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CALCUL DES DÉRIVÉES

 

 

 

 

(1)

Dérivée d’une constante :  y = A

 

 

 

 

 

Quel que soit « x », on a :y = A, donc 

 

 

 

Donc

Lim

= 0

 

 

 

 

 

Soit y' = 0

 

 

 

Une fonction constante admet en tout point une dérivée nulle.

 

 

 

y =  A

y' = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dérivée de  y = x

 

 

Quel que soit « x », on a :y = A, donc 

 

 

 

Donc

Lim

= 1

 

 

 

 

 

Soit y' = 1

 

 

 

 

 

 

Une fonction «  y = x »   admet en tout point une dérivée égale à 1

 

 

 

 

 

 

y =  x

y' = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

Dérivée du  monôme   y = x n

 

 

Quel que soit « x », on a :y = A, donc 

 

 

 

Lorsque  tend vers 0 , « x1 »  tend vers « x » et chacun des « n » termes du dernier membre a pour limite  xn-1

 

 

Donc

Lim

= n x n-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Le monôme   «  y = xn »   admet en tout point une dérivée égale à  n x n-1

 

 

 

 

 

 

y =  xn

y' = n x n-1

 

 

 

 

 

 

On voit ainsi que les  fonctions :

·        « x » ; admet pour  dérivée : « 1 » ;

·        « x² » ; admet pour  dérivée : « 2x » ;

·        « x3 » admet pour  dérivée : « 3 x² » ;

·        « x4 » admet pour  dérivée : « 4 x 3 » ; …………….

 

 

 

 

 

Voir la racine carrée de « x » :    qui s’écrit  « x »

 

 

 

 

 

Dérivée d’ une somme :

 

 

Soient  u(x) ; v(x) ; w(x)  des fonctions de « x » admettant pour dérivées respectives :  u ‘ (x) ; v ‘ (x) ; w ‘ (x) 

 

 

Lorsque « x » prend la valeur « x1 » , la somme   «  y = u + v + w » prend la valeur «  y1 = u1 + v1 + w1 » et l’on obtient en retranchant terme à terme :

y = y1 – y  = ( u1 – u ) + ( v1 – v) + ( w1 – w) =   u + v + w .

 

soit  + +

 

Lorsque  tend vers 0 ,     u’ ;  v’ ; w’

 

 

 

Donc

Lim

=   u ‘ + v ‘ + w ‘

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La somme de plusieurs fonctions dérivables admet pour dérivée la somme des dérivées de chacune de ces fonctions.

 

 

 

 

 

 

y =  u + v + w

y' = u’ + v’ + w’

 

 

 

 

Autrement dit une somme se dérive terme à terme.

 

 

 

 

 

 

Dérivée d’ un  produit :

 

 

 

1°)  Soient  u(x) ; v(x) ; deux  fonctions de « x » admettant respectivement pour dérivées respectives :  u ‘ (x) et  v ‘ (x) .

 

 

Lorsque « x » prend la valeur « x1 » , le produit   «  y = u  v  » prend la valeur «  y1 = u1  v1  » et l’on peut écrire . :

 

y = y1 – y  = ( u1  v1 ) – (u v)  =   ( u1  v1  – u v1 )  + ( u  v1  – u v  ) =   ( u1 – u  )  v1 +  (  v1    v  ) u

 

soit = u . v1 +  u . v  et   .  v1  + u.

 

Lorsque  tend vers 0 ,  v1  v ;  u’ ;   v’  et on obtient  ( info ++)

 

 

 

 

Donc

Lim

=   u ‘ v  +  u  v ‘

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Le  produit de  deux   fonctions   dérivables admet pour dérivée «  y ’ = u ‘ v  +  u  v ‘ »

 

 

 

 

 

 

y =  u  v 

y' = u ‘ v  +  u  v ‘ 

 

 

 

 

 

 

2°) Généralisation :

 

 

 

Si «  y = u v w » on obtient :

 

 

 

 

«  y ‘ = (u v) ‘  w  +  (u v)  w ‘ =  (  u ‘ v  +  u  v ‘ ) w + u v w’ =  u ‘ v w + u v ‘ w + u v w’

 

 

 

 

 

 

y = u v w

 

Y’  = u’  v w

 

 

 

 

 

 

Cette démonstration s’étend par récurrence  à un nombre quelconque de facteurs. Le produit de plusieurs fonctions dérivables admet pour dérivée la somme des expressions obtenues en remplaçant successivement dans ce produit  , chaque fonction par sa dérivée.

 

 

 

 

 

Corollaire :

 

 

Si on multiplie une fonction dérivable par une constante sa dérivée est multipliée par cette constante.

 

 

 

Si « u » = A , on obtient  « u’ = 0 »   voir (1) ; la dérivée de  « y = A v » se réduit à  « y’ = A v’ » ; donc

 

 

 

 

 

y = A . f (x)

 

Y’  = A . f ‘ (x)

 

 

 

Ainsi d’après ( 2) on obtient la dérivée du monôme  «  A xn »

 

 

 

y = A xn 

 

y ’ = n A xn-1 

 

 

 

 

 

 

Dérivée d’un polynôme : 

 

 

Un polynôme de degré « m » admet pour dérivée un polynôme de degré «  m – 1 »

 

 

 

 

 

 

Ainsi la dérivée du polynôme :   «  f (x) = A m x m  + A m-1 x m-1 + A m-2 x m-2   + …..+ A 1 x 1 + A 0 »

 

 

 

Est la somme des dérivées de chacun de ses termes.

 

 

«  f ‘(x) = m A m x m-1  +  ( m -1) A m-1 x m-2 + …..+ 2A 2 x 1 + A 1 »

 

 

 

Ainsi :  (par exemples)

 

 

 

«  y = a x + b »

Admet pour dérivée..

«  y’ =  a »

 

 

 

«  y = a x² + bx + c  »

Admet pour dérivée..

«  y’ =  2ax + b  »

 

 

«  y =  x3 + p x + q  »

Admet pour dérivée..

«  y’ =  3x² + p  »

 

 

«  y =  ax4 + p x² + q  »

Admet pour dérivée..

«  y’ =  4x3 + 2px  »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cas particulier :

 

 

 

 

 

 

 

«  y = x + b »

Admet pour dérivée..

«  y’ =   »

«  y’ =   »

 

 

 

 

 

 

«  y’ =   »

 

 

Nota : on sait que …                

 

 

 

«  y’ =   »

 

 

 

 

 

 

«  y’ =   »

 

 

 

 

Dérivée d’un quotient :

 

 

Soient  « u (x) »   et « v(x) » deux fonctions de « x » dérivables sur un intervalles où « v(x) »

 Lorsque « x » prend la valeur « x1 » , la fonction «  »   prend la valeur «  »   et on peut écrire :

 

 

  = 

Voir ci-dessus   et

 

 

On réduit les deux fractions au même dénominateur !!!

 

 

 

 

 

Et :     u1- u  =   ;  v1- v  =   

 

 

Soit  

 

 

 

Et           

 

 

 

Lorsque 

On remarque que :

a)     

c) 

b)    

 

 

 

Et l’on obtient :

 

 

 

 

 

Donc

Lim

=   

 

 

 

 

 

 

 

 

En résumé :

 

Le quotient   de deux fonctions dérivables admet pour dérivée :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exemple :  trouver la dérivée de    s’écrit :

 

 

 

 

 

 

 

 

Corollaires :

1°) la dérivée de   est …………………………………

 

 

Si  « u = 1 »  ,( alors « u’ = 0)   la dérivée de  se réduit  à

 

 

Donc :

 

 

En particulier

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2°) 0n peut utiliser la formule précédente pour calculer la dérivée de   sous la forme du produit : u . v .  ; on obtient :

 

 

 

 

 

3°)  Remarque : autre façon de trouver la dérivée de  ( voir le monôme)

 

 

 s’écrit   sous la forme  y = x-1    donc  y ’ =  -1 x-1-1   ;    y’ =  -1 x-2   

D’ où y’ =  -1    on retrouve :

 

 

 

 

 

Dérivée d’une puissance entière :

 

 

Soit u (x) une fonction de « x » admettant pour dérivée  « u’ (x) » . La fonction « y= u m » peut être considérée comme un produit de « m » facteurs :

 « y = u .u .u …. ».

 

 

Elle admet pour dérivée la somme « m » termes égaux à «  u m-1 u’ »

 

 

La fonction «  y = u m » admet pour dérivée « y’ =  u m-1 u’ »

 

 

On vérifie que la dérivée «  y = u m » est  « y’ =  u m-1 u’ »

 

 

Remarque : La règle précédente s’applique également lorsque « m » est un entier négatif .

Posons  « m = - p »  et   « y = um » qui devient   « y = u - p » =   =   ; on obtient

 

 

 

 

 

=  - p u –p-1u’   soit   « y’= mum-1 u’ »

 

 

Ainsi  , par exemple : « y =  »   admet pour dérivée : « y ‘ = - 3 ( x-1)-4  = 

 

 

 

 

 

Dérivée d’une racine carrée :  

 

 

Soit « u(x) »  une fonction positive de « x » admettant pour dérivée « u’ » et soit « y =  »

 

 

On obtient :  = =  =

 

 

D’où : = .

 

 

Lorsque  « x1 » tend vers « x » , « u1 » tend vers « u » et  tend vers « u’ » ; le rapport  admet donc pour limite : 

 

 

La fonction « y =  » admet donc dérivée  : 

 

 

 

 

 

 

y =

 

 

 

 

 

 

 

Exemple de calcul de dérivée.

 

 

Soit à calculer la dérivée de la fonction « y=  »

 

 

Cette fonction est de la forme « y=  »  avec « u » = (3x-1)²  et « v » = (x²+1)

 

 

Or «  u = w² » et « u’= 2 w »   ;   « w ’=  2 (  3x – 1) fois 3 » =  « 6 ( 3x -1) »   et « v ’ = 2 x »

 

 

 

 

 

On obtient :    = 

 

Soit après réduction : 

 

 

 

 

 

Il y a intérêt, tout au moins au début, à utiliser des fonctions intermédiaires de façon à se ramener à des types connus.

 

 

 

 

 

Voir le résumé ..sur le tableau :