Pré requis: 

Puissance « nomenclature »

racine « nomenclature »

ALGEBRE

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Objectif précédent  

2°) Puissances d’opérations simples.

)Racines d’opérations simples.

4°) Formation niveau V.

Objectif suivant :

1°) préparation de concours

)calcul algébrique : Produits ( niveau 4)

 

Tableau    

1°) Liste des cours sur les puissances et racines.

2°) Formation niveau IV.

RESUME : RACINES   nième /  PUISSANCES nième

I ) Nomenclature 

 

RACINES D' UN NOMBRE  RELATIF

 

TEST

 

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                        

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

 

 

COURS

 

 

I ) Nomenclature  :       Ecriture mathématique:

 

   Définition de l’objectif : Savoir « donner » le radical d’un nombre. ;    (On dit aussi donner la racine « carrée  ou cubique d’un nombre »)

 

a)  « Radical »

                Le mot « Radical » est le nom donné au signe :                

 

                Ce signe  est constitué d’un « vé » prolongé par une barre horizontale.(recouvrant totalement un nombre ou une opération ).

 

  Exemples  : 

  ;  ;  ;

 

b ) « Radicande »

 

Le nombre (ou opération)  situé sous la barre horizontale s’appelle : radicande

 

c ) Ce qui  gravite autour de ce  signe :

                                      la barre horizontale prolongeant le « vé » couvre la partie numérique(exemple  ; ici  25 est le radicande ).

 


 

                                                      

 


sur la branche la plus courte du « vé » (à gauche) est inscrit un nombre ;  (qui  indique

le dégré de la racine carré pour le nombre (2) ;cubique  pour le nombre (3) , ou quatrième pour le nombre  (4) ;ainsi de suite.........                 

 

La pointe du vé étant sur la ligne d’écriture.

 

 


 

CAS   GENERAL:  RACINE   n ième  d’un nombre et Puissance n ième    

 

                     La « racine » d’un nombre « X » est l’opération inverse de la puissance qui tend à trouver le nombre « x »de départ qui à permit de calculer  X .

                        en faisant     le calcul de     xn   on obtient un nombre " X " ;                donc  inverse en  faisant le calcul  X1/n    on retrouve le nombre " x"

 

 

 

       En ayant  « X »   est « n »  ;on demande de retrouver « x » ; pour cela on utilise l écriture

 

   =   x =

 

 ( sachant que l’on a admis    que     x n =X   )

 

 

Remarque: La racine  « n » est égale à la puissance inverse de « n ».

 

On écrit aussi que      =         ; ces deux écritures mathématiques ont la même signification;(Cette écriture est  utilisée  dans l'objectif « dérivation et intégration » .

 

 

 

 - Remarques :   les écritures   de la forme      ;telle que        et          sont souvent utilisées  sur les  calculatrices (pour effectuer la même opération ,cela dépend des marques ).

 

 

A savoir :

-S i   x y  = X   , alors  x   =  

 

               (traduction : si le nombre petit ixe  à la puissance y  a pour résultat ( est égal ) le nombre grand   ixe ,alors le nombre petit ixe est égal à la racine hi grec ième  du nombre grand ixe. )

 

 

 

 

 

 

Exercices les plus exécutés :

 

 

 

 

Soit une valeur de x

on pose  x y

le résultat de x y     est   X

on fait le calcul de   =(racine nième )

le résultat de  est   x

soit

si      x  =

x y

calculons   X

   =

=  x

5

52

25

 =

= 5

3

33

27

 ==

=  3

7

74

2401

 ==

= 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Commentaire:

il n’y a pas de difficulté à calculer  la puissance d’un nombre (x y );il n’en est pas de même pour calculer la racine nième d’un nombre :

 

 

Comment obtenir la valeur d’une racine  d’un nombre ?

 

 

OBTENTION DE LA RACINE N ièmè  D’UN NOMBRE

 

Pour obtenir la racine nième d’ un nombre ( exemple :  ) il y a plusieurs possibilités:

 

  a)  soit par le calcul: Il est possible de calculer la racine carré d’un nombre; cela fait l’objet d’une leçon particulière.(c’est le seul cas de calcul qui peut être accessible à un élève). ( voir les logarithmes) .

 

  b)  Soit par identification: il faut connaître et donc reconnaître les carrés parfaits.

 

 

c)      Pour tous les autres cas il vous faut consulter une table numérique (recensant tous les calculs faits à l’avance )

 

 

 d)    ou alors il vous faut apprendre à utiliser la calculatrice.

 

 

 

Autres écritures  utilisées par les calculatrices:     signifiant que l’on calcule le radical d’un nombre.

 

 

 

a)            est  =   à       .  (que l’on traduit par « racine » y ième de X )

 

 

 b)          est  =  à          .  (que l’on traduit par « racine » x ième de  y )

 

RACINES D' UN NOMBRE  RELATIF

 

Deux cas renfermant deux cas  :

 

 

 

   "y" est paire

  "y" est impaire

"x" est positif

"x" est négatif

"x" est positif

"x" est négatif

Exemple:

Résultat = (+5)

Exemple:

Résultat  impossible; le carré d'un nombre est toujours positif

Exemple :

Résultat : (+3)

Exemple :

Résultat : (-3)

Calcul  possible

Calcul  impossible

Calcul  possible

Calcul  possible

 

 

Cas  d'un calcul courant d'algèbre  à maîtriser :

 

 On donne  x 2 = (+25) ; quelle est la valeur de "x" ?

 

Réponse : "x"  vaut (+5) ou (-5)

Raison :

 (+5)(+5) =(+25)  ; (-5)(-5) = (+25)

Réponse:

 

On fait la racine carrée de "25" ; on trouve  "5"

"5" est la valeur absolue de "x" ;

conclusion ;on peut donner deux valeurs à "x":

x= (+5)

x= (-5)

 

  :

                                                                                                          

 

 

 

 

 

 

 

 

Relations entre les écritures mathématiques  de  la "RACINE N ième " et la  " PUISSANCE N ième "  D’UN NOMBRE et d'une opération simple

 

 

EN RESUME  :

Rappel  

                      xn

Peut s'écrire =

 

 

Ecriture avec le radical :

Ecriture équivalente

Sans radical 

Développement ou simplification :

résultat

  =

x

 

 

() n  =

 

(x ) n

x   = x = x

x1   = x

() n  =

 

((x n ))n

((x  )) = x

= x n

 =

 

(x  y )

x  y

 

 

  =

x  y

 

 

 

   =

()

 

 

=

()

 

 

      =

 

 = = x

 

 

 =

 

 

 

=

 

Aucune transformation possible

(x + y)

 

+  =

 

Aucune transformation possible

x + y  =

 

 

=

 

Aucune transformation possible

(x - y)

 

-=

 

Aucune transformation possible

x - y

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS :

 

 

 

 

 

CONTROLE

 

Que signifie: calculer le radical d’un nombre ?

 

Donner l’écriture utilisée sur les calculatrices  pour effectuer la recherche d’un radical d’un nombre.

 

Quelles sont les possibilités d’obtenir la valeur numérique  de la racine n ième d’un nombre ?

 

Ecrire différemment  les expressions  suivantes :  (forme d'écriture : puissance )

 

 

 

 

 

 

 

 

Rappel

xn

 

 

 

Ecriture avec le radical :

 

 

 

  =

 

 

 

() n  =

 

 

 

 

() n  =

 

 

 

 

 =

 

 

 

 

  =

 

 

 

   =

 

 

 

=

 

 

 

      =

 

 

 

 

 =

 

 

 

 

=

 

 

 

 

+  =

 

 

 

 

=

 

 

 

 

-=

 

 

 

 

 

 

EVALUATION:

 

 

Trouver les racines carrées parfaits des multiples de dix:

de 100  à 10 8

si elles existent ! pour  100  ;101 ; 102 ;  103 ;  104  ; 105 ; 106  ;10 7 ; 10 8;

 

Première série d ’exercices :

 

soit  un nombre « x » ; trouver la racine carrée du nombre :

 

x =0.25  ;  =

 

x = 7,29  ;  =

 

x = 33,64   ;  =

 

x = 81    ;  =

 

x = 291 600   ;  =

 

x = 2 744 000    ;  =

 

x = 1,5746108    ;  =

 

II  )Deuxième série d’exercices en relation avec la racine carrée  d’un produit:

 

=

 =

 =

 =

 =

 =

 

donc :  ==

 

III ) Troisième série d’exercices en relation avec  la racine d’un quotient:

Ces exercices utilisent des carrés parfaits

 

 =

 =

 

 =

 

Se ramener aux carrés parfaits; en se souvenant que tout nombre « à virgule » peut se mettre sous forme de fraction de dénominateur égal a ...........

 

=

  =

 

 

 

IV ) Quatrième série  d’exercices en relation avec la racine carrée d’une  addition ou d’une soustraction , et les transformations

 

  a)    =

 

   b )  =

 

    c ) =

    d  ) =

e ) =

f ) =

g ) =

h ) =

k ) =

 

 

V  ) Cinquième série d’exercices: Donner une valeur approchée d’une racine d’un nombre

 

1 ° ) Calculer les expressions  suivantes avec la précision du  dixième

 

 =

 =

 =

 

2 ° ) Calculer les expressions  suivantes avec la précision du  centième

 =

 =

 =

 

3 °) Calculer les expressions  suivantes avec la précision du millième

 =

 =

 =

 =

 =

 

 

 

 

 

 

dy>