Pré  requis: 

Lectures :1°) notions sur les dérivées

 

2°)  Notions sur  les dérivées.

 

3°) Signification géométrique de la dérivée.

 

 

Index         

Objectif précédent  

1°) Dérivée de la forme ax² + bx + c

 

2°) Etude d’une fonction numérique.

 

Objectif suivant

1°) Applications de la dérivée.

 2°)  Cours de niveau IV

 

3°) étude de fonctions du second degré.

4°) étude du signe du trinôme du second degré (par la méthode graphique)

 

Info  générales :

)Les dérivées.(sommaire).

 

2°) les études de fonction.

Lecture : DOSSIER:

ETUDE DES FONCTIONS et  Application des DERIVEES à l’étude des fonctions

- Plan d’étude d’une fonction.

- Recherche des maxima et des minima

- asymptote.

-  ( suite : théorèmes….)

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

COURS

 

Plan d’étude d’une fonction «  y =f(x) »

 

I ) Déterminer , s’il y a lieu, les valeurs de la variable, pour lesquelles la fonction n’est pas définie, c’est à dire n’est pas calculable ; ces valeurs sont dites « valeurs de discontinuité » .

A ce sujet se rappeler que : (deux cas souvent rencontrer)

  si f(x) comporte un radical d’indice pair  ( exemple :  ; les valeurs de « x » négatives sont exclues)  « y » n’est pas calculable pour les valeurs de « x » qui rendent négative l’expression sous ce radical.

 

      Si  f (x)  est un quotient de fonctions de « x » , de la forme  , « y » n’est pas calculable  pour les valeurs de « x »  qui annulent « v » sans annuler « u ». pour des valeurs infiniment voisines , en plus  ( +ξ)  ou en moins (- ξ) , d’une valeur de discontinuité la fonction «  y =   » a une valeur infiniment grande ( ∞ ) , le signe reste à déterminer .

 

 

II ) Calculer les valeurs remarquables suivantes :

 

 

-   « y »   pour « x = 0 » ,            les termes indépendants de « x » subsistent seuls, dans le cas  d’une fonction algébrique.

-   « x » pour « y = 0 » .             On résout algébriquement ou graphiquement l’équation f (x) = 0 

 

- en cas d’absence d’intervalle fixé :   « y » pour « x  =  », lorsqu’ une  fonction « y = f(x) s’exprime par un polynôme entier, ordonné par rapport aux puissances décroissantes de la variable, elle est équivalente à son terme du plus haut degré pour « x  =  »,, soit , par exemple, la fonction :      y = a x3 + b x² + c x + d 

 

Elle   peut s’écrire :  

 

Quand « x » tend vers     les fractions     tendent vers zéro, l’expression entre parenthèse tend vers « 1 », « y » devient équivalente à son terme du plus haut degré « ax3 ».

Si pour « x = x1 » , y =  se présente sous l’une des formes indéterminées    ou  il est possible de trouver une autre fraction  équivalente à  et qui pour « x = x1 » ne prend plus la valeur indéterminée    ou   mais prend au contraire une valeur déterminée finie ,  infiniment grande ou infiniment petite, appelée « vraie valeur » de  pour « x = x1 ».

Quand on a trouvé la vraie valeur de   on dit « qu’on a levé l’indétermination ».A cet effet, plusieurs méthodes sont utilisées : un moyen pratique est l’application de la « règle de l’ Hopital » , que nous n’énonçons   dans ce document.

 

« lorsqu’un quotient de fonction     se présente, pour une certaine valeur de la variable, sous des formes indéterminées    ou  on obtient  sa « vraie valeur » en substituant à   , le quotient des dérivées  des deux termes  ou   ou  jusqu’à ce que l’indétermination se trouve levée.

 

Plus simplement : dans ce cas où les deux fonctions « u » et « v » étant des polynômes  entiers l’indétermination a lieu pour « x  =  »,,  on lève cette indétermination en remplaçant « u » et « v » par leur terme du plus haut degré, par rapport à la variable, puis on simplifie . La vraie valeur de « y » apparaît alors, égale à une constante si « u » et « v » sont du même degré par rapport à « x »  ,   si le degré de « u » est supérieur au degré de « v »  , à   si le degré de « u » est inférieur au degré de « v ».

 

III ) Calculer la dérivée « y’ » puis  les valeurs de « x » annulant « y’ ». Ces valeurs correspondent à un maximum ou à un minimum pour la fonction ou à un point d’inflexion , à tangente parallèle à l’axe des « x », pour la courbe représentative. La discrimination de ces différents cas se fera soit en utilisant la dérivée seconde , soit plus couramment , en étudiant le signe de « y’ ». Le signe de « y’ » s’obtiendra en résolvant  les inégalités  «  y’ > 0 » et « y’< 0 » soit directement , en remplaçant dans cette dérivée la variable par des valeurs très voisines , de part et d’autre de cette valeur d’annulation.

 

 

On peut résumé les principaux cas par le tableau suivant :

 

On a :

3 Cas :

Conditions

Conséquences

 

y = 0

Cas 1

Si  « y’  passe de  + à - » 

«  y »  est le maximum.

 

 et « y’’< 0 »

 

Cas 2

Si  « y’  passe de  - à  + » 

«  y »  est  le minimum.

 

et « y’’> 0 »

 

Cas 3

Si  « y’  ne change pas de signe » 

 

« inflexion » la tangente à la courbe au point d’inflexion est parallèle à l’axe des « x ».

Et   « y’’= 0 »

 

 

 

 

Départ :

2 possibilités

Alors :

« y » est définie

et

« y ’ » présente une discontinuité

« y’ » ne change pas de signe de part et d’autre de la valeur de discontinuité .

« inflexion » - la tangente à la courbe représentative au point d’inflexion est parallèle à l’axe des « y ».

« y’ » change de signe de part et d’autre de sa valeur de discontinuité.

« Rebroussement » - la tangente à la courbe représentative au point de rebroussement est parallèle à l’axe des « y ».

 

 

IV- On résume ces résultats dans un tableau de valeurs auquel on fait correspondre une courbe représentative.

 

Recherche des maxima et des minima :

 

La recherche des maxima et des minima d’une fonction ne nécessite pas l’étude complète de cette fonction mais seulement l’application de la règle suivante :

Pour trouver les maxima et les minima d’une fonction « y = f (x) » dans un intervalle où elle est continue  , ainsi que sa dérivée première « y ’ » , on pose « y ’ = 0 » et on résout l’équation ainsi obtenue. Les solutions de cette équation sont les seules valeurs de la variable pour lesquelles « y » soit maximum ou minimum.

 

Si pour une de ces valeurs , « y ’ » de positive devient négative , « y » est maximum , si « y’ » de négative  devient positive  , « y » est minimum.

Si « y ’ »   s’annule mais ne change pas de signe « y » n’est ni maximum  , ni minimum.

On peut également faire la discrimination entre le maximum et le minimum en considérant le signe de la dérivée seconde « y ’’ »

 

« y’’ » est négative pour une valeur de la variable correspondant à un maximum de « y » , elle est positive pour une valeur de la variable correspondant à un minimum de « y ».

 

(voir des exemples)

 

Asymptote :

 

Les asymptotes aux branches de la courbe représentative sont de trois sortes :

 

« asymptote » verticale , asymptote horizontale ; asymptote oblique.

 

En principe :

(1)      si la fonction est discontinue pour « x = a » il y a une asymptote verticale parallèle à « y y’ » d’équation « x = a ».

(2)   Si la fonction a pour vraie grandeur « y =b » pour « x  =  » , il y a une asymptote horizontale parallèle à « x x’ » d’équation «  y = b ».

(3)   Cliquer ici pour savoir comment on détermine une asymptote oblique.

 

 

CONTROLE : aucun travail de prévu.

Savoir  énoncer les règles.

 

EVALUATION:

b>