Pré requis:

Info : liste des connaissances en algèbre préparant au même concours.

 

Fonctions (présentation )

 

Fonction : devoirs sur les pré requis

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index

AVANT :

 

  1. Etude  de fonction niveau 5

 

  1. Liste des chapitres traités

 

 

COURS

APRES :

 

liste des cours sur les  études de fonction.

 

 

Complément d’Info :
·        Liste des cours : prépa concours

 

TITRE :PREPARATION CONCOURS niveau VI ; V ; IV ;   ETUDE de FONCTIONS   - APPLICATIONS

 

12 : FONCTION

·          12.1 – Fonction – Définition.

·        Fonction numérique – Définition

·          12 . 3 Application  - définition

·          12 . 4 Applications particulières : SURJECTION – INJECTION – BIJECTION

13 – ETUDE D’ UNE FONCTION NUMERIQUE .

·        1°) Recherche du domaine de définition

·        2°) Recherche des limites aux bornes du domaine de définition

………………Continuité  .en 1 point

  …………….Continuité sur un intervalle…….

·        3°) Calcul de la dérivée pour déterminer les divers sens de variation de la fonction ( tableau de variation)

·        4°) Calcul des extremums locaux .

·        5°) Graphique

 

Travaux ; devoirs

 

Corrigé  du :

TEST

Contrôle

évaluation

 

Contrôle

évaluation


COURS

12.1 FONCTION – DEFINITION .

On appelle fonction  de A  vers B toute relation qui à chaque élément  « x » de A , associe au plus un élément « y » de  B .

 

« x » s’appelle « variable » ( ou antécédent de « y »)

« y » s’appelle la valeur   ( ou l’image de « x » )

A est l’ensemble de départ .

B est l’ensemble d’arrivée 

 

Notation :  f :  A® B

               x   a   f (x)

où y = f (x)

 

12 .2  Fonction numérique – Définition

 

C’est une fonction pour laquelle les ensembles de départ et d’arrivée sont des parties de R  (réels)

 

12 . 3 Application  - définition

 

 Une  application de A vers B  est une fonction de A vers  B telle qu’ à chaque « x » de A il corresponde  un élément  unique  « y » de B.

 

 

 

Ensemble  ou domaine de définition : c’est l’ensemble des « x » qui ont une image  (  D f ) 

L’ensemble de départ correspond  avec le domaine de définition .

 

 Exemple : (dont les études de fonctions)

info plus sur  la fonction dite homographique .

 

 c'est-à-dire  soit la fonction f qui a « x » associe

 

Ensemble de définition :

La fonction f est définie pour tout « x » différent de 0 . car si x= 0  , on ne peut pas calculer

  Df =  R  -       ou   R*    ou  ]  - ¥ ; 0  [ U ] 0   ;   +¥  [

 

Notation : :  R *® R

               x   a                                     

          f (x)=

 

12 . 4 Applications particulières : SURJECTION – INJECTION – BIJECTION

 

12.4.1 : Surjection - définition :

 

 

Une application f de A dans  B est dite « surjective » si chaque élément de « B » est l’image d’un élément au moins de A .

 

A tout élément de  B  aboutit au moins une flèche .

 

12.4 .2 : Injection - définition :

 

Une application f de A dans  B est dite « injective » si chaque élément de « B » est l’image d’un élément au plus de A .

A tout élément de  B  aboutit au plus  une flèche .

 

12.4 .3 : Bijection - définition :

 

Une application f de A dans  B est dite « bijective » si chaque élément de « B » est l’image d’un élément unique de A .

 

13 – ETUDE D’UNE FONCTION NUMERIQUE .

 

Marche à suivre pour étudier une fonction :

1°) Recherche du domaine de définition

2°) Recherche des limites aux bornes du domaine de définition

3°) Calcul de la dérivée pour déterminer les divers sens de variation de la fonction ( tableau de variation)

4°) Calcul des extremums locaux

5°) Graphique

 

13.1 Domaine de définition

 Etudier la définition d’une fonction numérique , c’est déterminer pour quelques valeurs la variable ( x) il est possible de calculer la valeur numérique correspondante  de la fonction (y).

 

En étudiant la définition  d’une fonction , on définit le domaine de définition de cette fonction.

 

Notation :    D f  ( si la fonction est notée f )

Il est nécessaire de déterminer le domaine de définition  d’une fonction dans 4 cas ; ( dans les autres cas  le domaine sera   R ) .

 

a) pour une fonction du type : f (x) =     ou ( m  est un polynôme ) ; m  doit être différent de  0  , donc toutes les valeurs de « x » qui annulent m doivent être chassées.

 

Exemple :  f(x) =               4x + 5 = 0  Û  x =

 

 

  D f =  ]  - ¥ ;  [ U ]    ;   +¥  [    ou   =  R

 

b) Pour une fonction du type  f (x) =    ; m  doit être positif , donc ³ 0 ( car une racine carrée ne peut être négative ) .

 

Exemple :  f (x) =    ; 4x+5  ³ 0  Û  x ³

 Df = [ ; +¥    [ 

c) Pour une fonction tangente ou cotangente ( voir trigonométrie )

 

d)  Exemple :   f (x) =

 

pour que cette fonction soit définie , il faut que :

(2-x) (x – 3) ³ 0           et  ( x-1) (4-x) ³ 0

 

Pour trouver les valeurs de « x » qui rendent positives ces polynômes , on utilisera un tableau :

 

2-x ³ 0   Û  x £  2

x-1> 0Û  x > 1

x-3 ³ 0    Û  x ³  3

4-x > 0Û  x < 4

 

Les zones hachurées correspondent aux valeurs de « x » qui sont exclues du domaine de définition ( car elles rendent le polynôme  sous le radical « négatif »)

 

La dernière ligne hachurée , représente la superposition  des 2 zones précédentes et permet de déterminer dans quel intervalle , les valeurs de « x » ne rendront jamais les 2 polynômes négatifs.

 

Solution :     D f  =  [ 2 ; 3 ]

 

Tableau de variation :

 

 

13  . 2 .- Limites

 

Exemple  soit la fonction   

 

  D f =  R  -        ou   R*    ou     ]  - ¥ ; 0  [ U ] 0   ;   +¥  [

 

Traçons la représentation graphique de cette fonction :

On remarque que :

 

 

Quand « x » diminue , « y » tend vers 0 Þ      lim f(x) = 0 ;

 

 Quand « x »  augmente , y  tend vers 0 lim f(x) = 0 ; x®+¥

 

Quand x tend vers 0 par valeur inférieure :

y tend vers -¥ , lim f(x) = -¥ ; x ®0-

Quand x tend vers 0 par valeur supérieure :

y tend vers +¥ , lim f(x) = +¥ ; x ®0-

Nous  remarquons que l’étude des limites se fait au voisinage des bornes de l’ensemble de définition.

 

Opérations sur les limites

 

Limite d’une somme .

 

- Lorsque x tend vers x0   ou vers ±¥

 

Si f(x) tend vers

Et si  g (x) tend vers :

a

b

a

+¥

a

-¥

+¥

+¥

-¥

-¥

+¥

-¥

f(x) + g(x) tend vers

a+ b

+¥

-¥

+¥

-¥

?

 

 

 Limite d’un produit .-

 

 Nous supposons connu le signe de chacun des facteurs  f(x) et g (x)  et nous donnons seulement la valeur absolue de ces facteurs ou de leur produit lorsque cette valeur absolue est infinie .

 

 

Si   f (x) tend vers

Et si  g (x) tend vers :

a

b

a  ¹  0

¥

 

¥

¥

 

0

¥

f(x)  g(x) tend vers

a  b

¥

 

¥

 

?

 

Limite  d’un quotient .

 

- En supposant connu le signe  de chacun des termes f(x) et g(x)  , nous ne donnons que leur valeur absolue ou celle de leur quotient lorsque cette valeur absolue est infinie . Lorsque « x » tend vers x0 ou vers ±¥

 

Si   f (x) tend vers

Et si  g (x) tend vers :

a

b  ¹  0

±¥

b  ¹  0

a  ¹  0

0*

a

¥

0

0

¥

¥

        tend vers

¥

¥

0

?

?

 

 

·        Rechercher  la limite d’un polynôme lorsque « x » tend vers + ou -  l’infini ,équivaut à rechercher la limite du terme du plus haut degré lorsque  x ®±¥

 

Exemples :

 

N°1 :

 

lim.       2 x3 +  4 x² + 2x – 4

lim 2 x3 =      +¥

(à vérifier avec la calculatrice graphique)

 

x ®+¥

 

x ®+¥

 

 

    N°2 :

 

lim.        3 x5 +  4 x4 + 2x – 4

lim 3 x5 = - ¥

(à vérifier avec la calculatrice graphique)

 

x ®  - ¥

 

x ® - ¥

 

 

·        La limite d’une fonction rationnelle,lorsque “x” devient infini ,est celle du quotient des termes de plus haut degré de son numérateur et de son dénominateur.

Exemples :

 

La limite d’une fonction rationnelle,lorsque “x” devient infini ,est celle du quotient des termes de plus haut degré de son numérateur et de son dénominateur.

Exemples :

 

N°1 :

 

lim.     

lim

 

(à vérifier avec la calculatrice graphique)

 

x ®+¥

 

x ®+¥

 

 

N°2 :

 

lim.     

 lim

lim  =      - ¥

(à vérifier avec la calculatrice graphique)

 

x ®-¥

x ®-¥

x ®-¥

 

 

N°3 :

 

lim.       

 lim.             

lim

(à vérifier avec la calculatrice graphique)

 

x ®+¥

     x ®+¥

x ®+¥

 

 

 

13-3 Continuité.

(info plus)

a) Continuité  en 1 point.

Soient  x0 ; a ; b ; des réels tels que a < x0 < b. On considère une fonction f définie sur un ensemble D contenant ]a ; b [.

On dit que f est continue en x0 si et seulement si :

- la limite quand x tend vers x0  existe

- lim f = f (x0 )

-  x  ®  x0

 

cela équivaut à 

 

 

lim f  =

lim f  =

lim f (x0 )

 

 

     

  

 

 

Exemple :  soit f(x) = 2 x² + 4 x + 5   ; continuité en x0 = 1

 

 

lim f = 2 (1)² + 4 x1+ 5 = 11

 

lim  f existe

 

 

x ® 1

 

  x ® 1

 

 

 

f  (x0) = 11

 

lim f  = f  (x0)

 

 

 

 

  x ® 1

 

 

 

 

 

 

 

 

la fonction est continue en   x0 = 1

 

 

 

b) Continuité sur un intervalle.

 

 

On dit que f est continue sur ]a ;b[ si f est continue en tout  x0  élément  de  ]a ;b[

D’où les théorèmes :

-         Toute fonction polynôme est continue sur R

-         Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition.

 

 

info ++= : le nombre dérivé

La  Dérivée.

Info complément  cours de niveau IV : sur « la dérivée »

 

 

A)  Dérivée en un point .

 

 

·        Soit x0 , un élément d’un intervalle ]a ;b[ . On considère une fonction , f définie sur un ensemble D contenant ]a ;b[ . Soit  . On appelle h un réel , on appelle « dérivée «  de f  pour x = x0 la limite  ( si elle existe) du rapport :   quand h tend vers 0 .

 

 

lim

 

 

 

h ® 0

 

 

 

 

Notation :    y’0   ou f ’ (x0)

 

Interprétation graphique :

 

Pour qu’une fonction y = f(x) admette en x0 une dérivée, il faut et il suffit que la courbe représentative admette au point d’abscisse x0 une tangent (non parallèle à y0.)

Le coefficient directeur de cette tangente  est égal à la dérivée de la fonction pour x = x0

Equation de la tangente : y = f ’ (x0) . ( x – x0) + f (x0)

 

Remarque : f ’ (x0)  est la dérivée……

 

Exemple :Soit la fonction f(x) = 5 x² + 7 x + 4

Questions :  

·        Trouver la dérivée au point xO = 2

·        Déterminer l’équation de la tangente.

 

Calcul de la dérivée au point xO = 2

 

 

 

Calcul de   f (x O)  pour   x O = 2     ;

·        f  (2) = 5 (2 )² + 7 (2)  + 4

·        Soit   20 + 14 + 4  =  38

 

Calculatrice : taper :    [ 5 (2 )² ]  + [ + 7 (2)] + ( + 4)

 

 

 

Calcul de   f (x O + h )  ; avec   x O = 2    

·        f  (2 + h ) = 5 (2 + h  )² + 7 (2 + h )  + 4

 

(2 + h    =  (2 + h  )  (2 + h  ) = 4 + 2 h + 2 h + h² = 4 + 4 h + h² 

 

= 5 ( 4 + 4 h + h² )  =  20 + 20 h + 5 h²

 

·        f  (2 + h ) = 20 + 20 h + 5 h² + 14 + 7 h   + 4

                         =  5 h² +27 h + 38

 

 

 

 

 

Calcul de   f (x O + h )  - f (x O) =  

·                                            =  5 h² +27 h + 38 - 38

·                                             = 5 h² +27 h

 

 

 

 

 

Calcul de

 

 

 

Ainsi :

 

lim

5 h + 27 

 

= 27

 

h ® 0

 

 

 

Lire : la limite de 5 h + 27   quand « h » tend vers 0  est égale  à « 27 »

 

l’équation de la tangente.

 

 

    y =  27 ( x – 2 ) + 38  

        = 27 x – 54 +38

     y   =  27 x – 16

 

 

 

Nota : «  dérivée et continuité » Si la fonction « f »  admet une dérivée en   x O  ( la réciproque n’est pas vraie )

 

 

 

 

13.4.2 – Fonction dérivée d’une fonction.

 

Soit « f » une fonction admettant une dérivée «  f ’ (xO) » pour toute valeur xO  d’un intervalle ] a , b [ ; la fonction qui a tout xO de ] a , b [  associe le nombre dérivée «  f’ (xO) » s’appelle « fonction dérivée ».

 

 

Notation : «  f ’»

Par abus de langage, on dit souvent « dérivée » au lieu de « fonction dérivée »

 

 

 

 

 

 

 

Valeur de la fonction «  f ( x) » 

Valeur de la fonction dérivée

«  f ‘( x) »

 

 

 

 

C  (constante)

0

 

 

 

 

x

1

 

 

 

 

2 x

 

 

 

 

x3

3 x²

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x n ; ( n  N *)

n x n-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   (  x  0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  (  x > 0 ; N* )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 (  x > 0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fonction

Dérivée

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u + v 

u ’ + v ‘ 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k u ( k : constante)

k u ’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u + v 

u ‘  v  + u   v 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   ( v (x)  0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u ²

2 u . u’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u 3

3 u ² . u’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 ;    ( u (x)  0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    ; ( u (x)  0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Autres dérivées.

Fonction ;   «  f ( x) » 

Dérivée : «  f ‘( x) » 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sin x

Cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cos x

- sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tan . x

 

 

 

 

 

 

 

Exemples : Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

 

 

N°1

«  f ( x) »  = 3 x 4 + 2 x² + 3 x + 4   

 

                 «  f ‘( x) »  =  4 fois 3 4-1 + 2 fois 2 x 2-1 + 3

 

f ‘( x) = 12 x 3 +  x + 3

N°2

«  f ( x) »  = ( x – 1 ) 3  ( x + 2 ) 4    ;

 

 

est de la forme     u . v  = u ‘  v  + u   v 

 

 

Calcul de «  u ‘ »

 

 

U = ( x – 1 ) 3    , ou  U = 3       ; avec   = ( x – 1 )  

Donc   u’ =  3 ² u’      =  3 ( x – 1 ) ² ; parce que ’ = 1

 

 

Calcul de «  v ‘ »

 

 

V = ( x + 2 ) 4 ; ou V = v 4  avec v = x + 2

 

 

Donc   V ’ =  4 v3 v ’   =   4 ( x + 2 ) 3 ; car  v ’ = 1 

 

 

 

 

 

On a alors :   y ‘  =  f ‘( x = U V’ + V U’

 

 

 

 

 

U V’ + V U’  =  ( x – 1 ) 3 fois 4 ( x + 2 ) 3 +  ( x + 2 ) 4   fois  3 ( x – 1 ) ² 

 

 

                   =  ( x – 1 ) ² ( x + 2 ) 3  [  4 ( x – 1 ) +  3 ( x + 2 )   ]

 

 

           y ‘    = ( x – 1 ) ² ( x + 2 ) 3 ( 7 x + 2 )

 

 

 

 

 

13 . 4 . 3. – Signe de la dérivée et sens de variation de la fonction.

 

 

Suivant le signe de la dérivée, on peut déterminer le sens de variation d’une fonction :

-         Si la dérivée est nulle , la fonction est constante.

-         Si la dérivée est positive dans un intervalle   ] a , b [ , la fonction est croissante dans cet intervalle.

-         Si la dérivée est négative  dans un intervalle   ] a , b [ , la fonction est décroissante dans cet intervalle.

 

 

13 . 4 . 4. – Extremums locaux.

 

 

 

 

 

Un extremum local  est un point qui va déterminer où la fonction  va passer d’un accroissement à une diminution  ( ou inversement : la fonction  va passer d une diminution à’un accroissement )

 

 

 

 

 

-         Maximum local : ( M )  Une fonction a un maximum local pour x O si elle cesse de croître pour décroître quand « x » traverse , en augmentant , la valeur  x O ,donc si sa dérivée  change  de signe pour x =  x O  en passant du positif au négatif .

 

 

Tableau de variation type

Représentation graphique de la fonction.

 

 

-         Minimum  : ( m )  Une fonction a un minimum local pour x O si elle cesse de décroître pour croître quand « x » traverse , en augmentant , la valeur  x O ,donc si sa dérivée  change  de signe pour x =  x O  en passant du négatif au positif.

 

 

Tableau de variation type

Représentation graphique de la fonction.

 

 

 

Pour déterminer les extremums locaux, il faut rechercher pour quelles valeurs de « x » la dérivée s’annule.

 

13 . 4 . 4. – Tableau de variation.

 

Procédure à suivre pour établir un tableau de variation :

 

1° ) Calculer la ou (les) dérivée de la fonction .

2°) Rechercher pour quelle valeurs de « x » cette dérivée s’annule.

3°) Déterminer, par rapport à ces valeurs , les zones où la dérivée est positive ou négative.

4°) Dresser le tableau.

 

 

 

Exemple 1  :  Construire le tableau de variation de la fonction  f(x) =

 

Info : f(x) =   est de la forme  ; donc la dérivée est de  la forme : f ‘ (x) =

 

 

 Calculs des dérivées  des termes   u et v   :, u’  = 2    ; et  v ’ = -1

 

 

Calcul de la dérivée de la fonction :

 

f ‘ (x) =

 

5 > 0  et  ( 1- x )²  0      f ‘ (x)  > 0

 

 

 

Exemple 2  :  Construire le tableau de variation de la fonction  f (x) =  - x 3 + 3 x – 2

 

 

Calcul de la dérivée de la fonction : f ‘ (x) = - 3 x² + 3       ;  f ‘ (x)  est de la forme   ax² + bx + c   ; nous devons calculer le discriminant  ( ) rechercher les racines…….

 

 

On pose : - 3 x² + 3 = 0             = b² - 4 ac   ;     = 0² - 4  ( - 3) ( +3)   ; d’où     = 36

 

 

 > 0    2 solutions.

 

 

 

Dans le cas d’une dérivée de la forme ax² + bx + c , elle   admet 2 solutions pour f ‘ (x) = 0 , la dérivée est :

-         « négative » entre  les racines si  a > 0

-         « positive »  entre les racines si    a  < 0

 

Soit le tableau de variation :

 

NOTA :  Le tableau de variation va nous donner une représentation schématique du graphique de la fonction.

On pourra , grâce à ces données , tracer une courbe de la fonction étudiée et la rendre plus précise avec quelques points dont on aura calculé les coordonnées.

 

Reprenons l’exemple précédent : Dans le tableau de variation de la fonction  f (x) =  - x 3 + 3 x – 2

Grâce au tableau , nous voyons que :

-         Sur l’intervalle ] -  ;  - 1 [  la fonction décroissante  f (x) allant de  +   à  ( - 4 )

-         Sur l’intervalle ] – 1 ;  +  1 [  la fonction décroissante  f (x) allant de  ( - 4 ) à 0

-         Sur l’intervalle ]+1    ;  +  [  la fonction décroissante  f (x) allant de  ( + 1 )    à   +    

 

La courbe représentative de la fonction sera donc : ( à vérifier avec une « graphique »)

 

 

13 . 4 . 6. – Représentations graphiques de divers fonctions types  .

Nota : Les représentations graphiques se feront dans un repère orthonormé.

 

Cas particulier de la fonction affine…..

Info ++

FONCTION LINEAIRE :

 

-         type :  y = a x

-         « a » est appelé le coefficient directeur ou coefficient de proportionnalité.

-         La courbe d’une fonction linéaire ( droite)  passe toujours par le point O de coordonnée  ( 0 ; 0 )

-         Le domaine de définition :  D f  =  R

 

 

Info ++

LA FONCTION AFFINE ;

 

-         type :  y = ax + b

-         Sa représentation graphique est une parallèle à la Courbe de la fonction y= ax.

 

-         Elle passe toujours par le point  ( 0 ; b )

 

-         Le domaine de définition :  D f  =  R

 

 

Info ++

LA FONCTION POLYNOMIALE.

 

-         type : y = ax² + bx + c  

-         La courbe de cette fonction est une parabole.

-         Note :Les fonctions du type  f (x) =  a x² ont la même forme de courbe.

-          Le domaine de définition :  D f  =  R

 

 

 

Exemple :  a > 0

Exemple :  a < 0

 

 

 

y = 

y =  x² - 4 x + 3

 

 

Info ++

LA FONCTION RATIONNELLE .

 

-         Type :

-         Le domaine de définition :  D f  est l’ensemble de tous les « x » n’annulant pas le dénominateur.

-         La courbe d’équation y =     est une hyperbole.

Elle est similaire à la courbe d’équation  y =

Info ++

REPRESENTATION GRAPHIQUE DES FONCTIONS CIRCULAIRES.

 

Les fonctions sinus ; cosinus , tangente  et cotangente sont des fonctions périodiques ( période 2 ) , leur courbe a une forme sinusoïdale.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

 

 

 

CONTROLE

 

 

 

 

 

 

 

 

EVALUATION :

Corrigé

 

 

 

 

Voir le cours.

 

 

 

 

 

Déterminer l’ensemble de définition de :

 

 

 

 

 

1°) f (x) =  2 x²  + 4 x – 5 

 

 

 

 

 

2°) f (x) = 

 

 

 

 

 

3°) f (x) = 

 

 

 

 

 

 

 

 

Traduire et Calculer les limites suivantes :

 

 

 

 

1°) lim 5 x² - 2x+4

 

 

     x 2

 

 

 

 

 

2°) lim  ( 3 x² - 2x – 1 )

 

 

   x

 

 

 

 

 

3°) lim  ( 2  x 3 + x  + 1 )

 

 

       x

 

 

 

 

 

4°) lim 

 

 

  x 2

 

 

 

 

 

5°) lim.

 

 

       x  -

 

 

 

 

 

6°) lim.

 

 

 

 

 

Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :

 

 

 

 

a)   f (x) = 

 

 

 

 

 

b) f (x) = 

 

 

 

 

 

c) f (x) = 

 

 

 

 

 

Faire le tableau de variation et tracer la courbe représentative de la fonction :

 

 

 

 

f (x) = 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ml>