Pré requis: 

TRIGONOMETRIE :La tangente d’un angle.

 

lecture : (notion sur la dérivée )

 

 

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Objectif précédent :

1°) Coefficient directeur d’une droite.

 

2°) Ce qu’est la tangente en un point d’une courbe.

 

 

Objectif suivant

)Les dérivées

2°) Les fonctions

3°) dérivées : études générales

4°) Suite sur les dérivées , dérivées seconde ,……….

Tableau     Sphère metallique82

 

aller  vers la liste des cours sur les dérivées.

DOSSIER:

LA DERIVEE.

- Introduction  de la notion de dérivée. Problème des tangentes. ( Prépare à la définition de la dérivée)

- Définition de la dérivée.

 

TEST

Boule verte

COURS

Boule verte

Devoir  Contrôle Boule verte

Devoir évaluation Boule verte

Interdisciplinarité

Boule verte

 

Corrigé Contrôle  Boule verte

Corrigé évaluation  Boule verte

 

 

COURS

 

Historique :

Le théorème qui va être abordé donne le moyen de construire les tangentes à une courbe représentant une équation de la forme « y = f(x) »

Ce théorème fournit ainsi la solution générale du « problème des tangentes » auquel s’étaient intéressés les mathématiciens français du XVII ème siècle : Descartes ( 1596 - 1650) ; Fermat , Roberval.

Les dérivées ont été inventées à peu prés  simultanément vers 1670 par Leibniz ( 1646- 1716) et Newton ( 1642 - 1727)

 

    

I ) Problème des tangentes.

 

On demande de chercher  le coefficient angulaire de la tangente à une courbe en un point donné.

 

Rappel de la définition de la tangente en un point :On appelle « tangente à une courbe en un point M0 la position limite  M0 T de la sécante M0M1 quand le point M1 de la courbe se rapproche indéfiniment du point M0

 

pent2

Exemple premier :

 

Soit la fonction y =  , calculable quel que soit « x » Nous  savons construire sa représentation graphique.

 

Nous nous proposons de rechercher par le calcul le coefficient angulaire de la tangente passant par un point « A0 »  de droite « U » ; que l’on note « A0» . Prenons sur la courbe un point « A1 » voisin du point « A0 »

pent1

 

Les coordonnées du point  A0 sont  « x 0»  et  « y0 » ;

A partir de l’équation de la courbe y =  ; on va se donner  les coordonnées du point A:

l’abscisse « x1 »  est déterminée en écrivant  que « x1  =  x + ∆x »                (1)

l’ordonnée « y1 »   est obtenue par le calcul y1 =                          (2)

Application :  On veut connaître  de la tangente passant par un point ( A0)

Considérons , sur le graphique , le point « A0 » de coordonnées  x0 = 2  et y 0 = -1 (« y0 » est  obtenue par calcul et cette valeur est vérifiée sur le tracé)

Nous pouvons trouver les coordonnées d’un point « prés proche de A0  appelé « A1 » :

D’après (1)   :                    « x1 »  =  2 + ∆x 

D’après  (2) :   l’ordonnée « y1 »   est obtenue en posant l’opération : y1 =                          

Le coefficient angulaire  de la droite sécante passant par A0A1  est :

 

( d’après le calcul vu en troisième) :

Rappel :  le coefficient angulaire d’une droite passant par deux points A0 (x; y0)  et A1 (x; y1) est égal au calcul : 

 

                       

 

 

 

( cela correspond au calcul de la tangente…….)

pent3

Fin du rappel.

 Suite de l’exemple premier : D’où :

 

 

ou , en simplifiant  par  (∆x) , qui n’est pas nul :

 

    ( 3)

 

Supposons maintenant que  (∆x)  tende vers « zéro » :

 

1°) x1   et y 1     tendent vers  pour « x1 » :  2  et    pour « y1 » : -1 ; qui sont les coordonnées de « A0 » ;le point   « A1 » tend vers  le point  « A0 » en suivant la courbe ; ainsi la droite A0A1  « sécante » tend vers la tangente « A0U » 

 

2°) le coefficient angulaire (3) de  la « sécante »  A0 A1 tend vers  « - 1 ». La tangente A0 U  a  donc pour coefficient angulaire « -1 » . On dit que « -1 » est la dérivée de la fonction  « y » =   pour la valeur « x0 » = 2

·« dériver » : En tentant de rapprocher les points de la sécante A0A1 (au point de vouloir les superposer)  , on « dérive » c’est à dire que l’ on oblige  la sécante à passer en un point (double)  de la courbe ; cette sécante tend à devenir la tangente en un point . ( introduction à la notion de limite)

 

Exemple 2 :

Nous partons de la même fonction et cherchons le coefficient  angulaire de la tangente  « M0 T »  au point M0 de coordonnées « x0 » et  y0  =

pent1

Pour cela , prenons sur la courbe un point  voisin « M1 » de coordonnées « x1 » et       y1  =

Le coefficient angulaire de la sécante  M0M1 est

 

               

 

ou en simplifiant par  x1 - x 0 qui n’est  pas nul : 

 

                           (1)

 

( Il est plus commode , ici , d’utiliser « x1 » et non  « x0 + ∆x », employé dans l’exemple 1 précédent.)

 

Supposons maintenant que « x1 » tende vers « x0 » :

 

1°) y1   ( = )  tend vers y0   ( = ) ;  M1 tend vers M0 en suivant la courbe ; la sécante  M0M1  tend vers la tangente « M0 T » 

2°) le coefficient angulaire  ( 1)                    de la sécante M0M1  tend vers                      

 

La tangente « M0 T »  a donc pour coefficient angulaire

 

 

On dit que «  »  est la dérivée de  y =  pour la valeur « x0 »

 

 

 

Remarques au sujet des fonctions simples étudiées dans ce cours (niv IV).

 

 

Soit  y = f (x) une de ces fonctions  , x0 une valeur de « x » pour laquelle elle est définie.

 

1°) Lorsque « x » , tend vers  « x0 » il s’ensuit que y1 tend vers y0 autrement dit , lorsque ∆x tend vers zéro , il s‘ensuit que l’accroissement correspondant ∆ y  tend aussi vers zéro.

 On dit que la fonction « y » est continue pour x = x 0

 

2°) Lorsque ∆x tend vers zéro , et que , par conséquent, ∆ y  tend aussi vers zéro , le rapport   tend vers une limite.

 

Nous venons de voir, sur deux exemples, que cette limite s’appelle  dérivée de y = f (x)

 

 

Définition de la dérivée :

 

Soit une fonction y = f (x) définie  dans un certain intervalle ;

 

« x0 » une valeur fixe de la variable , et x1 = x0 + ∆ x  une autre valeur, appartenant toutes deux à l’intervalle ;

 

y 0  et y 1 les valeurs correspondantes de la fonction.

 

Calculons ∆ y =   y 1 - y 0   les valeurs correspondantes de la fonction et formons le rapport :

 

 

On appelle « dérivée » de la fonction « y = f ( x) pour la valeur « x0 » de la variable la limite du rapport  de l’accroissement de la fonction de l’accroissement de la variable , quand ce dernier tend vers zéro.

 

On  la désigne  par   :        f ‘ ( x0 )   ou  y ‘ 0  

 

                      

 

 

 

 

 

Ou               

 

 

Attention à bien respecter l’ordre « x0 » est toujours de valeur inférieure à « x1 » ; ce qui n’est pas toujours le cas pour « y1 » et « y0 » ; l’un ou l’autre peut avoir une valeur plus ou moins grande. 

Rien n’est prévu  en contrôle et évaluation.

 

 

CONTROLE

 

EVALUATION:

 

 

 

bsp;