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LES  EGALITES

 

Calcul numérique : nomenclature.

 

Lecture :  Inégalité ou inéquation

Boule verte

Les relations d’ordre(symboles )

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·        Vu au 3ème  collège

tableau    Sphère metallique

 

-        Passage COLLEGE - LYCEE.

-        Passage  CAP -BEP / BAC Prof.

 

COURS  niveau   4 et 3 :  LES PRODUITS REMARQUABLES

 

@ info+

PRODUITS ( ou IDENTITES) REMARQUABLES.

@ info+

 

Définition, (a+b)² ; ( a- b)² ,Généralisation sur le carré d’un polynôme, ( a + b ) 3, ( a - b ) 3,  (a + b ) ( a - b), ( a3 - b3), ( a3 + b3), résumé ,

 

@ info+

A quoi servent les produits remarquables ?

 

 

 

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COURS

 

 

@

PRODUITS REMARQUABLES  ou IDENTITES REMARQUABLES.

@info

 

On appelle « produits remarquables » les résultats de certaines multiplications qu’on doit savoir par cœur parce qu’ils permettent d’effectuer plus rapidement des transformations d’expressions littérales. Les égalités auxquelles on est conduit sont appelées « identités ».

 

 

@info

 1°)      ( a + b ) ²

@

 

On a :

 

( a + b ) ²  =  ( a + b ) ( a + b )

                 =  a ² + b a + a b + b²

                 = a ²  + 2 a b + b²

 

( a + b ) ²   = a ²  + 2 a b + b²

 

 

@info

 2°)      ( a - b ) ²

@

 

On pourrait comme précédemment effectuer la multiplication ( a - b) ( a - b) , mais il est plus simple de déduire le résultat du précédent.

 

En effet on peut écrire :

 

 ( a - b ) ²  =  [ a + (-b)]²

 

                =   a ² +(- b) a + a (-b) +(- b)²

                =   a ²  + 2 a ( -b)  + (- b)²

                =     - 2ab + b²

 

( a - b ) ²  =    - 2ab + b²

 

On dit qu’on a déduit ce résultat du précédent  en “changeant “b” par “-b”. 

 

 

@

GENERALISATION. CARRE D’UN POLYNOME.

@

               ( on utilise pour la démonstration appelée : méthode par récurrence)

 

Considérons d’abord un polynôme de 3 termes a + b + c . On peut calculer ( a+ b+ c) ² en considérant « a+ b  + c» comme étant la somme de deux termes : « a+b » et « c » . On obtient  ainsi :

 

 

( a+ b+ c) ²  =  (a + b) ² + 2 ( a + b) c + c²

 

                   =   a² + 2ab + b² + 2ac + 2 bc + c²

 

                   =   a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

 

 

On voit que le résultat trouvé  est égal à la somme des carrés  de tous lestermes augmentée  de la somme de tous les doubles produits de ceux - ci pris deux à deux comme dans le cas du carré  de la somme de deux termes.

Voyons si cette règle est générale . Pour cela admettons qu’elle est vraie dans le cas de « n » termes « a ; b ; c ; ……k ; l » et voyons si elle est vraie lorsqu’il y a un terme de plus « m »

 

Admettons donc que l’on a :

(a + b  + c + ……+k  + l )² = a² + b² + c² + ……….+ k²+ l² +  2ab + 2ac + ………2 k l

 

et calculons    (a + b  + c + ……+k  + l +  m )²   en considérant  «  a + b +c + …..k + l+ m » comme la somme de deux termes :    « a+ b + c +……..k + l »  et « m »

 

On a :

 

(a + b  + c + ……+k  + l +  m )²   = (a + b  + c + ……+k  + l )²+ 2 (a+ b + c +……..k + l )m + m²

  

Si on développe le carré et le double produit ,

 

1°) Les carrés de a ; b ; c ; … k ; l  sont dans le développement du carré et « m² » est dans le dernier terme,

 

2°) tous les doubles produits qui ne contiennent pas « m » sont dans le développement du carré et tous ceux qui contiennent « m » sont dans le deuxième terme.

 

D’autre part , il n’y a pas d’autres termes que ces carrés et ces doubles produits.

 

Finalement on voit que le résultat obtenu est la somme des carrés de tous les termes augmentée de la somme de tous les doubles produits.

 

La règle est vraie pour « n = 2 » il en résulte qu’elle est vraie pour « n+1 = 3 ». Etant vraie pour « n = 3 » elle est vraie pour « n+1 = 4 ».

En  procédant de proche en proche on voit qu’elle est vraie quel que soit le nombre de termes.

 (  a + b + c + …..+ k + l + m )² =  +

Nota : pour  le symbole    lire  «  la somme des… »

 

Pratiquement , afin de n’oublier aucun double produit, on écrit les doubles produits de chaque terme par tous ceux qui le suivent.

 

Exemple :

 Soit à calculer  A = ( 3 x3 + 4 x² - 5 x - 3)²

 

On a    A  =  9 x6 + 16 x 4 + 25 x² + 9 + 24 x5 - 30 x4 - 18 x3 - 40 x3 - 24 x² + 30x

 

                 = 9 x6 + 24 x5 - 14 x4 - 58 x3  + x ² + 30 x + 9

 

REMARQUE : la méthode employée dans la démonstration précédente est appelée”Méthode par « récurrence »  . On voit en quoi elle consiste :

   Ayant remarqué que la propriété est vraie pour les premières valeurs de « n » on suppose qu’elle est vraie pour une valeur de « n » quelconque et on démontre qu’elle est vraie pour « n+1 ». Etant vraie pour « n = 2 » ; n=  3 , ….elle est générale. 

 

 

 

 

 ( a + b ) 3

 

 

On a  ( a + b )3   = ( a + b ) ² ( a + b)

 

                           = ( a² + 2a b + b² ) ( a + b)

                     

                           = a 3 + 2a² b + b² a + a² b + 2 ab² + b 3 

                         

                           =  a 3 + 3 a² b  + 3 ab²  + b3

         

                             ( a + b )3   =  a 3 + 3 a² b  + 3 ab²  + b3

 

 

On écrit parfois ce résultat sous la forme :

 

                             ( a + b )3   =    a 3 + b 3  + 3 a b ( a + b)

 

 

( a - b ) 3

 

 

Changeons les résultants précédents “b” en “-b” . On obtient :

 

                            

                                  ( a - b )3   =   a 3 - 3 a² b  + 3 ab²  - b3

 

                                  ( a - b )3   =   a 3 -  b 3  + 3 a b ( a -  b)

            

 

 

 

@ info

 ( a + b ) ( a - b)

 

 

Effectuons la multiplication.

                     On a : ( a + b ) ( a - b)  =  a² + b a  - a b - b²

                                                          =  a² - b²

 

                  

                                 ( a + b ) ( a - b)  =     - b²

 

@ info

 a3   -   b  3   

 

 

Nous avons déjà trouvé  :   ( a - b )3   =   a 3 -  b 3  + 3 a b ( a -  b)

 

On en déduit : 

 

           a 3  - b 3  = ( a - b) 3  + 3 ab ( a - b)   

 

                          = ( a - b ) [ ( a - b ) ² + 3 a b ]

 

                          = ( a - b ) [ ( a² - 2ab + b²  + 3 a b ]

 

                          =  ( a - b) ( a ² + a b + b² )

 

                   a 3  - b 3  =   =  ( a - b) ( a ² + a b + b² )

 

@ info

 a3   +    b  3   

 

 

Changeons  dans  le résultat précédent “b” par “-b”

 

On obtient:    a3   +    b  3    = ( a + b ) ( a² - a b + b²)

 

En résumé, on doit savoir par Coeur les résultats  suivants :

 

 

 ( a + b ) ² = a² + 2 a b + b²

 

 ( a - b ) ² = a ² - 2 ab + b²

 

( a + b ) ( a - b)  =     - b²

 

On se  rappel era  des calculs suivants:

( a + b + ….+ m )² =  +

( a + b )3   =  a 3 + 3 a² b  + 3 ab²  + b3

 

                 =    a 3 + b 3  + 3 a b ( a + b)

 

( a - b )3    =   a 3 - 3 a² b  + 3 ab²  - b3

 

                  =   a 3 -  b 3  + 3 a b ( a -  b)

 

 

a 3  - b 3  =   =  ( a - b) ( a ² + a b + b² )

 

a3   +    b  3    = ( a + b ) ( a² - a b + b²)

 

 

REMARQUE : Les polynômes qui sont dans les deux membres de chacune des identités précédents sont “homogènes” et du même degré .

 

 

 

 

 

 

@ info

A QUOI SERVENT LES PRODUITS REMARQUABLES ?

@

 

1ère APPLICATION :

 

 

 La factorisation d’un polynôme du second degré : on regarde si deux termes ne sont pas le début d’un développement  de la forme :

1°)   a² + 2 a b  + …….=  qui se ramène à la forme   ( a + b) ²  ou a² + 2……+ b² ) = ( a + b )²

 2°) a² - 2 a b  + …….=  qui se ramène à la forme    ( a - b) ²  ou a² - 2……+ b² ) = ( a - b )²

 3°)  a² - b²    qui se ramène à la forme    ( a + b ) ( a - b )

 

2ère APPLICATION  

 

Tout d’abord, les produits remarquables  permettent de calculer « une puissance d’un polynôme ».

 

Exemple 1 . Calculer  A = ( x + 2 y ) 4

 

   On a :   A =  [ ( x  + 2 y ) ² ]²

 

                   = ( x² + 4 x y + 4 y² ) ²

 

                   = x 4  + 16 x² y ² + 16 y ² + 8  x3 y  + 8 x² y²  + 32 x y 3

 

                  =  x 4 + 8 x3 y + 24 x² y² + 32 x y 3  + 16 y 4

 

 

 

Exemple 2 .

 

Calculer B = ( x + y + 1 ) ²

 

On a   : B = ( x + y ) 3  + 3 ( x + y ) ² + 3 ( x + y ) +1

                =  x3 + 3 x² y  + 3 x y² + y 3 + 3 x² + 6 x y + 3 y² + 3 x  + 3y + 1

 

3ème APPLICATION : 

 

« l’identité »

                                                       ( a + b ) ( a - b)  =     - b²

 

               permet d’obtenir le produit de certains polynômes particuliers sans poser la multiplication.

Cela se produit si les deux polynômes sont formés de nombres dont les uns sont les mêmes et les autres opposés deux à deux.

Exemple 1 :Calculer l’expression :

 A = ( 2x + 5 y +1) ( 2x -  5y +1 )

Exemple  2 . Calculer l’expression :

 

B = ( 2x + 5 y +1) ( 2x - 5 y -1) ²

 

On a   A = ( 2x +1)² - ( 5 y)²

 

               = 4 x² + 4x  + 1  - 25 y²

 

On a  B = ( 2x²)² - ( 5y +1 )²

             =  4 x² - ( 25 y² + 10 y +1 )

            =  4 x² - 25 y² - 10 y - 1

 

 

4ème APPLICATION .

 

Dans la suite du cours , nous avons à mettre un polynôme sous la forme d’un produit de facteurs . Ce problème n’est pas toujours possible. Nous ne nous proposons pas d ‘ examiner  dans quels cas on peut le résoudre mais simplement d’indiquer les essais que l’on doit faire pour essayer d’obtenir le résultat demandé.

 

1°) On regarde si on peut mettre une expression en facteur.

Exemples : 

A = a b  + a c - a d

    = a ( b + c - d)

 

    B = 6 x² y² + 9 x² y 4

        = 3 x² y² ( 2x + 3 y²)

 

C = 2 ( a + b ) ² + 3 ( a + b ) ²

         = ( a + b )² [ 2 ( a + b) + 3 ]

          = ( a + b )² ( 2a + 2 b + 3 )

D  = ( x + y ) ( x + 5 y ) - ( x + y ) ( 6x - 4y)

     = ( x + y ) [( x + 5 y ) -  ( 6x - 4y)]

     =  ( x + y )  ( x +  5 y - 6 x + 4 y)

     = ( x + y ) ( - 5 x + 9 y)

 

                      

 

                      

 

2°) On remarque si l’expression donnée est la différence des carrés de deux polynômes ( ou monômes) et on utilise l’identité :    a² - b² = ( a + b ) ( a - b)

 

 

Exemples :

 

 

A = 9 x² -  16 y²

      = ( 3 x + 4 y ) ( 3 x - 4 y)

B = a² + 4 ab + 4 b² - 1

   = ( a + 2b ) ² - 1

   = ( a + 2b + 1) ( a + 2b - 1 )

 

  C =  4 x² - y ² - 4 x + 1

     =  ( 2x - 1 )²  - y ²

     =  ( 2x - 1 + y ) ( 2 x - 1 - y )

 

3°)De même , une expression pourra être mise  sous la forme d’un produit de facteurs si elle est la différence ou la somme de deux cubes.

 

 

On utilisera alors les résultats établis précédemment pour l’égalité «   a 3  - b 3  =  ( a - b) ( a ² + a b + b² ) »  et l’égalité   «  a3   +    b  3    = ( a + b ) ( a² - a b + b²) »

 

Exemple : A = a 3 - 8 b6

                    =  ( a - 2 b²) ( a² + 2a b + 4 b4)

 

 

4°) On regarde si une transformation préalable de l’expression donnée permet d’obtenir une mise en facteur.

 

Exemples :

 

A  =  a² - 4 b² + ( 2 a - 4 b)²

     =  ( a + 2 b ) ( a - 2 b) + 4 ( a - 2 b)²

     =   ( a - 2b )  [ ( a + 2 b ) + 4 ( a - 2 b)]

     = ( a - 2b )  ( a + 2b + 4 a - 8 b)

     = ( a - 2 b ) ( 5 a - 6 b)

 

B = x 3 ( x - z ) + y 3 ( z - z ) + z3 ( x - y )

   = x3 y - x 3z + y 3 z - y3 x + z3 ( x - y )

   =  ( x 3 y - y 3 x ) - ( x3 z - y3 z ) +  z3 ( x - y)

   = x y ( x² - y² ) - z ( x3 - y 3 )+ z3 ( x - y )

   = x y ( ( x - y ) ( x + y )  - z ( x - y ) ( x² + x y + y² ) +  z3 ( x - y )

 

  = ( x - y ) [ x y ( x + y ) - z ( x² + x y + y² ) + z3 ]

 

 

Considérons maintenant l’expression entre crochets.

On peut écrire :

 

 

 

 

                        x² y + x y² - z x² - x y z - z y² + z²

                   = ( x²y - z x ² ) + ( x y² - x y z ) - ( z y² - z3 )

                  =  x² ( y - z ) + x y ( y - z ) - z ( y -z)( y + z)

                   = ( y - z) [ x² +  x y - z ( y + z ) ]

 

 et   B = ( x - y ) ( y - z ) [ x² +  x y - z ( y + z ) ]

 

La nouvelle expression entre crochets peut s’écrire :

 

 

              x ² + x y - z y - z²

         =    ( x² - z² ) + ( x y - z y)

         = ( x + z ) ( x - z ) + y ( x - z)

         =  ( x - z ) ( x + y + z )

 

Finalement ,  de la  forme développée de B = x 3 ( x - z ) + y 3 ( z - z ) + z3 ( x - y )

 on a  par transformation successive  la forme « factorisée » :

 

           B = ( x - y ) ( y - z ) ( x - z ) ( x - z ) ( x + y + z )

 

 

 

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