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Lecture : notions sur les dérivées

 

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Objectif précédent  

1°) Notions sur  les dérivées.

2°) Signification géométrique de la dérivée.

 

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1°) Applications de la dérivée.

 2°)  Cours de niveau IV

3°) Calculs de dérivées

aller  vers la liste des cours sur les dérivées.

Tableau    

)Les fonctions usuelles

2° )Etudes de  fonctions : le second degré.

 

DOSSIER: Calcul de la dérivée de   y = a x² + bx + c

 

 

TEST

          

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

COURS

 

Rappel :   La procédure  de calcul des dérivées découle de la définition

 

1 Donner à la variable un accroissement ∆x ;

2 Calculer l’accroissement correspondant ∆y ;

3 Ecrire la rapport   et simplifier s’il y a lieu ;

4 Chercher la valeur limite de ce rapport quand ∆x  s ‘ évanouit.

 

Nous savons que

I ) Dérivée d’une constante.  ( y = a) ; est :      y ‘ = 0

 

II ) Dérivée de  y = a x   ;est :          y ’  =  a 

 

III)  Dérivée de  y = x n     ;est   :        y ’ = n x n-1       ;

 

IV )   Dérivée de  y = ax n     ;est   :    y’ = an x n-1      

 

Calcul de la  dérivée de  y = a x² + b x + c

 

Première approche :

 

Question 1 : déterminée la dérivée de la fonction  y = 2 x² +  5 x - 4  pour la valeur  x = - 2 de la  variable.

 

La fonction y = 2 x² +  5 x - 4   est définie pour toute valeur de « x ».

 

 

« x »

« y »

Les 1ère valeurs

«  x0 = - 2 »

y0   = 8 - 10 - 4 = - 6

Les 2ème valeurs

«  x1 = - 2 + ∆x »

y1  = 2 (- 2 + x )²+ 5 (- 2 + ∆x ) - 4

 

=   -6  - 3 ∆x + 2∆x ²

 

Accroissements

∆x

∆y  = y 1 - y0 =  - 3 ∆x + 2∆x ²

 

D’où :     ( en supposant que ∆x  0 ).

 

Quand ∆x  tend vers zéro ;   à pour limite  « -3 »

Conclusion :   

La dérivée de la fonction y = 2 x² +  5 x - 4   ; Pour  x = - 2  est        y ‘  =  - 3 

 

 

Deuxième  approche :

 

Question 2 : Déterminer la dérivée de la fonction  y = 2 x² +  5 x - 4  pour la valeur  x 0  de la  variable.

 

La fonction y = 2 x² +  5 x - 4   est définie pour toute valeur de « x ».

 

 

« x »

« y »

Les 1ère valeurs

«  x0 = - 2 »

y0   = 2 x0² +  5 x0  - 4

Les 2ème valeurs

«  x1»

y1  = 2 x1² +  5 x1   - 4

 

Accroissements

∆x = x1 - x0

∆y  = y 1 - y0 =  2 (x1 - x0 )² + 5 (x1 - x0 )

 

 

Il est plus commode , ici , d’utiliser « x1 » , et non  «  x0+ ∆x) , employé dans l’exemple précédent  , où « x0 » était numérique.)

 

 

D’où :      ou puisque  x12 - x 02  = ( x1 - x0 ) ( x1+ x0) :

 

            ( en supposant que ( x1 - x0 0  )

Quand ∆x  tend vers zéro ;c’est à dire quand x1  tend vers x0  , alors     à pour limite  « 4 x 0 + 5  »

 

Conclusion :   

La dérivée de la fonction   y = 2 x² +  5 x - 4   ; Pour  x = x0   est  « y ’ =   4 x 0 + 5  »

 

Ceci étant vrai quel que soit  x0, on dit que :

 

             «  y = 2 x² +  5 x - 4 »   a pour dérivée       « y ’ =   4 x  + 5  »

 

 

troisième  approche :

 

Question 3 :  Déterminer la  dérivée de la fonction  y = a x² +  b x - c 

 

Cette fonction   est définie pour toute valeur de « x ».

 

 

« x »

« y »

 

Les 1ère valeurs

«  x0 = »

y0   = a x0² +  b x0  + c

 

Les 2ème valeurs

«  x1»

y1  = a x1² +  b x1   + c

 

Accroissements

∆x = x1 - x0

∆y  = y 1 - y0 =  a (x1 - x0 )² + b (x1 - x0 )

 

Il est plus commode , ici , d’utiliser « x1 » , et non  «  x0+ ∆x) , employé dans l’exemple précédent  , où « x0 » était numérique.)

 

 

D’où :      ou puisque  x12 - x 02  = ( x1 - x0 ) ( x1+ x0) :

 

            ( en supposant que ( x1 - x0 0  )

Quand ∆x  tend vers zéro ;c’est à dire quand x1  tend vers x0  , alors     à pour limite  « 2 a x 0 + b   »

 

Conclusion :   

La dérivée de la fonction   y = a x² +  b x + c  ; Pour  x = x0   est  « y ’ =   2 a x 0 + b  »

 

Ceci étant vrai quel que soit  x0, on dit que :

 

             « y = a x² +  b x + c »   a  pour  dérivée  « y ’ =   2 a x  + b  »

 

        

 

Vérifier que les résultats  des deux exemples précédents sont conformes à cette formule générale.

Exemples 

1°)  «  y = 2 x² +  3 x - 5   »   a pour dérivée       « y ’ =   4 x  + 3 »

 

2°)  «  y = 7 x² +  8 x   »   a pour dérivée       « y ’ =   14 x  + 8  »

 

3°) «  y = - 5 x² - 9   »   a pour dérivée       « y ’ =   - 10 x   »

 

Pratiquement, il est commode  de dériver un trinôme en remplaçant  « x² » par « 2x » , « x » par « 1 »  et le terme indépendant par zéro.

 

Formes particulières :

De la formule générale ; on peut en déduire les résultats suivants :

 

1°)     « y = x²  »   a  pour  dérivée  « y ’ =   2 x  »

2°)      « y = a x² »   a  pour  dérivée  « y ’ =   2 a x »

3°)      « y =  x   »   a  pour  dérivée  « y ’ =   1   »

4°)      « y = b x »   a  pour  dérivée  « y ’ =   b  »

5°)      « y =  b x + c »   a  pour  dérivée  « y ’ =   b  »

6°)      « y =  c »   a  pour  dérivée  « y ’ =   0  »

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE : aucun travail de prévu.

 

EVALUATION:

 

Construction de tangentes à l’ aide de la dérivée :

 

1°)    y =   au point « x = -2 )

2°)    y =     ; y ‘ = 2x   au point « x = 1 »

 

3°)     y =  2x²   ; y ‘ = 4 x   au point « x = 0,5 »

 

4 °)    y = - 0,3 x²   ; y ‘ = - 0 ,6 x   au point « x = 2 »

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