Pré  requis: 

 

 

Introduction à la notion de « dérivée » et la définition de la dérivée.

 

 

Index        

Objectif précédent  

1°)Lecture : notions sur les dérivées

2°) Signification géométrique de la dérivée.

 

Objectif suivant

1°)Calcul des dérivées.

2°) caractéristiques

3°)Lecture pour d’autres explication…….

 

aller  vers la liste des cours sur les dérivées.

Tableau     82

Suite :

1°)Les fonctions usuelles

2° )Etudes de  fonctions : le second degré.

3°) Vue au bac pro.

Lecture : DOSSIER: LES DERIVEES :

·       I ) Accroissements ;

·       II)   Des  limites   ;

·       III ) Définition et notation ;

·       IV ) Signification  géométrique de la dérivée : « tangente » et «  le nombre dérivé » ( étude de fonction).

·       V ) Signification cinématique  de la dérivée    

·       VI ) Signification physique de la dérivée.

·       VII ) Résumé (niv.  IV) :

 

TEST

          

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

 

COURS

 

I) Accroissement :

Quand on passe d’une valeur x0 de la variable à une valeur x1 , on dit que « x » a reçu l’accroissement  « x1 -  x» .

 

Cet accroissement , qui peut – être positif , ou négatif , se désigne par « D x »   ( ce groupe de deux lettres  « delta   et ixe »  constitue un symbole unique , jouant le même rôle qu’une seule lettre )  de  sorte que l’on a

 

       D x = x1 - x0   ou     x1  =  x0  +D x

 

Soit « y » une fonction de « x » définie dans un certain intervalle ;

 X0  et  x1 sont deux valeurs de « x » appartenant à l’intervalle,

  y0 et y1  sont  les valeurs correspondantes de y .

 

 

Appelons accroissement de « y » correspondant à l’accroissement de « x » , la différence y0 - y1  = D y ;

 

 en résumé :

Accroissement de x      D x = x1 - x0 ; valeur finale de x    Û  x1  =  x0  + D x

Accroissement de y    D y = y1 - y0 ; valeur correspondante de y Û y1 = y0+D y

 

Exemple : soit la fonction   y = 2 x² - 7 x + 5

 

1er couple de valeurs :    x0 = 2                    y0 = 8 - 14 + 5 =  =  - 1

 

2ème couple de valeurs :  x 1 = 2 +  ∆ x        y1 = 2 (2 + ∆ x )² - 7 ( 2 + x ) + 5

 

                                                           soit             y1  = - 1 + ∆ x + 2 (x ) ²         

 

Les accroissements correspondants sont :   

       x               et         y =  x + 2 ( x )²

 

Refaisons le même calcul sans préciser la valeur initiale :

 

1er couple de valeurs :  x 0      ;  y 0 = 2 x0² - 7 x 0 + 5

 

2ème couple de valeurs :

  x 1 = x 0 + ∆ x

 

y 1 =  2 ( x 0 + x) ² - 7( x 0 + x) + 5

     =  2 x0² - 7 x 0 + 5 +( 4 x0 - 7 x 0 ) ∆ x   + 2 (∆ x )²

 

Les accroissements correspondants sont :    x   et  y =  (4 x0 - 7 x 0) ∆ x   + 2 (∆ x) ²

 

 

 

 

 

II ) Des limites :   A propos  des dérivées  nous rencontrerons une notion importante : celle de « limite » qu’il nous faut définir .

 

Considérons un segment de droite AB représentant l’unité :

 

Soit M1 le milieu de AB , AM1 représentant      le milieu ,soit M2  le milieu de M1B , M1 M2 représente le quart (    ) , soit M3 le milieu  de M2 B , M2 M3 représente le     etc ; ….Soit M4 le milieu de …..

 

 

Il est évident que les points « M » successifs se rapprocheront constamment du point « B » mais ne l’atteindront jamais puisque chaque point « M » est le milieu d’un segment de droite ayant justement « B » comme extrémité.

 

 

Il en résulte que la somme :

 

S  =  ++ + +++ ……

 

Se rapproche  constamment de l’unité lorsque le nombres de ses termes augmente indéfiniment , elle peut n’en différer que d’une quantité aussi petite que l’on voudra mais elle ne sera jamais rigoureusement égale à l’unité . On dit que « S » a pour limite 1 ou tend vers 1 lorsque le nombre de ses termes augmente indéfiniment .

 

Dans certains calculs on a à considérer plusieurs quantités u , v , w qui tendent respectivement vers des limites u1  , v1 , w1    . Nous admettrons , sans le démontrer , que la somme  u + v + w  a pour limite u1  + v1 + w1     , que le rapport     a pour limite       , que le produit    u . v . w   a pour limite   u1 . v1 . w1

 

 

 

III ) DEFINITION de la dérivée :  ( info ++)

 

Exemple de calcul de la dérivée :

Considérons la fonction y = x2    ( 1)

                   Si la variable « x » s’accroît d’une quantité très petite appelée (delta de « x » ) et noté : D x  la variable devient x + D x .

 

                        La fonction « y » s’accroît d’une quantité correspondante D y et devient  y + D y

 

Proposons nous de calculer D y  en fonction de D x puis le rapport  

 

Appliquons la formule (1). Cette formule nous indique que la valeur de la fonction se calcule, en élevant au carré la valeur correspondante de la variable soit :                    y + D y =   ( x + D x)  2

 

y + D y =    x2 + 2 x .D x  + D x 2         (développement : SOS )

 

   supprimons y = x2  dans les deux membres

 

D y =     2 x .D x  + D x 2

 

le rapport   s’obtient en divisant les deux membres par D x :

soit        =   2 x  + D x

 

 

On appelle dérivée de la fonction y = x2  , par rapport à « x » , la valeur limite du rapport      lorsque D x tend vers zéro. Il apparaît immédiatement que si D x s’évanouit   tend vers 2x ;

 

« 2x » est la dérivée de « y » = x2 par rapport à « x »

 

A)  Définition: la dérivée d’une fonction est la limite , vers laquelle tend le rapport de l’accroissement de la fonction à l’ accroissement correspondant de la variable , lorsque celui-ci « s’évanouit »

Remarque :

Pour bien comprendre la nature de la dérivée il importe de remarquer que D x   et D y  s’annulant simultanément si D x = 0 , D y  = 0 et le quotient  prend la forme indéterminée   qui ne signifie absolument rien . Lorsque , dans l’exemple précédent , nous posons cette dérivée  égale à 2x ; Nous disons : si D x  tend vers zéro , le rapport    = 2x +D x  tend vers 2x , donc si D x = 0 ,  = 2x  . Nous faisons ce qu’on appelle une extrapolation par continuité    ; c’est à dire que nous admettons comme rigoureusement vrai pour D x = 0 , ce qui est de plus en plus approché lorsque D x tend vers zéro. Ce raisonnement n’est évidemment possible que si le rapport   ne change pas brusquement de valeur au dernier moment , c’est à dire à la condition qu’il y ait continuité.

 

B) NOTATION :    (INFO  pour savoir plus précisément )

 

Si la fonction d’une variable  s’exprime par y = f(x) sa dérivée se représente par y ’ ou f ’(x)   ( lire : i grec prime  ou « eff » prime de « x » )

 

Dans certain cas , la valeur limite du rapport     , lorsque D x s’évanouit , se symbolise par la notation     dite notation différentielle .

 

Au départ , on devra considérer l’expression    comme une simple notation et ne pas y voir un quotient .

Cependant dans les applications pratiques , elle pourra être considérée  comme un quotient et voici comment .

 

La dérivée étant la limite du rapport    lorsque D x et D y sont très petits le quotient     est une valeur approchée de la dérivée y’ , d’autant plus approchée que D x et D y sont plus petits .

Dans les applications pratiques , en physique par exemple , on peut prendre comme valeur  de la dérivée y’ cette valeur approchée ; dans ce cas , on peut considérer que    est le quotient de deux valeurs dx et dy , très petites des accroissements D x et D y  .


IV)  Signification géométrique de la dérivée ;

Nombre dérivé :

Rappelons qu’on appelle « tangente à une courbe » au point « A », la position limite de la sécante « AM » quand le point « M » de la courbe se rapproche indéfiniment du point « A ».

D’une manière précise, dire que la droite « AT » est tangente, c’est à dire que l’angle « TAM » des droites « AT » et « AM » peut être rendu aussi petit que l’on veut, à condition de prendre « M » suffisamment voisin du point « A ».

Remarques :

1 - Pour les courbes que nous aurons  à considérer, on obtient la même tangente , que « M » se rapproche de « A » d’un côté ou de l’autre.

2- Au voisinage d’un point ordinaire, la courbe est d’un même côté de sa tangente , elle « touche » sa tangente , au sens vulgaire du mot ; sur une petite longueur, courbe et tangente sont graphiquement confondues.

3- Il peut arriver que la courbe traverse sa tangente , on dit dans ce cas que le point est un point d’inflexion.  

Cela étant , on  considère une fonction  y = f (x)  ayant une dérivée et sa représentation graphique.

Par définition : on appelle « nombre  dérivé » le coefficient angulaire de la tangente à la courbe représentative de la fonction  y = f (x ) est , en chaque point , égal à la valeur correspondante de la dérivée.

Soit en effet :

► « x0 »  est  une  valeur quelconque de « x » ;

► « y 0 » = f ( x0) la valeur correspondante de « y » ;

  «  x1 =  x0 + ∆ x »      est  une deuxième valeur de « x » ;

  «  y1 = y 0 + ∆ y la valeur correspondante de « y ».

 

Soit M0  et M1 les points représentatifs.

Le coefficient angulaire de la droite M0  et M1  est  

 

 x0  et y 0   étant supposés invariables , et , par suite, le point M0 fixe faisons tendre ∆x vers zéro ; ∆ y tend aussi vers zéro par hypothèse ; x1  et y1 tendent respectivement vers  x0  et y 0   .

Donc :

1°) M1 se rapproche de plus en plus  de M 0 et la droite M0 et M1 a pour limite la tangente « T » à la courbe.

2°) Le rapport     a pour limite la valeur de la dérivée pour « x = x 0 ». (voir la définition.

La tangente au point M0 a donc pour coefficient angulaire la valeur «  f ’(x0) » de la dérivée en ce point.

Exemple de calcul :

 

On donne  y =  

Calcul de la dérivée y’.

On sait que la dérivée de « a x² »  est « 2ax »

La dérivée de y =   est     y’ = -  soit y’=

Soit A le point d’abscisse « 2 »

Pour le point A :

«  x = 2 » ; « y = - 1 » et «y’ = -1 »

Si  nous menons par « A » les parallèles AX et AY aux axes de coordonnées : rapportée à ces nouveaux axes, la tangente en « A » est la droite d’équation « Y = - X »  

 

 

 

 

 

Complément d’informations : Sur la courbe « C » représentative de la fonction y = f(x) considérons deux points P et P’.

L’abscisse de P  est   = x1  , son ordonnée   = y1

L’abscisse de P ’ est    = x2  son ordonnée ’ = y2

Désignons par Dx la différence des abscisses de ces points

D x  =    -  =  

 

Pour Dy  la différence de leurs ordonnées :

 

Dy =  -   = 

 

Dy représente l’accroissement de la fonction y = f(x) , lorsque la variable  s’accroît de Dx à partir de x1 . Traçons la droite PP’ , puis par le point P , la parallèle  PX à la direction positive de l’axe des abscisses. Désignons par  a  l’angle que forme PP’ avec l’axe des abscisses ou avec sa parallèle PX , enfin menons au point « P » la tangente PT à la courbe C et désignons par j l’angle que forme PT avec l’axe des abscisses  ou avec sa parallèle PX .

Dans le triangle PIP’ ; PI = Dx  , ’ = Dy  . Or , nous savons que dans un triangle rectangle , un côté  de l’angle droit est égal au produit de l’autre côté de l’angle droit par la tangente trigonométrique de l’angle opposé au premier côté d’où

Dy = Dx tg a ;   = tg a

Ainsi le rapport des deux accroissement     mesure la tangente trigonométrique de l’angle a  que forme la droite PP’ avec la direction positive de l’axe des abscisses , c’est à dire la pente de cette droite .

Voyons quelles sont les conséquences d’une réduction progressive de Dx

Si Dx diminue , le point P’ se rapproche de P le long de la courbe  C et Dy diminue simultanément ; la droite PP’ tourne autour de P dans le sens de la flèche , l’angle   a   varie et nous avons constamment  tg a ;

 Si Dx  s’évanouit  , la sécante PP’ tend vers sa position limite qui est la tangente PT . Dy  s’évanouit également et le rapport    tend vers une valeur déterminée , qui est par définition la dérivée y’ .

L’angle a  tend vers sa valeur limite j

La valeur limite du rapport     mesure donc la tangente trigonométrique  de la valeur limite de l’angle a 

Autrement dit  y’ = tgj

On voit donc que : la dérivée de la fonction  y = f(x) pour x = x1 , mesure la pente de la tangente menée à la courbe représentative de la fonction au point P , d’abscisse x1

 

Exemple :

 

Sur une parabole d’équation                     y = x2

Considérons les points :

A  et A’ d’abscisses  +   et –1

Traçons les tangentes AT et AT’ à la parabole , puis menons par A et A’ les parallèles  AX et A’X’ à la direction positive de l’axe des abscisses.

La dérivée de y = x2  étant

                      y ’ = 2x

Nous avons :

tg  j = 2   = 1   ;  j = 45°

tg j’ =  2  (-1) = -2 ;j¹ - 63°30’

 

   L’angle j est positif : la tangente AT est ascendante (montante ou croissante) , comme la portion de courbe à laquelle elle appartient ;

   L’angle j est négatif, la tangente A’ T ’ est décroissante ( descendante), comme la portion de courbe à laquelle elle appartient.

 

 

V ) Signification  cinématique de la dérivée :

 

 

    Imaginons un mobile « m » , animé d’un mouvement varié mais continu , d’équation  y  = f (t)    ( lire :en fonction du temps) et parcourant la droite y’y .

 

Il passe au point A au temps t1  et au point  B au temps t1 +Dt .

Si nous désignons par Dy la distance AB , le rapport    mesure la vitesse moyenne du mobile entre  A et B . Si nous réduisons de plus en plus l’intervalle de temps Dt  , la longueur Dy décroît aussi de plus en plus , et le rapport     tend vers une limite déterminée qui est la vitesse du mobile au point A ; or du point de vue mathématique , la valeur limite  du rapport     lorsque Dt s’évanouit  est la dérivée de l’espace par rapport au temps dans laquelle on donne à « t »  la valeur t1  .

 

 

 

VI )  Signification « physique » de la dérivée.

 

D’une manière générale, la dérivée exprime une idée de variation instantanée, de vitesse.

Ainsi nous avons vu que pour un mouvement quelconque, la « vitesse » est la dérivée de l’espace e = f ( t)  par rapport au temps.

 

On écrit :  

 

L’ «  accélération » est la dérivée de la vitesse  « v » =  j  ( t )  lire « par rapport au temps »  

 

On écrit :  

 

Autre signification :

-   L’intensité   ( I ) du courant électrique de décharge d’un condensateur est la dérivée de la quantité d’électricité en mouvement par rapport au temps.

On écrit : 

- la force électromotrice  (e)  d’induction est proportionnelle à la vitesse de variation du flux, c’est à dire à la dérivée du flux par rapport au temps.

 

On écrit   

( « k »  étant un coefficient qui dépend des unités choisies.)

 

 

 

 

VII ) Résumé (niv IV) :

 

Définition de la dérivée : soit une fonction y = f (x) définie et continue* dans un intervalle  ( a ; b ) .

« x0 » une valeur de la variable et  « x0  + ∆ x » une valeur voisine , appartenant toutes deux à l’intervalle ;

« y0 » et  « y0 + ∆y » les valeurs correspondant de la fonction.

 

Nous formons le rapport :

 

quand l’accroissement donné à « x » tend vers « 0 », l’accroissement résultant de ∆y tend aussi vers « 0 » (continuité) et le rapport précédent se présente sous la forme   ( voir info +)

 

On appelle « dérivée de la fonction  f (x) » pour la valeur « x0 »de la variable, la limite ( si elle existe) du rapport  de l’accroissement de la fonction à l’accroissement de la variable, quand ce dernier (∆ x) tend vers zéro.

On la désigne par  y0  =  f ‘ ( x0 )

 

 

En général , à tout valeur « x0 » d’un intervalle , correspond une valeur f ‘ (x0) de la dérivée.

 La dérivée est donc une nouvelle fonction de « x » ; on la désigne y ‘ = f ‘ (x).

 

Exemple :   y = f(x)   = a x²   ( « a » est un nombre donné)

 

1°) nous cherchons si cette fonction admet une dérivée pour  x = -3.

 

- Calcul de « ∆ y » =   f ( - 3 + ∆ x) - f (-3)  

                           f (-3)   =  9 a  

  et 

               f ( - 3 + ∆ x)   =  a ( - 3 + ∆ x)² 

                                     = 9 a - 6 a  ∆ x + a  (∆ x)²  

 

donc   ∆ y  = (9 a - 6 a  ∆ x + a  (∆ x)²  ) - ( 9 a )

 

soit     ∆ y  = - 6 a  ∆ x + a  (∆ x)² 

 

 

- Calcul de       

 

pour ∆ x  = 0 ,      a pour limite  «  -6a »

 «  y = a x² » admet donc  , pour « x= -3 » , une dérivée égale à :  f ‘ ( - 3) = - 6a

 

Info : On dit aussi que le nombre dérivé est « -6a »

Lorsque l’on étudiera une fonction ; dans la représentation graphique de la courbe représentant cette  fonction , on mettra en relation le nombre dérivé et le coefficient directeur de  la tangente en un point donné de la courbe.

 

Recommençons le même calcul, avec la valeur « x0 » de la variable.

       f ( x0) = a x 0²

 

et     f ( x0 + ∆ x ) = a x 0² + 2 a x 0 (∆ x) + a (∆ x)²

 

donc     ∆ y  = 2 a x 0  (∆ x) + a  (∆ x)² 

 

 

 

soit         

 

 

Pour ∆ x = 0 ,    a pour limite  « 2 a x0 »

 

Pour  «  y = a x² » admet donc , pour x0 , une dérivée égale à  f ‘ (x0) = 2 a  x0 

 

Remarque :

 ce calcul montre que pour toute valeur x0 de « x » , il existe une dérivée    f ‘ ( x0) = 2 a x0 . En d’autres termes la dérivée de  f (x) =  a x² est une nouvelle fonction de « x » , f ‘ (x) = 2 a x

 

 Revoir dans ce cours la signification géométrique de la dérivée.( chapitre IV)

 

*Information sur une  « fonction continue »  ou  « continuité » :

Soit une fonction  y = f(x) définie dans un intervalle donné ( a ; b) , on dit « qu’ elle est continue pour une valeur x 0 de cet intervalle si elle a pour x 0 une valeur bien déterminée  f ( x0) , et si , lorsque « x » tend vers « x 0 » ,   sa limite est précisément  f ( x0). (voir cours sur les limites)

 

 

 

 

 

 

 

CONTROLE : aucun travail de prévu.

 

EVALUATION:

 

 

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