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Suite :

·        Dérivée 2  déjà écrit

 

·        Dérivée 3  caractéristiques et analyse de cas

 

·        Dérivée  3 bis  la règle de trois , limite de son domaine  , essais pour étendre ses limites , intérêts que représente l’étude de la dérivée

 

·        Dérivée 4  la règle de trois , limite de son domaine  , essais pour étendre ses limites , intérêts que représente l’étude de la dérivée,   La  série de Taylor

 

·        Dérivée 6  ( à faire  doc. Bac prof.)

 

 

Dérivées 1

 

Lecture: La règle de trois :limites de son domaine .

Essai pour étendre ces limites :

 

 

Des limites :  A propos  des dérivées  nous rencontrerons une notion importante : celle de « limite » qu’il nous faut définir .

 

 

Considérons un segment de droite AB représentant l’unité :

 

 

 

 

Soit M1 le milieu de AB , AM1 représentant    le milieu ,soit M2  le milieu de M1B , M1 M2 représente le quart ( ) , soit M3 le milieu  de M2 B , M2 M3 représente le   etc ; ….Soit M4 le milieu de …..

 

 

Il est évident que les points « M » successifs se rapprocheront constamment du point « B » mais ne l’atteindront jamais puisque chaque point « M » est le milieu d’un segment de droite ayant justement « B » comme extrémité.

 

 

Il en résulte que la somme :

 

 S  =  ++ + +++ ……

 

Se rapproche  constamment de l’unité lorsque le nombres de ses termes augmente indéfiniment , elle peut n’en différer que d’une quantité aussi petite que l’on voudra mais elle ne sera jamais rigoureusement égale à l’unité . On dit que « S » a pour limite 1 ou tend vers 1 lorsque le nombre de ses termes augmente indéfiniment .

 

Dans certains calculs on a à considérer plusieurs quantités u , v , w qui tendent respectivement vers des limites u1  , v1 , w1    . Nous admettrons , sans le démontrer , que la somme  u + v + w  a pour limite u1  + v1 + w1     , que le rapport     a pour limite       , que le produit    u . v . w   a pour limite   u1 . v1 . w1

 

 

Notion de dérivée :

 

Considérons la fonction y = x2    ( 1)

                   Si la variable « x » s’accroît d’une quantité très petite appelée (delta de « x » ) et noté : D x  la variable devient x + D x .

 

                        La fonction « y » s’accroît d’une quantité correspondante D y et devient  y + D y

 

       Proposons nous de calculer D y  en fonction de D x puis le rapport

Appliquons la formule (1) . Cette formule nous indique que la valeur de la fonction se calcule , en élevant au carré la valeur correspondante de la variable soit :  

  y + D y =   ( x + D x)  2

 

y + D y =    x2 + 2 x .D x  + D x 2         (développement : SOS )

 

   supprimons y = x2  dans les deux membres

 

D y =     2 x .D x  + D x 2

 

le rapport     s’obtient en divisant les deux membres par D x :

soit           =   2 x  + D x

 

 

On appelle dérivée de la fonction y = x2  , par rapport à « x » , la valeur limite du rapport lorsque D x tend vers zéro. Il apparaît immédiatement que si D x s’évanouit   tend vers 2x ;

 

« 2x » est la dérivée de « y » = x2 par rapport à « x »

 

Définition : la dérivée d’une fonction est la limite, vers laquelle tend le rapport de l’accroissement de la fonction à l accroissement correspondant de la variable, lorsque celui-ci « s’évanouit »

 

Remarque : pour  bien comprendre la nature de la dérivée il importe de remarquer que Δ x et Δy s’annulant simultanément si  Δ x = 0 et  Δy = 0  et le quotient  prend la forme indéterminée  qui ne signifie absolument rien. Lorsque, dans  l’exemple précédent, nous posons cette dérivée égale à « 2x ». Nous disons :

Si D x tend vers zéro ;  = 2 x+D x tend vers « 2x », donc si D x = 0 ;  = 2 x ; puisque  [ = 2 x+ 0]

 

Nous faisons ce que l’on appelle une « extrapolation par continuité» ; c’est à dire que nous admettons comme rigoureusement vrai pour Δ x = 0 , ce qui est de plus en plus approché lorsque Δ x tend vers zéro. Ce raisonnement n’est évidemment possible que si le rapport   ne change pas brusquement de valeur au dernier moment, c’est à dire à la condition qu’il y ait continuité.

 

Notation :

 

Si la fonction d’une variable s’exprime par  y = f (x) sa dérivée se représente par y’ ou f ’(x).

 Dans certains cas , la valeur limite du rapport    , lorsque   Δ x  « s’évanouit » , se symbolise par la notation        dite « notation différentielle ».

 Au début et pour l’instant, un élève devra considérer l’expression   comme une simple notation

 

et ne pas y voir un quotient.

 

Cependant, dans les applications pratiques, elle pourra être considérée comme un quotient et voici comment.

La dérivée étant la limite du rapport     , lorsque   Δ x    et Δ y  s’évanouissent  simultanément ; lorsque  Δ x    et Δ y   sont « très petits » le quotient   est une valeur approchée  de la dérivée « y’ » ;