Pré requis:

Info : liste des connaissances en algèbre préparant au même concours.

 

Fonctions (présentation )

 

Fonction : devoirs sur les pré requis

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index

AVANT :

 

  1. Etude  de fonction niveau 5

 

  1. info ++= : le nombre dérivé

 

  1.  La tangente en un point d’une courbe

 

COURS

APRES :

 

  1. liste des cours sur les  études de fonction.

 

  1. Etude d’une fonction.

 

  1. Calculs (partie 1) .

 

  1. Tableau de formules de calculs.

 

 

Complément d’Info :

Info complément  cours de niveau IV : sur « la dérivée »

Liste des cours : prépa concours

A consulter pour compléments :

)Les dérivées.(sommaire).

2°) les études de fonction.

 

TITRE :  COURS  sur  la Dérivée   et  L’  ETUDE de FONCTIONS NUMERIQUES   - APPLICATIONS

 

 Calcul de la dérivée pour déterminer les divers sens de variation de la fonction ( tableau de variation)

·        Dérivée en un point .

·        Interprétation graphique. (exemple) :

·        l’équation de la tangente.

·        Fonction dérivée d’une fonction.

·        Signe de la dérivée et sens de variation de la fonction.

 

Travaux ; devoirs

 

Corrigé  du :

TEST

Contrôle

évaluation

 

Contrôle

évaluation


COURS

 

 

Pré requis :  La tangente en un point d’une courbe

 

A)  Dérivée en un point .

 

 

·        Soit x0 , un élément d’un intervalle ]a ;b[ . On considère une fonction , f définie sur un ensemble D contenant ]a ;b[ . Soit  . On appelle h un réel , on appelle « dérivée «  de f  pour x = x0 la limite  ( si elle existe) du rapport :   quand h tend vers 0 .

 

 

lim

 

 

 

h ® 0

 

 

 

 

Notation :    y’0   ou f ’ (x0)

 

·        Interprétation graphique :

 

Pour qu’une fonction y = f(x) admette en x0 une dérivée, il faut et il suffit que la courbe représentative admette au point d’abscisse x0 une tangent (non parallèle à y0.)

Le coefficient directeur de cette tangente  est égal à la dérivée de la fonction pour x = x0

Equation de la tangente : y = f ’ (x0) . ( x – x0) + f (x0)

 

Remarque : f ’ (x0)  est la dérivée……

 

Exemple :    Soit la fonction f(x) = 5 x² + 7 x + 4

Questions :  

·        Trouver la dérivée au point xO = 2

·        Déterminer l’équation de la tangente.

 

Calcul de la dérivée au point xO = 2

 

 

 

Calcul de   f (x O)  pour   x O = 2     ;

·        f  (2) = 5 (2 )² + 7 (2)  + 4

·        Soit   20 + 14 + 4  =  38

 

Calculatrice : taper :    [ 5 (2 )² ]  + [ + 7 (2)] + ( + 4)

 

 

 

Calcul de   f (x O + h )  ; avec   x O = 2    

·        f  (2 + h ) = 5 (2 + h  )² + 7 (2 + h )  + 4

 

(2 + h    =  (2 + h  )  (2 + h  ) = 4 + 2 h + 2 h + h² = 4 + 4 h + h² 

 

= 5 ( 4 + 4 h + h² )  =  20 + 20 h + 5 h²

 

·        f  (2 + h ) = 20 + 20 h + 5 h² + 14 + 7 h   + 4

                         =  5 h² +27 h + 38

 

 

 

 

 

Calcul de   f (x O + h )  - f (x O) =  

·                                            =  5 h² +27 h + 38 - 38

·                                             = 5 h² +27 h

 

 

 

 

 

Calcul de

 

 

 

Ainsi :

 

lim

5 h + 27 

 

= 27

 

h ® 0

 

 

 

Lire : la limite de 5 h + 27   quand « h » tend vers 0  est égale  à « 27 »

 

·        l’équation de la tangente.

 

 

    y =  27 ( x – 2 ) + 38  

        = 27 x – 54 +38

     y   =  27 x – 16

 

 

 

Nota : «  dérivée et continuité » Si la fonction « f »  admet une dérivée en   x O  ( la réciproque n’est pas vraie )

 

 

 

·        Fonction dérivée d’une fonction.

 

 

Soit « f » une fonction admettant une dérivée «  f ’ (xO) » pour toute valeur xO  d’un intervalle ] a , b [ ; la fonction qui a tout xO de ] a , b [  associe le nombre dérivée «  f’ (xO) » s’appelle « fonction dérivée ».

 

 

 

Notation : «  f ’»

Par abus de langage, on dit souvent « dérivée » au lieu de « fonction dérivée »

 

 

Info ++ : résumé dans un tableau des formules ..

 

 

 

Info +sur le calcul des dérivées++

Valeur de la fonction «  f ( x) » ;

y =

Valeur de la fonction dérivée

«  f ‘( x) » ; y ‘ =

 

 

 

 

y =C  (constante)

y ‘ = 0

 

 

 

 

y = x

                     y ‘ = 1

 

 

 

 

y = x²

y ‘ = 2 x

 

 

 

 

y =  x3

y ‘ = 3 x²

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = x n ; ( n  N *)

y ‘ = n x n-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =   (  x  0 )

y ‘ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =  (  x > 0 ; N* )

y ‘ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = (  x > 0 )

y ‘ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Info +++

Fonction ( y )

Dérivée ( y’)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =  u + v 

 y ‘    = u ’ + v ‘ 

 

 

 

 

y = u + v  + w 

y ‘ = u ’ + v ‘  + w ’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 y = k u ( k : constante)

y ‘ = k u ’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = u  v 

y ‘ = u ‘  v  + u   v 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =   ( v (x)  0 )

y ‘ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = u ²

y ‘ = 2 u . u’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =u 3

y ‘ = 3 u ² . u’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = ;    ( u (x)  0 )

y ‘ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =    ; ( u (x)  0 )

y ‘ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Autres dérivées.

Fonction ;   «  f ( x) » 

Dérivée : «  f ‘( x) » 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( info ++)

y =Sin x

Cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =Cos x

- sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = Tan . x

 

 

 

 

 

 

 

Exemples : Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

 

 

N°1

«  f ( x) »  = 3 x 4 + 2 x² + 3 x + 4   

 

 

                 «  f ‘( x) »  =  4 fois 3 4-1 + 2 fois 2 x 2-1 + 3

 

f ‘( x) = 12 x 3 +  x + 3

N°2

«  f ( x) »  = ( x – 1 ) 3  ( x + 2 ) 4    ;

 

 

 

est de la forme     u . v  = u ‘  v  + u   v 

 

 

Calcul de «  u ‘ »

 

 

U = ( x – 1 ) 3    , ou  U = 3       ; avec   = ( x – 1 )  

Donc   u’ =  3 ² u’      =  3 ( x – 1 ) ² ; parce que ’ = 1

 

 

          

Calcul de «  v ‘ »

 

 

V = ( x + 2 ) 4 ; ou V = v 4  avec v = x + 2

 

 

Donc   V ’ =  4 v3 v ’   =   4 ( x + 2 ) 3 ; car  v ’ = 1 

 

 

 

 

 

On a alors :   y ‘  =  f ‘( x = U V’ + V U’

 

 

 

 

 

U V’ + V U’  =  ( x – 1 ) 3 fois 4 ( x + 2 ) 3 +  ( x + 2 ) 4   fois  3 ( x – 1 ) ² 

 

 

                   =  ( x – 1 ) ² ( x + 2 ) 3  [  4 ( x – 1 ) +  3 ( x + 2 )   ]

 

 

           y ‘    = ( x – 1 ) ² ( x + 2 ) 3 ( 7 x + 2 )

 

 

 

 

 

·        Signe de la dérivée et sens de variation de la fonction.

 

 

Suivant le signe de la dérivée, on peut déterminer le sens de variation d’une fonction :

-         Si la dérivée est nulle , la fonction est constante.

-         Si la dérivée est positive dans un intervalle   ] a , b [ , la fonction est croissante dans cet intervalle.

-         Si la dérivée est négative  dans un intervalle   ] a , b [ , la fonction est décroissante dans cet intervalle.

 

 

 

 

Exemple  1  :  Construire le tableau de variation de la fonction  f(x) =

 

Info : f(x) =   est de la forme  ; donc la dérivée est de  la forme : f ‘ (x) =

 

 

 Calculs des dérivées  des termes   u et v   :, u’  = 2    ; et  v ’ = -1

 

 

Calcul de la dérivée de la fonction :

 

f ‘ (x) =

 

5 > 0  et  ( 1- x )²  0      f ‘ (x)  > 0

 

 

 

Exemple 2  :  Construire le tableau de variation de la fonction  f (x) =  - x 3 + 3 x – 2

 

 

Calcul de la dérivée de la fonction : f ‘ (x) = - 3 x² + 3       ;  f ‘ (x)  est de la forme   ax² + bx + c   ; nous devons calculer le discriminant  ( ) rechercher les racines…….

 

 

On pose : - 3 x² + 3 = 0             = b² - 4 ac   ;     = 0² - 4  ( - 3) ( +3)   ; d’où     = 36

 

 

 > 0    2 solutions.

 

 

 

Dans le cas d’une dérivée de la forme ax² + bx + c , elle   admet 2 solutions pour f ‘ (x) = 0 , la dérivée est :

-         « négative » entre  les racines si  a > 0

-         « positive »  entre les racines si    a  < 0

 

Soit le tableau de variation :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

 

 

 

CONTROLE

 

 

 

 

 

 

 

 

EVALUATION :

Corrigé

 

 

 

 

Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :

 

 

 

 

a)   f (x) = 

 

 

 

 

 

b) f (x) = 

 

 

 

 

 

c) f (x) = 

 

 

 

 

 

Faire le tableau de variation et tracer la courbe représentative de la fonction :

 

 

 

 

f (x) = 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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