Pré  requis: 

Lecture : notions sur les dérivées

 

Puissances

Racines

 

Index        

Objectif précédent  

1°) Notions sur  les dérivées.

2°) Signification géométrique de la dérivée.

3°) le binôme de Newton

 

Objectif suivant

1°) Applications de la dérivée.

 2°)  Cours de niveau IV

3°) Dérivée de la forme ax² + bx + c

4°) Dérivée des fonctions trigonométriques

Tableau    

1°)Les fonctions usuelles

2° )Etudes de  fonctions : le second degré.

 

Lecture : DOSSIER: Calcul des DERIVEES :

I ) Dérivée d’une constante :   y = a

II ) Dérivée de  y = a x

III) Dérivée de  y = x n 

- Exemples :

 A ) Puissances à exposant négatif :

B ) dérivée des puissances à exposant fractionnaire

C) Dérivée  d’une somme de fonction de même variable :

 

IV)   )  Application :  Dérivée d’un polynôme entier .  (info plus sur la dérivée de la forme « ax²+bx+c »)

 

 

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

COURS

Par définition :  On appelle « dérivée » de la fonction « y = f ( x) »  pour la valeur « x0 » de la variable la limite du rapport  de l’accroissement de la fonction de l’accroissement de la variable , quand ce dernier tend vers zéro.

 

La procédure  de calcul des dérivées découle de la définition

 

1Donner à la variable un accroissement ∆x ;

2Calculer l’accroissement correspondant ∆y ;

3Ecrire la rapport   et simplifier s’il y a lieu ;

4Chercher la valeur limite de ce rapport quand ∆x  s ‘ évanouit.

 

I ) Dérivée d’une constante.  ( y = a)

 

La dérivée  d’une constante est nulle car , par définition , une constante ne peut subir d’accroissement.

 

II ) Dérivée de  y = a x

 

D’après la procédure :

                                 y +  (∆y)  =  a ( x +  (∆x))

                                 y +  (∆y)  =  a  x + a (∆x)                  (1)

 

Soustrayons y = a x aux deux membres de l’égalité   (1).

                                     (∆y)  =   a (∆x)

 

                                       =  a     ; est    a  = constante

           

 

Le rapport     est constamment égal à « a », il conserve cette valeur à la limite et  y ‘ = a

 

On retiendra la règle :        la dérivée de  y = a x    est   y ’  = a

 

Exemples :

 Soit  y  = 3 x ;  y ‘  = 3

Soit   y =  x    ; y ‘  = 1

Soit   y = - x   ; y ‘ = -1

Soit   y  = x    ; y ‘ =

 

Info ---

III) Dérivée de  y = x n 

Info plus sur le binôme de newton.

 

En premier lieu , nous donnons la formule de Newton qui permet de calculer une puissance quelconque du binôme «  a + b »

 

( a + b ) n = a n +  + + + …….

 

Exemples :

 

1°)    ( a + b ) 4 =  a 4 +  a 3 b +  a ² b ² +  a  b 3 + a 0 b4

 

soit après simplification

 

( a + b ) 4 =  a 4 + 4 a 3 b + 6  a ² b ² + 4 a  b 3 + b4

 

2°)    ( a -  b ) 4 =  a 4 -   a 3 b +  a ² b ² -  a  b 3 + a 0 b4

 

soit après simplification

 

( a + b ) 4 =  a 4 - 4 a 3 b + 6  a ² b ² -  4 a  b 3 + b4

 

On remarque qu’ il suffit dans le développement précédent ( 1°) , de changer le signe  des termes contenant une puissance impaire de « b ».

 

Calcul de la dérivée de  y = x n :

 

Appliquons la règle   y + ∆y  =  ( x + ∆x ) n

 

Développement le second membre de l’égalité :

 

y + ∆y  =  x n + 

 

Soustrayons aux deux membres   y = x n 

 

 ∆y  = 

 

Si  ∆x   s’ évanouit : on considère que    devient  « y ‘ »  et tous les termes contenant le  facteur  « ∆x » s’évanouissent en même temps que « ∆x » le second  membre se réduit  au terme  «  n x n - 1 » 

Ainsi     « y ‘ =  n x n - 1  »  

 

D’où la règle :         la dérivée de  y = x n   est     y ’ =  n x n - 1  

 

Exemples :

       y  = x²    ;  y’   =  2 x 2 - 1   soit    y ‘ =  2 x

       y  = x3    ;  y’   =  3 x 3 - 1   soit    y ‘ =  3 x 2

    

L’application de la règle précédente aux puissances à exposant négatif ou à exposant fractionnaire permet d’obtenir  les  dérivées des expressions de la forme

  et  des racines : 

 

Exemples :

 

 A ) puissances à exposant négatif :

 

1°)       ;  y’ =  - 1 x -1 -1  =  - x -2   =  

 

2°)         ;  y’ =  - 2 x - 2 -1  =  -2 x -3   =  

 

Ainsi plus généralement :

 

           ;  y’ =  - n x - n -1  =  -n x - (n + 1)   =  

d’où la règle :

 

La dérivée de     est   y ’ =  

B ) dérivée des puissances à exposant fractionnaire

 

 

1°)  y =       ;  

 

2°)  y =       ;  

 

Plus généralement :

 

3°)  y =       ;  

 

Règle : la dérivée de        y =      est  

 

C) Dérivée  d’une somme de fonction de même variable :

 

Soit  y =  u + v + w   ;      u ; v ; w  étant des fonctions de « x ».

 

Nous donnons à « x » un  accroissement « ∆x » :

Dans ce cas :

  « u »  s’accroît  de  « ∆u » ;

  « v »  s’accroît  de  « ∆v » ;

  « w»  s’accroît  de  « ∆w » ;

 

ce qui a pour conséquence que  « y » s’accroît  de  « ∆y » ;

 

nous avons évidemment :  « ∆y = ∆ u + ∆ v + ∆ w  » 

 

nous divisons les deux membres par « ∆x » 

 

 

si « ∆x » 

  s’ évanouit      tend vers « y ’ »

 

et     tendent respectivement vers « u’ » , « v’ » , « w’ » dérivées de  « u » , « v », « w »

 

A la limite , nous  avons donc :  y’  = u’ + v’ + w’

 

Règle : lorsqu’une  fonction est la somme de plusieurs autres sa dérivée est la somme des dérivées de ces différentes fonctions.

 

 

D )  Application :  Dérivée d’un polynôme entier .  (info plus sur la dérivée de la forme « ax²+bx+c »)

 

Nous pouvons écrire maintenant la dérivée d’un polynôme quelconque entier  en « x ».

Soit                   y = a x² + b x + c

 

Ce polynôme est la somme des trois termes. D’après la règle précédente il suffit de calculer les dérivées de ces rois termes et de les ajouter : la dérivée de « ax² » est « 2ax » ; la dérivée de « bx » est « b » ; la dérivée de « c » qui est une constante a une dérivée nulle d’où :

          

La dérivée de y = a x² + b x + c    est  y’ =   2ax + b

 

Exemples de dérivées de polynômes.

 

1 -    y =  4 x 3 - 2 x² + 5 x - 1       a   pour dérivée   y’ = 12 x² - 4 x + 5

 

2 -     y =   - 25 x² + 12 x - 36     a pour dérivée  y’ = x3 - 50 x + 12

3-  y = r I ² + E I  ( r et E sont des constantes) alors y’ = 2 r I + E

 

4 -  y =     (   est une constante)  alors y’ = t

 

 

 

TRAVAIL AUTO FORMATIFS.

CONTROLE : aucun travail de prévu.

Savoir  énoncer les règles.

EVALUATION:

Il faut savoir refaire les exercices du cours.

 

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