Pré requis: 

  1. Pré requis : Notions sur les « limites »

 

  1. « Factoriser »      et    « développer »

 

  1. Info + diviser par 0 +

 

  1. Les identités remarquables

 

  1. Calcul numérique (calculs avec des relatifs contenant des  carrés)

 

  1. Etudier une équation du second degré

 

  1. lecture : la dérivée   « accroissement » « limites »  (notion)

 

 

Index   : warmaths

Objectif précédent  

  1. Les racines « n »ième  
  2. Puissance nième
  3. Dérivée (approches)

Objectif suivant

1°)Les dérivées

2°) Les fonctions

3°) dérivées : études générales

4°) compléments d’informations.

    DOSSIER: « Dérivées »

THEORIES sur 

« Accroissements»

et 

« limites » :

Définitions : 

 

 

Limite d’une fonction :  f(x)

 

 

Opérations sur les limites :

 

 

Forme indéterminée. «  » .

 

 

 

 

 

 

                TEST

          

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                        

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

Accroissements :

 

 

 

 

 

Quand on passe d’une valeur « x0 » à une valeur « x1 », on dit que « x » a reçu l’accroissement « x1 - x0 ».

Cet accroissement se désigne par l’écriture  «  x »  ( ce groupe de deux lettres constitue un symbole unique, jouant le même rôle qu’une seule lettre.)

L’accroissement «  x »  peut être positif  ou  négatif.

De telle sorte que :

 

 

 

« x =  x1 - x0 ».

Ou

«   x1  = x0  + x »  

 

 

 

 

 

 

Soit « y » désigne une fonction de « x »  définie dans un certain intervalle ;

 

 

               -   « x0 »  et « x1 »  deux valeurs de « x » appartenant à l’intervalle  ,

 

 

               -   « y0 »  et « y1 »  deux valeurs correspondantes de « y »

n

 

 

 

 

Nous appellerons « accroissement de « y » » correspondant à l’accroissement de « x » , la différence « y1  -  y0 »  et nous la désignerons par « «  y » .  

 

 

 

 

 

L’accroissement  de « x » 

« x =  x1 - x0 ».

Valeur finale de « x »

«   x1  = x0  + x »  

 

 

L’accroissement  de « y » 

« y =  y1 - y0 ».

Valeur correspondante de « y »

«   y1  = y0  + y »  

 

 

 

 

 

Exemple : soit la fonction : y = 2 x² - 7 x + 5

 

 

 

 

 

 

 

Cas 1 : on fixe « x0 = 2 »

 

 

 

 

1er couple de valeur :

 

 

 

« x0 = 2 »

y0 =  8 – 14 + 5

y0 =  - 1

2éme  couple de valeur :

y = 2 x1² - 7 x1 + 5

 

«   x1  = 2  + x »  

y1 = 2 (2  + x ) ² - 7 (2  + x )  + 5

y1 = - 1 +  x  +  2 ( x )²

 

 

 

 

Les accroissements correspondants sont :

 

 

 

« x »

et

«  y » =   x  +  2 ( x )²

 

 

 

 

 

 

Cas 2 :  Refaisons le même calcul , mais sans préciser la valeur initiale :

 

 

 

1er couple de valeur :     « x0  »   et  « y 0 = 2 x0² - 7 x 0 + 5 »

 

 

 

2éme  couple de valeur :                                        

 

 

 

 

«   x1  = x0  + x »

y1 = 2 (x0  + x ) ² - 7 (x0  + x )  + 5

 

y1 = 2 x02  - 7 x0  +  5 + ( 4 x0  - 7)    + 2 ( x )²

 

 

 

 

Les accroissements  correspondants sont :    :                    et              y = ( 4 x0  - 7)    + 2 ( x )²

 

 

 

 

 

 

Voir la définition de la dérivée…………

 

 

 

 

Limites :

 

 

 

 

 

Définitions : 

 

 

1°) On dit que la variable « x » tend vers le nombre donné  « a » quand elle prend des valeurs de plus en plus voisines de « a ».

 

 

C'est-à-dire telles que la  différence  (lire « valeur absolue) deviennent et reste inférieure à tout nombre positif arbitraire «  » (lire :epsilon)  , si possible soit-il , fixé à l’avance.

 

 

« x »  « a »   si pour tout  «   > 0 » , on a finalement :      <

 

 

Notons que « x » tend vers « a » par valeurs supérieures  si «  x – a » reste positif , par  valeurs inférieures  si «  x – a » reste négatif

 

 

D’autre part , il revient au même de dire que « x » tend vers « a » ou que ( x – a ) tend vers zéro.

 

 

 

 

 

2°) On dit que la variable « x » tend vers  « +  »  quand elle prend des valeurs de plus en plus grandes ,

 

 

 

C'est-à-dire  finalement supérieures  à tout nombre positif arbitraire « A »  , si grand soit – il , fixé à l’avance .

 

 

 

« x »  « +  »  si pour tout  « A  > 0 » , on a finalement :     « x < A »

 

 

De même :

 

 

« x »  « -   »  si pour tout  « A  > 0 » , on a finalement :     « x < - A »

 

 

 

 

 

Limite d’une fonction :  f(x)

 

 

On dit que la fonction f(x) admet le nombre « b » pour limite quand « x » tend vers « a », s’il est possible de choisir « x » suffisamment voisin de « a » pour que f( x )  soit aussi rapproché de « b » qu’on le désire. 

 

 

 

Exemple :  la fonction  y =   

 

 

 

 

 

 

 

 

  2 x + 1

x - 1

 

 

 

( x – 1) ( 2) =  ( 2 x -2) qui devient par soustraction

-2 x  +2

2

 

 

Reste :

              0 x + 3

 

 

la fonction  y =   c’est   aussi :   y =      tend vers « +2 » lorsque   « x » tend vers « +  »  , car on obtient   :       0 < y – 2 <   pour 

 

 

 

 

 

Elle tend vers :  +  »   quand « x »  tend vers « 1 » par valeurs supérieures ,

car on obtient «  y – 2 A <  x – 1 <     ou    1  < x < 1 +

 

 

Elle tend vers « +3 » lorsque « x » tend vers « +4 » . Car pour obtenir     « | y - 3 | » <   ; soit  « <  » il suffit , tout au moins pour «  <  » ; de  prendre  ; on écrit :

 

 

 

Lim

  =  + 3

 

 

 

 

 

x  4

 

 

 

 

 

 

 

D’une façon précise :

 

 

La fonction «  y = f( x ) » admet la limite « b » lorsque « x » tend ver s « a », si à tout nombre positif arbitraire «  » on peut faire correspondre un nombre positif «  » tel que la relation  «  »  entraîne «  ».

 

 

La fonction « f( x ) » n’est pas obligatoirement définie pour « x= a » , mais elle doit l’être au voisinage de « a » pour « x > a » ou « x < a » . C’est précisément quand « f (a) » n’est pas définie pour « x = a » qu’il importe le plus souvent de pouvoir trouver la limite de « f ( x ) »quand « x » tend vers « a ».

 

 

 

 

 

 

 

 

Opérations sur les limites :

 

 

La recherche des limites est facilitée par les résultats suivants  que nous admettrons :

 

 

Si , lorsque « x » tend vers « xo »  les fonctions  «  u ( x ) » ; «  v ( x) » , «  w (x ) » admettent respectivement les limites :  «  u o » ; «  v o » , «  w o» : 

 

 

 

 

 

 1°) La somme  «  u + v + w »   admet pour limite «  u o +  v o +  w o» 

 

 

 

 2°) Le produit   «  u  v »     admet pour limite «  u o   v o » 

 

 

3°)   Si  v o   0  , le quotient  admet pour limite

 

 

 

 

Si , A ; B ; C sont des constantes :

-          la limite  «  Au » est  «  A u o »

-          la limite de la somme algébrique  «  A u + B v + C w »  est  «  A u 0 + B v 0 + C w 0 » 

-          ET

-           «  u m » admet pour limite :   « «  u 0 m »

-           «  »  admet pour limite :   « »

 

 

 

Il en résulte que :

 

 

Toute fonction algébrique  «  f ( x) » , définie pour «  x = x0 » , admet pour limite  «  f ( x 0) » lorsque « x » tend vers «  x0 » .

 

 

 

 

 

Exemple :  Ainsi si « x » tend vers « +4 » la  fonction :   admet pour limite :   = 2

 

 

 

 

 

On peut dans certain cas compléter les résultats ci-dessus :

 

 

Si « u » admet pour limite «  u 0 »   tandis que « v » tend vers « +  » :

-          la somme «  u + v » tend vers « +  »,

-           le produit « u v »tend vers « +  » ; si « u0 » est positif 

-          si « u0 » est négatif , le produit tend vers   « -  » 

-          Le quotient «  » tend vers « 0 »

 

 

 

 

 

Si « v » tend vers « 0 » par valeurs positives , son inverse «  » tend vers « +  » le quotient  «  » tend vers « +  » si « u0 » est positif ;   si  « u0 » est  négatif  le quotient  «  » tend vers « -  » 

 

 

 

 

 

Forme indéterminée. «  » .

 

 

Si les deux fonctions  «  u ( x ) » et «  u ( x ) » s’annulent toutes deux pour «  x = x 0 » ; leur quotient «  «  prends pour «  x = x 0 »  la forme indéterminée  «  »  

 ( l’égalité «  y .( 0) = 0 »  étant vérifiée quel que soit « y »).

Il faut donc un calcul direct pour déterminer la limite de ce quotient lorsque « x » tend vers    «   x 0 » 

 

 

 

 

 

              Exemple : soit  la fraction   

 

 

: Pour « x = 2 » , la fraction  prend la forme «  »       ( on va factoriser les deux polynômes pour obtenir  )

 

 

Pour « x2 » , on peut écrire    : y =  ; après simplification :   y =

Info résoudre ..

 

 

 

 

Lorsque « x » tend vers « 2 » , la limite de « y » est  de «  »  soit  (après calcul)  «  » .

On exprime parfois ce fait en disant que  «  »   est la « vraie valeur » de « y » pour « x = + 2 »

 

 

 

 

 

En général :

 

 

Si une fraction rationnelle « F ( x ) » se présente sous la forme «  »    pour «  x = x 0 »  elle admet , lorsque « x » tend vers « x 0 » la même limite que la fraction «  F1 ( x ) » obtenue après simplification par «  x - x 0 » 

 

 

Le plus souvent la fraction simplifiée «  F1 ( x ) » est définie pour «  x = x 0 » et cette limite est égale à «  F1 ( x0 ) »

 

 

 

 

 

 

 

 

CECI TERMINE CE COURS …….

 

 

Refaire les exercices ……                                                    

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l>