Pré requis: 

 

Puissance « nomenclature »

3D Diamond

 

 

racine « nomenclature »

3D Diamond

 

ALGEBRE

 

Index       

Objectif précédent   Sphère metallique

2°) Puissances d’opérations simples.

)Racines d’opérations simples.

4°) Formation niveau V.

Objectif suivant :

1°) préparation de concours Sphère metallique

)calcul algébrique : Produits ( niveau 4)

 

Tableau     Sphère metallique

1°) Liste des cours sur les puissances et racines.

2°) Formation niveau IV.

 

 

 

 

 

 

 

 

RESUME : RACINES   nième /  PUISSANCES nième

 

TEST

 

COURS

                Boule verte

Devoir  Contrôle Boule verte

Devoir évaluation Boule verte

Interdisciplinarité

                        Boule verte

 

Corrigé Contrôle  Boule verte

Corrigé évaluation  Boule verte

 

 

 

 

COURS

 

 

 

 

 

RACINES D' UN NOMBRE  RELATIF :

 

 

 

 

 

I ) Nomenclature  :       Ecriture mathématique:

 

   Définition de l’objectif : Savoir « donner » le radical d’un nombre. ;    (On dit aussi donner la racine « carrée  ou cubique d’un nombre »)

 

a)  « Radical »

                Le mot « Radical » est le nom donné au signe :                

 

                Ce signe  est constitué d’un « vé » prolongé par une barre horizontale.(recouvrant totalement un nombre ou une opération ).

 

  Exemples  : 

  ;  ;  ;

 

b ) « Radicande »

 

Le nombre (ou opération)  situé sous la barre horizontale s’appelle : radicande

 

c ) Ce qui  gravite autour de ce  signe :

                                      la barre horizontale prolongeant le « vé » couvre la partie numérique(exemple  ; ici  25 est le radicande ).

 

 

 


sur la branche la plus courte du « vé » (à gauche) est inscrit un nombre ;  (qui  indique

le degré de la racine carré pour le nombre (2) ;cubique  pour le nombre (3) , ou quatrième pour le nombre  (4) ;ainsi de suite.........                  

 

La pointe du vé étant sur la ligne d’écriture.

 

 


 

CAS   GENERAL:  RACINE   n ième  d’un nombre et Puissance n ième    

 

                     La « racine » d’un nombre « X » est l’opération inverse de la puissance qui tend à trouver le nombre « x »de départ qui à permit de calculer  X .

                        en faisant     le calcul de     xn   on obtient un nombre " X " ;                donc  inverse en  faisant le calcul  X1/n    on retrouve le nombre " x"

 

 

 

       En ayant  « X »   est « n »  ;on demande de retrouver « x » ; pour cela on utilise l écriture

 

   =   x =

 

 ( sachant que l’on a admis    que     x n =X   )

 

 

Remarque: La racine  « n » est égale à la puissance inverse de « n ».

 

On écrit aussi que      =         ; ces deux écritures mathématiques ont la même signification;(Cette écriture est  utilisée  dans l'objectif « dérivation et intégration » .

 

 

 

 - Remarques :   les écritures   de la forme      ;telle que        et          sont souvent utilisées  sur les  calculatrices (pour effectuer la même opération ,cela dépend des marques ).

 

 

A savoir :

-S i   x y  = X   , alors  x   =  

 

               (traduction : si le nombre petit ixe  à la puissance y  a pour résultat ( est égal ) le nombre grand   ixe ,alors le nombre petit ixe est égal à la racine hi grec ième  du nombre grand ixe. )

 

 

 

 

 

 

Exercices les plus exécutés :

 

 

 

 

Soit une valeur de x

on pose  x y

le résultat de x y     est   X

on fait le calcul de   =(racine nième )

le résultat de  est   x

soit

si      x  =

x y

calculons   X

   =

=  x

5

52

25

 =

= 5

3

33

27

 ==

=  3

7

74

2401

 ==

= 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Commentaire:

il n’y a pas de difficulté à calculer  la puissance d’un nombre (x y );il n’en est pas de même pour calculer la racine nième d’un nombre :

 

 

Comment obtenir la valeur d’une racine  d’un nombre ?

 

 

OBTENTION DE LA RACINE N ièmè  D’UN NOMBRE

 

Pour obtenir la racine nième d’ un nombre ( exemple :  ) il y a plusieurs possibilités:

 

  a)  soit par le calcul: Il est possible de calculer la racine carré d’un nombre; cela fait l’objet d’une leçon particulière.(c’est le seul cas de calcul qui peut être accessible à un élève). ( voir les logarithmes) .

 

  b)  Soit par identification: il faut connaître et donc reconnaître les carrés parfaits.

 

 

c)      Pour tous les autres cas il vous faut consulter une table numérique (recensant tous les calculs faits à l’avance )

 

 

 d)    ou alors il vous faut apprendre à utiliser la calculatrice.

 

 

 

Autres écritures  utilisées par les calculatrices:     signifiant que l’on calcule le radical d’un nombre.

 

 

 

a)            est  =   à       .  (que l’on traduit par « racine » y ième de X )

 

 

 b)          est  =  à          .  (que l’on traduit par « racine » x ième de  y )

 

RACINES D' UN NOMBRE  RELATIF

 

Deux cas renfermant deux cas  :

 

 

 

   "y" est paire

  "y" est impaire

"x" est positif

"x" est négatif

"x" est positif

"x" est négatif

Exemple:

Résultat = (+5)

Exemple:

Résultat  impossible; le carré d'un nombre est toujours positif

Exemple :

Résultat : (+3)

Exemple :

Résultat : (-3)

Calcul  possible

Calcul  impossible

Calcul  possible

Calcul  possible

 

 

Cas  d'un calcul courant d'algèbre  à maîtriser :

 

 On donne  x 2 = (+25) ; quelle est la valeur de "x" ?

 

Réponse : "x"  vaut (+5) ou (-5)

Raison :

 (+5)(+5) =(+25)  ; (-5)(-5) = (+25)

Réponse:

 

On fait la racine carrée de "25" ; on trouve  "5"

"5" est la valeur absolue de "x" ;

conclusion ;on peut donner deux valeurs à "x":

x= (+5)

x= (-5)

 

  :

                                                                                                          

 

 

 

 

 

 

 

 

Relations entre les écritures mathématiques  de  la "RACINE N ième " et la  " PUISSANCE N ième "  D’UN NOMBRE et d'une opération simple

 

 

EN RESUME  :

Rappel  

                      xn

Peut s'écrire =

 

 

Ecriture avec le radical :

Ecriture équivalente

Sans radical

Développement ou simplification :

résultat

  =

x

 

 

() n  =

 

(x ) n

x   = x = x

x1   = x

() n  =

 

((x n ))n

((x  )) = x

= x n

 =

 

(x  y )

x  y

 

 

  =

x  y

 

 

 

   =

()

 

 

=

()

 

 

      =

 

 = = x

 

 

 =

 

 

 

=

 

Aucune transformation possible

(x + y)

 

+  =

 

Aucune transformation possible

x + y  =

 

 

=

 

Aucune transformation possible

(x - y)

 

-=

 

Aucune transformation possible

x - y

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS :

 

 

 

 

 

CONTROLE

 

Que signifie: calculer le radical d’un nombre ?

 

Donner l’écriture utilisée sur les calculatrices  pour effectuer la recherche d’un radical d’un nombre.

 

Quelles sont les possibilités d’obtenir la valeur numérique  de la racine n ième d’un nombre ?

 

Ecrire différemment  les expressions  suivantes :  (forme d'écriture : puissance )

 

 

 

 

 

 

 

 

Rappel

xn

 

 

 

Ecriture avec le radical :

 

 

 

  =

 

 

 

() n  =

 

 

 

 

() n  =

 

 

 

 

 =

 

 

 

 

  =

 

 

 

   =

 

 

 

=

 

 

 

      =

 

 

 

 

 =

 

 

 

 

=

 

 

 

 

+  =

 

 

 

 

=

 

 

 

 

-=

 

 

 

 

 

 

 

 

EVALUATION:

 

 

 

 

 

 

Trouver les racines carrées parfaits des multiples de dix:

de 100  à 10 8

si elles existent ! pour  100  ;101 ; 102 ;  103 ;  104  ; 105 ; 106  ;10 7 ; 10 8;

 

Première série d ’exercices :

 

soit  un nombre « x » ; trouver la racine carrée du nombre :

 

x =0.25  ;  =

 

x = 7,29  ;  =

 

x = 33,64   ;  =

 

x = 81    ;  =

 

x = 291 600   ;  =

 

x = 2 744 000    ;  =

 

x = 1,5746108    ;  =

 

II  )Deuxième série d’exercices en relation avec la racine carrée  d’un produit:

 

=

 =

 =

 =

 =

 =

 

donc :  ==

 

III ) Troisième série d’exercices en relation avec  la racine d’un quotient:

Ces exercices utilisent des carrés parfaits

 

 =

 =

 

 =

 

Se ramener aux carrés parfaits; en se souvenant que tout nombre « à virgule » peut se mettre sous forme de fraction de dénominateur égal a ...........

 

=

  =

 

 

 

IV ) Quatrième série  d’exercices en relation avec la racine carrée d’une  addition ou d’une soustraction , et les transformations

 

  a)    =

 

   b )  =

 

    c ) =

    d  ) =

e ) =

f ) =

g ) =

h ) =

k ) =

 

 

V  ) Cinquième série d’exercices: Donner une valeur approchée d’une racine d’un nombre

 

1 ° ) Calculer les expressions  suivantes avec la précision du  dixième

 

 =

 =

 =

 

2 ° ) Calculer les expressions  suivantes avec la précision du  centième

 =

 =

 =

 

3 °) Calculer les expressions  suivantes avec la précision du millième

 =

 =

 =

 =

 =

 

 

 

 

 

 

 

 

dy>