Module : Les dérivées et primitives (intégrales)

 

 

 

Pré requis :

Tangente en 1 point d’une courbe (introduction à la définition de la dérivée)

 

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DERIVEE.

·        I )  NOMBRE DERIVE.

·        II ) FONCTION DERIVEE.                              ……………….. ( info ++ sur la fonction dérivée)

·        III  )  UTILISATION.

 

 

Par abus de langage , on dit souvent « dérivée » au lieu  de « fonction dérivée ».

 

 

 

Etude d’une représentation graphique d’une fonction :

 

Vers : Travaux auto formatifs

 

La dérivée d'une fonction permet l'étude simplifiée du sens de variation de cette fonction. La dérivée d'une fonction permet de déterminer sur quels intervalles de « x », la fonction f est croissante ou décroissante.

 

I )  NOMBRE DERIVE .

Info +++

 

La plan est rapporté à un repère ortho normal ; La courbe à est la courbe représentative de la fonction f définie sur  R par f(x) = x²

 

 

On a également représenté sur ce graphique, la droite T d'équation y = 2x - 1.

 

Le but de cette activité est de déterminer les coordonnées du ou des points d'intersection (si ils existent) de

 Ã et T.

 

 

Nous allons donc chercher les coordonnées du (des) point(s) d'intersection de la courbe d'équation  y = x² et de la droite d'équation  y = 2x + 1

 

Les coordonnées ( x ; y )  des points communs à Ã et T vérifient le système :

 

 

On résout ce système par substitution en remplaçant y par x² dans (e2) :

 

 

Il faut résoudre cette équation du second degré :

Le discriminant est : D = (-2) ² - 4 ´ 1 ´ 1 = 4 - 4 = 0

 

Cette équation admet donc une solution :

 

 

Pour déterminer y on remplace x par 1 dans (e1) (par exemple) donc y = 1² = 1

 

Conclusion : Il n'y a qu'un seul point d'intersection de coordonnées (1 ; 1 ). On dit que la droite T est tangente à la courbe à en A. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe à en A est 2 (puisque l'équation de cette droite est y = 2x + 1) ; On dit que le nombre 2 est le nombre dérivé de la fonction f pour la valeur x = 1. on écrit : f '(1) = 2

 

Il faut retenir :

Soit ¦ une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre a et à sa courbe représentative.

On appelle nombre dérivé de la fonction ¦ en a, le coefficient directeur de la tangente à la courbe à en son point d'abscisse a. on le note ¦ '(a) (Lire " ¦ prime de a ")

 

 

+Exercice n°1

 

La courbe C est la courbe =représentative d'une fonction f. Les droites T1? T2 et T3 sont les tangentes à la courbe C aux points A , B et C.

Déterminer par lecture graphique les nombres dérivés f '(-1) , f '(0), f '(2) .

 

 

Rappel : Lorsqu'on se place sur un point appartenant à une droite d'équation y = ax  + b, que l'on augmente l'abscisse de ce point de 1 ( on se déplace de 1 vers la droite), alors pour retrouver un autre point de la droite il faut se déplacer de a vers le haut si « a > 0 »  ou  de a vers le bas si « a  < 0 »

 


II )FONCTION DERIVEE .

 

Par définition :

On appelle « dérivée d’une fonction » de la variable « x » , pour une valeur «  x O»   de cette variable, la pente de la tangente au point correspondant de la courbe représentative….

 

Le but de cette partie est de voir si il n'est pas possible de trouver une "formule" permettant de trouver directement la valeur de ¦ '(x) pour chaque valeur de x

 

Soit ¦ la fonction définie sur R par ¦(x) = x² et à sa courbe représentative.

 

 

 

 

1°) Donner la valeur du coefficient directeur de la tangente en O à Ã?

 

2°) On a tracé les tangente T1, T2 et T3 à Ã aux points M1, M2 et M2 et M3. Déterminer graphiquement les coefficients directeurs de ces tangentes.

 

3°) En utilisant les résultats précédents, compléter le tableau suivant :

 

a

0

-1

1

2

¦ '(a)

 

 

 

 

 

 

On constate que pour toutes les valeurs de « a »  considérées on a : ¦ '(a) = 2a

 

Plus généralement on admet que pour tout réel « x », la fonction ¦ admet un nombre dérivé égal à « 2 x ».

La fonction définie sur R par x ® 2x est appelée fonction dérivée de ¦

On note ¦ '(x) = 2x

 

Il faut retenir :

Soit ¦ une fonction définie sur un intervalle « I ». La fonction qui à tout nombre réel « x » de « I » associe le nombre dérivée ¦ '(x) est appelée fonction dérivée de « f » . On la note ¦ ' (lire ¦ "prime")

 

Pour toutes les fonctions usuelles que vous connaissez, il existe leurs fonctions dérivées correspondantes, elles sont données dans le tableau suivant :  (info ++tableau de calculs de dérivées +)

 

Fonctions ¦

Dérivée ¦ '

¦(x) = a, a réel

¦'(x) = 0

¦(x) = x

¦'(x) = 1

¦(x) = x²

¦'(x) = 2x

¦(x) = x3

¦'(x) = 3x²

¦(x) =

¦'(x) =  

 

Les règles de dérivation sont les suivantes :

Si ¦(x) = u(x) + v(x) alors : ¦'(x) = u'(x) + v'(x)

Si ¦(x) = a ´ u(x) alors ¦'(x) = a ´ u'(x)

Exemple :

¦(x) = a x + b

¦'(x) = a

 

+Exercice n°2

Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

 

¦(x) = 4x²                    g(x) = x3 + 5x - 2                      h(x) = 3x² - 2x + 1


 

 

 

III )   UTILISATION DE LA DERIVEE

 

L'étude du signe de la dérivée d'une fonction permet de déterminer le sens de variation de cette fonction.

 

En effet, sur un intervalle I  de x sur lequel les tangentes à la courbe représentative de la fonction ont des coefficients directeurs positifs(ou négatif)( la tangente "monte" ou la tangente "descend"), alors la courbe représentative de la fonction "monte"(ou "descend" ) également. On dit que la fonction est "croissante" ou "décroissante" sur I.

 

Etudions un exemple :

La courbe suivante est la courbe représentative de la fonction ¦ définie sur [-1 ; 4 ] par :

1°) A partir d'observations du graphique, Indiquer sur quel intervalle la fonction f est décroissante, sur quel intervalle elle est décroissante.

2°) Calculer l'expression de f'(x) de la dérivée de f. Etudier le signe de f'(x) sur

 l'intervalle [-1 ; 4].

3°) En utilisant les résultats précédents, compléter le tableau suivant :

 

x

            -1                                 1                                              4

Signe de

f '(x)

                                               0

Sens de variation de f

 

  Quelle est la valeur minimale de f? pour quelle valeur de x ?

 

Pour résumer :

 

Si, pour tout x de I, on a ¦'(x) > 0 alors ¦ est croissante sur I.

Si, pour tout x de I, on a ¦'(x) < 0 alors ¦ est décroissante sur I.

Si, pour tout x de I, on a ¦'(x) = 0 alors ¦ est constante sur I.

 

 

+Exercice n°3

Soit f la fonction définie sur [-1 ; 1 ] par

1°) Calculer  la dérivée f '(x)  de f.

Vérifier que       

2°) Etudier sur [-1 ; 1] le signe f'(x). En déduire le sens de variation de f.

3°) Reproduire et compléter le tableau de variation de f :

 

x

            -1                                                                                1

Signe de f '(x)

 

Sens de variation des f

 

 

Cette fonction possède t-elle un maximum ?  quelle est sa valeur ? pour quelle valeur de x ?.

 

 

Vers : Travaux auto formatifs