-5

-3

+0

+2

+3

+5

+10

+20

- x² - 2x - 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Signe du résultat  du calcul du trinôme :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Noter :

Signe de « a » ou signe de « -a »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B) Avec un logiciel traceur  de courbe sortir le graphique y =  - x² - 2x - 3 

 

Le discriminant  étant négatif, le trinôme - x² - 2x -3  a toujours le signe de « a ».

 

CONCLUSION :

  On retiendra  que  dans un trinôme du second degré, si le discriminant est négatif ; la courbe tracée  ne coupe pas l’axe des « x » ; la factorisation est impossible ;

Et    a x²  + b x + c  est toujours du signe de « a »

Si « a » est négatif  alors  a x² + b x + c  < 0

Si « a » est positif   alors   a x² + b x + c  > 0

En résume :

Si le discriminant de a x²  + b x + c  est négatif ; le trinôme a x²  + b x + c  

x

 

Signe  de

a x²  +b x + c

 

Signe de « a »

 

 

 

Cas    le    est égal  à 0  ( = 0)

 

Trinôme : x² - 12x +36

A ) remplir le tableau :

x

- 20

-10

-5

-3

0

+2

+3

+6

+7

+10

+20

x² - 12x +36

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

Signe du résultat  du calcul du trinôme :

+

+

+

+

+

+

+

 

+

+

+

Noter :

Signe de « a » ou signe de « -a »

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

 

B) Avec un logiciel traceur  de courbe sortir le graphique y = x² - 12x +36

 

« a » =  + 1 , le trinôme  x² - 12x +36   doit avoir le signe de « a »

 

Le discriminant     =  0   ; x1  =   x2  =  6

 

 

 

 

Trinôme :- x² - 12x - 36

A ) remplir le tableau :

x

- 20

-10

-5

-3

0

+2

+3

+6

+7

+10

+20

-x² - 12x -36

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

Signe du résultat  du calcul du trinôme :

-

-

-

-

-

-

-

 

-

-

-

Noter :

Signe de « a » ou signe de « -a »

a

a

a

a

a

a

a

 

a

a

a

 

B) Avec un logiciel traceur  de courbe sortir le graphique y = -x² - 12x -36

« a » =  - 1 , le trinôme  -x² - 12x -36   doit avoir le signe de « a »

Le discriminant   =  0   ; x1  =   x2  =  6

En résumé :

Si « a » > 0

x

 

6

 

Signe  de

x² - 12x +36

 

 

 

 

 

+

0

+

 

 

 

 

Et    si a < 0

x

 

-6

 

Signe  de

-x² - 12x - 36

 

 

 

 

-

0

-

 

 

 

 

 

On peut observer  que le signe  du trinôme  a x² + b x + c  dépend du signe de « a »

 

x

 

x1

 

Signe  de

a x²  +b x + c

 

 

 

 

Signe de « a »

  0

Signe de « a »

 

 

 

 

 


 

i19  et

Résolution d’inéquations du second degré à partir d’un tableau des signes.

 

 

 

. I ) Résolution des inégalités du second degré :

 

Une inégalité du second degré à une inconnue peut être ramenée à l’une des formes :

                                                            a x²  + b x + c  > 0    

ou

a x²  + b x + c  < 0    

 

Procédure :

 

Calculer le  discriminant ; raisonner sur le signe de « a »,

-  pour  «  a x² + b x + c < 0 » ; prendre  les valeurs ,qui vérifient l’inégalité , inférieures à zéro.

- pour  «  a x² + b x + c >  0 » ; prendre  les valeurs ,qui vérifient l’inégalité ,supérieures  à zéro.

 

Construire le tableau des signes ( vous aidez avec des valeurs numériques intermédiaires qui ne sont pas « racines ».)

 

 

Exemple 1 :

Résoudre : x² + 2x - 15  > 0 

1°)  Calcul du  ;   x’ = -5 ; x’’ = +3

2°)  Tableau :

x

-10

-5

0

+3

10

Signe  de

x² + 2x - 15

 

 

 

 

 

 

 

+

0

-

0

+

 

 

 

 

 

 

3° conclusion : L’inégalité x² + 2x - 15  > 0   est donc vérifiée pour   x < -5  et x > 3

 

Exemple 2 :

Résoudre : x² + 2x - 15  <  0 

1°)  Calcul du  ;   x’ = -5 ; x’’ = +3

2°)  Tableau :

x

-10

-5

0

+3

10

Signe  de

x² + 2x - 15

 

 

 

 

 

 

 

+

0

-

0

+

 

 

 

 

 

 

3°)  Conclusion : L’inégalité x² + 2x - 15  <  0   est donc vérifiée pour   - 5 <  x  < +3 

 

Exemple 3 :     3x² - 2x + 14 > 0

Calcul du discriminant du trinôme : 3x² - 2x + 14 ;    = (-2 )² - 4 fois 3 fois 14 = 4 - 168 = -164

Pas de racine  (3x² - 2x + 14  sera toujours différent de zéro)

2°)  Tableau : (on prend quelque valeur simple pour calculer)

x

-10

-5

0

+3

10

Signe  de

3x² - 2x + 14 

 

 

 

 

 

+

+

+

+

+

 

 

 

 

3°) l’inégalité  3x² - 2x + 14 >0  est   vérifiée  quelque soit les valeurs de « x » .

 

Attention : l’inégalité 3x² - 2x + 14 < 0   n’est pas possible !!!!!

 

Exemple 4 : résoudre    - x² - 2x - 3 < 0 ;

1°) calcul du     = -12 ;   pas de racine

2°) tableau

x

-10

-5

0

+3

10

Signe  de

-3x² - 2x - 3

 

 

 

 

 

-

-

-

-

-

 

 

 

 

3°) l’inégalité  - x² - 2x - 3 < 0 est   vérifiée  quelque soit les valeurs de « x » .

Attention : l’inégalité - x² - 2x - 3 > 0 ;  n’est pas possible !!!!!

 

Exemple 5 : résoudre    -x² - 12x -36 < 0   

 

1°) calcul de    =  0   ; x1  =   x2  =  - 6

2°) Tableau

x

(-10)

-6

(0)

Signe  de

-x² - 12x - 36

(-16)

 

 

(-36)

-

0

-

 

 

 

 

3°) l’inégalité -x² - 12x -36 < 0     est vérifiée pour toutes les valeurs de « x » sauf pour « -6 »

 

Attention : L’inégalité  -x² - 12x -36 >  0     est impossible.

 

Exemple 6 : résoudre    x² - 12x +36 > 0   

 

1°) calcul de    =  0   ; x1  =   x2  =  - 6

2°) Tableau

x

(-10)

6

(0)

Signe  de

x² - 12x +36

 

(+16)

 

 

(36)

+

0

+

 

 

 

 

3°) °) l’inégalité  x² - 12x +36 > 0     est vérifiée pour toutes les valeurs de « x » sauf pour « 6 »

 

Attention :L’inégalité  x² - 12x +36 <  0     est impossible

 

ON RETIENDRA :   ETUDE du TRINOME :   a x² + b x + c

  Calcul du discriminant 

 

 

a x² + b c + c = 0

 

 

 

 

 

 

 

Calcul du discriminant :

  = b² - 4 ac

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  > 0

 

  = 0

 

  <  0

 

 

 

 

 

Deux solutions :

x’ =

x’’ =

 

Une solution :

 

x’ = x’’ =

 

 

Aucune solution

Factorisation possible

 

Factorisation possible

 

Factorisation impossible

 

 

  Factorisation :

 

Si :   > 0 

 Alors   2 racines :

                   x’ =  ;    x’’ =

Factorisation :

a x² + b x + c = a ( x -x’) ( x -x’’)

Si     = 0 

Alors   1  racine :  x  (ou)    x ’’ =   

Factorisation :

a x² + b x + c =   a( x -x’)²  (ou)  a( x -x’’)²

Si   < 0 

Pas de racine :

On rédige la phrase :

La factorisation n’est pas possible puisque le discriminant est négatif. ( = …)

 

 

 

 

 

 

 

3°)  Signe  de  a x² + b x + c :

 

Si :  > 0 

 

x

 

x1

 

    x 2

 

Signe  de

a x²  +b x + c

 

 

 

 

 

 

 

Signe de « a »

  0

Signe de « - a »

 0

Signe de « a »

 

 

 

 

 

 

 

Si     = 0 

 

x

 

x1

 

Signe  de

a x²  +b x + c

 

 

 

 

Signe de « a »

  0

Signe de « a »

 

 

 

 

 

Si   < 0 

 

x

 

Signe  de

a x²  +b x + c

 

Signe de « a »

 

 

 


 

 

Leçon

Titre (niveau IV)

TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur le second degré

 

TRAVAUX      d ’ AUTO - FORMATION : CONTROLE

 

 

TRAVAUX N°    d ‘ AUTO - FORMATION   EVALUATION

 

EVALUATION

Série 1

Former les équations du second degré ayant pour solutions :

  1.  

- 2/5 et 8

 

  1.  

2/4 et 6

 

  1.  

-7 et - 1/2

 

  1.  

a+b et a -b

 

  1.  

1/ ( a+b)  et 1 / (a - b)

 

  1.  

1 + 2  et  1 - 2

 

  1.  

(+1) / 2  et  (-1) / 2

 

  1.  

 ab   et a/b

 

  1.  

(ab) / ( a+b)   et (ab) / (a - b)

 

Problèmes :

1°) Etant donné l’équation x² + p x + q = 0 déterminer p et q de façon que les solutions de l’équation soient égales à p et à q.

)Soit AH le hauteur du triangle ABC relative à la base BC . ON connaît  AB = 5 cm ; AC = 4 cm . On sait que de plus  BH fois DH = 135 / 16 . Calculer B C.

 

3°) Trouver deux nombres tels que leur différence soit 5 et leur produit  60.

4°) leur différence  - 10  et leur produit  - 21

 

 

Série 2

 

1 -  Résoudre les équations suivantes :

 

Exercices :

Solutions

 

Exercices :

Solutions

1 .   4 x² + 3 x = 0

 

 

4 x²  + 9 = 0

 

2 .   4 x² - 1 = 0

 

 

(x -1)² - 9 = 0

 

3.    x² - x =  0

 

 

4 x² + 9 = 0

 

4.   2 x² + = 0

 

 

X² - 25 + 2 ( x + 5 ) = 0

 

 

 

 

2 - Indiquer si les équations suivantes n’ont pas de  solution, ont une solution double ou ont deux solutions distinctes. On ne demande pas de  calculer les solutions éventuelles.

 

  1.  

 x² + 5 x + 12 = 0

 

 

  1.  

 15 x² + 14 x + 3 = 0

 

 

  1.  

25 x² - 120 x + 144 = 0

 

 

  1.  

 5 x² - 0,2 x + 1,6 = 0

 

 

3 - En utilisant les formules générales de résolution, résoudre les équations suivantes.

 

  1.  

x ²  - 2 x - 35 = 0

 

 

  1.  

4 x² - x - 2 = 0

 

 

  1.  

2 x² - 3 x + 4 = 0

 

 

  1.  

 x² + x -   = 0

 

 

4 - Résoudre par la méthode la mieux adaptée les équations suivantes :

 

  1.  

 x² + 6 x = 0

 

 

  1.  

 15 x² - 17 x - 4 = 0

 

 

  1.  

   +  x +    = 0

 

 

 

5 -  Dans un repère ortho normal  d’unité graphique 1 cm , tracer la courbe (P) courbe représentative de la fonction définie sur R par  x  

 

6 - Résoudre graphiquement l’équation x² - 2x - 6 = 0

Puis résoudre algébriquement cette équation.

 

7 - Résoudre graphiquement l’équation x² - 2x - 1= 0

Puis résoudre algébriquement cette équation.

 

8 - Déterminer les nombres réels « a » et « c »  de manière que l’équation « a x² + b x + c = 0 » admette  pour solutions les nombres « 2 » et « -1 ».

 

9 - Résoudre graphiquement les équations suivantes : 

 

A

  4 x² - 8 x - 3 = 0

 

 

B

 2 x² - 4 x + 5  = 0

 

 

C

 4 x²  - 12 x + 9 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

10 - Pour chacun des polynômes suivants, déterminer les racines et donner la factorisation. Etudier à l’aide d’un tableau de signes , le signe du polynôme.

 

  1.  

 x ² + 4 x - 5

 

 

  1.  

 x² + 3 x + 4

 

 

  1.  

-          4 x² + 3 x + 1

 

 

 

11 -  Sachant que le polynôme  2 x² + b x + c  admet  pour racine double le nombre          « -1 » donner sa factorisation et déterminer les réels « b » et « c ».

Donner le signe du polynôme.

 

12 -  Résoudre  les inéquations suivantes :

 

  1.  

  x ( x + 5 ) > 0

 

 

  1.  

 x² - 4 x <  0

 

 

  1.  

   > 7

 

 

  1.  

  ( 2x + 3 ) ( x + 1 ) "e 0

 

 

  1.  

  4 x² + 5 > 0

 

 

  1.  

 9  x² + 6 x + 1 < 0

 

 

  1.  

 x² + 3 x - 2 < 0

 

 

  1.  

  - 3 x²  + 2 x + 4 > 0

 

 

 

13 - Déterminer l’ensemble des valeurs    du réel « b » pour  lesquelles le polynôme 3 x² + b x + 3 n’a pas de racines.

 


PROBLEMES :

 

 

1-       On se propose d’étudier d’abord graphiquement, puis algébriquement la rentabilité de la fabrication d’un produit  par une entreprise. Le coût  total de production est donné, en  milliers d’euros, par la relation :

 

      C (q) = 2 q² + 10 q  + 900 où   « q »  représente la quantité produite.

 

La recette globale est donnée, en millier d’euros, par la relation :

    R (q) = 120 q  où « q » représente la quantité vendue.

On suppose que tous les produits fabriqués sont vendus.

 

 

 

Première partie. Etude graphique

 

 

Le plan est reporté à un repère orthogonal. En abscisse,1 cm représente « 5 » et en ordonnée,1cm représente « 500 ».

A ) on considère la fonction « f » définie sur l’intervalle [ 0 ; 60]  par x  2 x² =10 x + 900

a)      calculer : f ( 0 ) ; f (10 ) ; f (20 ) ; f (30 ) ; f (40 ) ; f (50 ) ; f (60 ).

b)      Donner l’allure de la courbe représentative de « f ».

 

     B ) Soit la fonction  « g » définie sur [ 0 ; 60]  par x  120 x .

Tracer dans le même repère  la courbe représentative de « g ».

 

     C ) En utilisant le graphique obtenu , déterminer :

        a) pour quelle valeur de « q » , la recette globale est égale au coût de fabrication ?

         b) sur quel intervalle , la production est rentable ?

 

Deuxième partie. Etude algébrique.

 

a)     Le bénéfice réalisé par le fabrication et la vente de « q » unités est donné par  B(q) = R (q) - C (q) . Calculer B (q)

b)     Résoudre l’équation  x² - 55x + 450 = 0 Interpréter le résultat obtenu.

c)      Résoudre  l’inéquation  x ²  - 55 x + 450 < 0 Interpréter le résultat obtenu.