Auteur : WARME R.

 

MATHEMATIQUES :Niveau V.

 

 

DOSSIER  n°4 / 25

 

 

DOSSIER : ELEVE.

 

 

PUISSANCES et RACINES

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

NOM : …………………………………

Prénom : ………………………………..

 

Classe :…………………..

 

Année    scolaire : ……………………………….                                          

Date : ………………………

 

Formation : Validation :   OUI   -  NON

Le : 

 

 

 

  • remédiation : ces documents peuvent être réutilisés ( tout ou partie) pour conclure et confirmer  une formation .

 

Leçon n° 4 / 25

Leçon

Titre

N°4

PUISSANCES et RACINES

« avec »    des nombres décimaux positifs  ( D + )

 

( Info :  Ensemble de nombres noté : D+ )

 

 CHAPITRES :

Validation

Carré d’un nombre.

Ÿ

Cube d’un nombre.

Ÿ

Puissance de 10.

Ÿ

Ecriture scientifique d’un nombre.

Ÿ

Racine carrée.

Ÿ

COURS

 

 

i9  

1° Carré d’un nombre

Cd  :i  ³INFO

Définition :

Le « carré d’un nombre » est le produit de ce nombre par lui-même .

Exemple :     3 ²   devient le produit      3  ´  3      ou     x ²  =  x ´ x

 

 Cette écriture est une simplification de l’écriture d’une multiplication  d’un nombre par lui même.

 

a) Ecriture normalisée 

 

Le  « 2 »   est appelé :  exposant  2  ou puissance 2  ou « carré »

  =  X  ´  X

On multiplie le nombre « x » par le nombre   « x »

 

iAttention : en algèbre le signe  « multiplié : ´ » n’est plus employé . Il est parfois remplacé par un point  , ainsi  l’écriture :   X  ´  X  est remplacée par X .X ou par la nouvelle écriture :     

 

+Activité 1 

 

Reconnaître  l’écriture d’un carré d’un nombre entier

 

Exemple 1 :      calculer 3²

 

   s’écrit aussi     3       3      ( =    9 )

 

Remarque : le carré d’un nombre entier est appelé :     «  carré parfait »

 

Le calcul se fait de tête : calcul mental ; Le calcul ne peut se  faire  de « tête » .Il faut poser la multiplication !

 

+Activité 2 

 

Reconnaître  l’écriture d’un carré d’un nombre décimal

 

Exemple 2 : calculer 3,45 ²

 

                                    3,45 ² =  3,45   3,45      (  =   11,9025 )

Remarque        : En l’absence de calculatrice  on posera  l’opération et l’on fera le calcul .

 

b)  Calcul du carré d’un nombre    ( pour obtenir le carré d’un nombre on dispose de  3 possibilités) .

 

Solution 1 :    on fait le calcul à la main  , on pose l’opération  et on fait   la multiplication de « x »  par « x » :

 

Exemple

Enoncé : calculer 3,45 ²     on pose l’opération :

 

 

           3,45

        3,45

-----------------

             1 7 2 5

     1 3 8 0 .

  1 0 3 5  . .

-----------------

  1 1, 9 0 2 5

 

 

 

Réponse   3,45 ²  =11,9025

 

Solution 2 : On utilise la calculatrice,  on tape  la multiplication        3,45   3, 45

 

Attention : le point remplace la  virgule ! ! ! ! !On tape successivement :

 

 

3

.

4

5

3

.

4

5

=

            Lecture d’écran : 11 . 9025 

 

Réponse   3,45 ² = 11,9025

 

Solution 3  :   On utilise  la calculatrice , on se  sert de la touche   x ²

On peut calculer le « carré » d’un nombre  « x » avec la calculatrice avec la touche :   

 

Exemple 3:    calculer      avec   x =    13, 24

 soit     x ²  =  13,24  ²

On tape  sur les touches  successivement :

Attention : le point remplace la  virgule ! ! ! ! 

 

1

3

.

2

4

=

   175.2976

175. 2976  ,lorsque l’on  reportera le résultat il faut  remplacer  le point  par la virgule .

On écrira  donc : 13, 24 ²  =  175,2976

 

APPLICATIONS courantes  : (@ info plus)

 

   Les unités :

            (1   1 m)   fois  ( 1   1 m)   =  (1   1 m ) ( 1   1 m )  =  1 ²    1 m ²  =  1   m ² 

ce qui fait dire que :

 si  l’on multiplie des mètres par des mètres on obtient des mètres carrés que l’on note   m  m  = m²

 

    Aire du carré :        A  = c²    ; si « c »   = 3  m   alors   c² = ( 3 m ) ²     soit   A = 9 m²

 

   Aire d’un disque :

    A   =  3,14 R²    ;  si    R = 3 m          alors         A  =  3,14   3 m    3 m    ;  A =  28,26 m²   

i9  

2°) Cube d’un nombre

Cd :i ³ INFO plus ! ! ! ! :   2

Définition :

Le « cube  d’un nombre »  est le produit de trois facteurs  (³) égaux à ce nombre

 

. Exemple  :  l’ écriture   « 3 »        devient  le double produit de   3  3   3

 

au lieu   d’écrire   3  3   3    on préférera l’écriture  «3 3 » ; cette  écriture est une simplification de l’écriture d’une multiplication  d’un nombre par lui même  par lui même.

Calculs :     On doit faire  une double multiplication :

Exemple       :pour  5 3  on calcule d’abord  5 fois 5 (= 25) , puis on multiplie le résultat  « 25 »  par  5 ; = 125

Ainsi :         5 3 =  5  5   5  =  25   5 =  125      

énoncé

traduction

Résultat des  calculs

5 3

5  5   5  =    25  5  =

125

3,2 3

3,2  3,2 3,2  = 10,243,2 =

32,768

APPLICATIONS courantes  : (@ info plus)

 

   Les unités : (on reverra la notion sur la « grandeur »)

     (1   1 m)   fois  ( 1   1 m) fois  ( 1   1 m) =  (1   1 m ) ( 1   1 m ) ( 1   1 m)  

                                                                        =  1 3    1 m 3   =  1   m 3 

ce qui fait dire que :

 si  l’on multiplie des mètres par des mètres  par des mètres   on obtient des mètres « cubes » que l’on note   m  m  m  = m 3

 

    Volume  du cube  :        V  = c 3    ; si « c »   = 3  m   alors   c3 = ( 3 m )3     soit   V  = 27 m  3

 

   volume  d’une sphère :

    V   =  (4/3  ) 3,14 R 3    ;  si    R = 3 m

         alors V = (4/3 )  3,14   3 m 3 m  3 m    ;  V  =  113 , 04 m3   

 

Chapitre  3 : Info +  sur : « Les Carrés d’opérations simples ».

Commentaire :  

  Il faut travailler la leçon : « Les Carrés d’opérations simples ».

 (découverte des  I.R.  Identités Remarquables) pour obtenir le  niveau V

 

On se souviendra que  lorsque l’on applique le théorème de Pythagore on obtient obligatoirement une  équation de la forme :

                              a ²  = b ² + c ²

qui débouche sur l’extraction d’une racine carrée.

C d info ++++

Chapitre  4 :  Info +  sur : Les formules  sur les puissances

 

Les formules suivantes sont données pour information

C d info ++++

Formules

Appliquées aux nombres décimaux

Appliquées aux puissances de dix.

( x  n  )p  = x   np

( 3 2  )5  = 3  25  = 3 10

( 10 2  )3  = 10  23  = 106

    

 

 

x n x p = x n + p

 

3 2 3 5 = 3  2 + 5  = 3 7

10 2 10 5 = 10  2 + 5  = 10 7

x n y n = ( x   y ) n

 

3 3 5 3 = ( 3  5 ) 3  = 15 3

 

 

 

 

 

 

 

 

Pour plus d’informations sur ces formules cliquer sur C d info ++++

 

i9   

3°) Puissance de  10

:iINFO plus CD ³ !    3

 

Cette écriture permet de ne pas être obliger d’écrire des grands nombres (qui est une source d’erreurs)

 

Exemple :    au lieu d’écrire  100000  on écrit   1   10 5  qui est égal à    10 5     :   ( on lit  « 10 puissance 5 »  ou « 10 exposant 5 » ) 

 

Cette écriture est la traduction  des calculs en chaîne de   « 1010  101010 ».

 

Le résultat  est obtenu  en faisant  le produit de 5 facteurs égaux à   « 10 ».

 

1010  101010   =   100101010 =  10001010 =  10 00010 = 100 000 = 10 5 

Ainsi :

 

Ecriture simplifiée

 

Qui correspond à la multiplication

 

Forme décimale :

Si l’exposant est  « 5 »

Þ

On a 5  facteurs  identiques qui est   « 10 »

Þ

5 zéros derrière le « 1 »

10 5

=

1010  101010

=

100 000

 

Commentaire : cette écriture est une forme simplifiée de la multiplication d’un nombre par lui -même .Elle diminue le risque de transcription d’une longue multiplication.

 

Il est plus simple d’écrire « 10 5 »  que « 1010  101010 »

 

Exemples  :

 

100 = 1 ( par convention )

10² = 1010  = 100  = cent

103  = 1010  10 =  1000 = mille

104  =  1 0000    ( un 1 suivi de 4 « 0 ») =  10 mille

105  =  100 000    ( un 1 suivi de 5 « 0 ») =  100  mille

106  =  1 000 000    ( un 1 suivi de 7 « 0 ») =  1 million

GENERALISATION :

Par définition :

Ecriture simplifiée

 

Qui correspond à la multiplication

 

Forme décimale :

L’exposant est « n »

=

« n »  facteurs  égaux à 10

=

« n » zéros

10 n

=

1010  101010n

=

« 1 » suivi de  « n » zéros

Exemple :

106  =  1 000 000    ( un 1 suivi de 7 « 0 ») =  1 million

 

( Voir sur C d : applications : les volumes ) et les aires

 

Cas particuliers :             10 0 = 1     et    101  = 10

 

Cas des puissances négatives :  On a également : transformation en forme décimale .

 

On écrit :

« Se lit »

« peut s’écrire sous forme de produit »

Représente le nombre décimale.

 

=   1 divisé par 10

 

=  1 ´ 10-1

=  0,1

        

 

=      «  1 divisé par 100 »

 

= 1 ´ 10-2

= 0 ,01

         

=        1 divisé par 1000

 

= 1 ´  10-3

= 0,001

  ; e t c…..

 

l’exposant  « négatif »   indique le numéro du  rang du chiffre « 1 » à mettre après la virgule .

 

Exemple :  Ecrire 10 –5 sous forme décimale  = 0,000 01 ;      Le « 1 » se trouve au 5ème rang .

 

i9  

4°) Ecriture scientifique d’un nombre.

:i

 

Dans l’écriture scientifique , la partie  entière du nombre   décimal « a » ne contient qu’un chiffre

 

 

Par définition 

 

L’écriture scientifique d’un nombre est l’écriture de ce nombre sous d’une multiplication  de la forme   «  a 10n »  où « a » est un nombre décimal qui s’écrit avec un seul chiffre ( différent de zéro ) avant la virgule . 

On dira d’une autre façon :

L’écriture scientifique d’un nombre est l’écriture de ce nombre sous d’une multiplication  de la forme   «  a 10n »  où « a » est un nombre décimal  qui possède un seul chiffre ( différent de zéro ) dans la partie entière. 

 

 

Savoir passer d’une écriture  sous forme décimale à une écriture  dite « scientifique » 

 

Exemple 1 : Ecrire  sous forme scientifique  le  nombre     90 000 

 

Le nombre  décimal    90 000   se décompose  sous la forme  9  10 000  pour s’écrire   9  105

 

Exemple 2  : Ecrire  sous forme scientifique  le  nombre    135 000  :

 

135 000 =   ; On a   135 000 =  1,35  100 000 =  1,35 106

 

 

 

 · Savoir passer d’une forme scientifique  à une écriture décimale

 

Exemple :    Donner la forme décimale  de l’écriture scientifique  7,53   106  .

 

  7,53   106    s’écrit   7,53   1 000 000   après calcul  on obtient le nombre   7 530 000.

 

iRemarque : les calculatrices ne peuvent afficher l’écriture scientifique d’un nombre.

On lit sur l’écran  3.69 03    =   3,69  103  =  3,69   1 000 = 3 690

 

( Il  faut  savoir « traduire » l’affichage d’écran   de la calculatrice , elle n’est pas normalisée , c’est une écriture « fabriquant » qui n’est pas en règle avec l’écriture mathématique).

 

iIntérêt de cette écriture 

 Exemple on veut  calculer  90 000  ´  1 20 000 

Avant de faire ce calcul  on transforme : 90 000 s ‘écrit   9´ 105   et      120 000 s’écrit  1,2 ´ 105

 

 On transforme les écritures décimales en écriture « scientifique »

  90 000  ´  1 20 000  devient  9´ 105  ´  1,2 ´ 105   =  9´  1,2 ´ 105 ´ 105   = 10,8  ´ 10 5+5  =10,8  ´ 10 10

 

soit  90 000  ´  1 20 000  = 10,8  ´ 10 10 soit  10 800 000 000 0

( pour savoir plus sur ce type de calcul  cliquer ici ³ )

En écriture ingénieur on aurait écrit :  108 ´ 10 9 ;l’exposant de la puissance de « 10 » doit être « 3 » ou un multiple de « 3 » .Le nombre « a » doit être compris entre 1 £  a < 1000

 

i9  

5°) Racine carrée.

:1i ;:2i

3°) Un nombre « incommensurable »

@ info

Exemple :

Si l’on mesure la diagonale « d »  d’un carré en prenant comme unité de mesure le côté « a », on ne trouve aucune partie de l’unité « a » contenue un nombre exact de fois dans « d » , on dit qu’il n’y a pas de « commune » mesure  entre « d » et « a » , le résultat de la mesure est un nombre incommensurable . Dans le cas de la figure ce nombre est

Dans la pratique des opérations , on se contente d’une  mesure approchée de la grandeur donnée et l’approximation varie avec la nature de la mesure à effectuer.

                                          

                                          

Définition : La racine carrée de « a » est le nombre qui , élevé au carré , donne « a ».

Notation :    . on lit « racine de  a    ».

 

Pour obtenir la racine carrée    d’un nombre on utilise nos connaissances On dispose de    4 possibilités

 « on reconnaît  un carré parfait »  autrement   on se sert généralement  de la calculatrice ; par ailleurs , il existe la  table numérique (³) ; en dernier ressort on  peut faire  ce calcul « particulier » ,on dit que l’on va :  «  extraire la racine(³) ».

 

 

En règle générale , on utilise  la calculatrice :

  pour obtenir la valeur d’une racine carrée  il suffit de taper sur la touche    

 

Exemples :

Exercice 1 : Donner la racine carrée de 49 . ( notée                )

 

1ère solution :   par déduction

             On sait que  49 est le carré parfait de 7  ( 7  7  = 49  = 7² ) : alors on donne la réponse directement := 7

2ème  solution :    On utilise la calculatrice :

 

on tape :

                                    

4

9

=

         on lit à l’écran  7

Exercice 2 : Donner la racine carrée de 29   (notée  )

 

29 n’est pas un carré parfait , on doit utiliser la calculatrice

On tape               on lit à l’écran   ( suivant le type de calculatrice):  

 

2

9

=

5,38516480713450403125071049154033……

La valeur arrondie de  est , au centième près  5,39

Il est conseillé de comparer le résultat affiché avec le résultat donné dans une table numérique.

 Celle ci   donne pour     un résultat au 0,001 près  : 5,385

 

Document : table des puissances et racines  « carrées » .

:   Cliquer ici   ³ une table numérique.

 

 

Généralisation sur les racines

 C d :Info +++

 

· Ecritures équivalentes :      =     =  

· Si  a  ³ 0   , alors       désigne le seul nombre qui a pour  carré « a ».

 

Exemples 

 

« 16 »   est un nombre positif , le nombre positif qui a pour « carré »  « 16 »  est   « 4 ».  

 

On sait que :  ( 4²  =  4  ´ 4   = 16 ) ;

 

On dit que « 4 » est la racine carrée de « 16 »  et  on écrit :      =  4

 

21  est un nombre positif , sa racine carrée n’est ni un nombre entier ni un nombre décimal , ni une fraction , on l’écrit  :

 

iCe nombre qui n’est  ni un nombre entier , ni un nombre décimal , ni une fraction est appelé : nombre « irrationnel ».

 

· Si a  ³ 0    , alors  () ² = a

 

· Si a  ³ 0   , alors    est la solution positive  de l’équation   x² = a

 

Conséquences :

· Si   k  ³ 0   , alors   = k  et  , si  k  £ 0  , alors       = - k

 

Exemple :  ( + 4 ) ² = (+16 )  et   ( - 4 )² = ( + 16 )  aussi   si l’on fait la racine carré du nombre  relatif ( +16) : on trouve deux solutions possibles :

 =  ( + 4 ) ou ( - 4)

 

· Si   a ³ 0  et  b  > 0   alors

- Le produit de deux racines carrées est égal à la racine carrée des produits

 ´  =    ( = )

 

Exemple :´  =   =      =  (  3 ´ 10 = 30)


 

· Si   a ³ 0  et  b  > 0   alors

La racine carrée d’un quotient est égale au quotient des racines carrées

 

Exemple 

 

· L’équation  x² = a

                                   - Si a < 0, elle n’a pas de solution.

                                   - Si a = 0, elle  a pour seul solution « 0 » .

                                   - Si a > 0,  elle a deux solutions   +    et  -.