Les fonctions circulaires

Pré requis:

 

 

 

 

Les unités de mesure d’angles

Les secteurs circulaires

Les secteurs angulaires

 

 

 

Les angles orientés ;

 

 

 

Extension : Angle et arc

 

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index  warmaths

Objectif précédent :

Le radian  Sphère metallique

Le cercle trigonométrique

 

Objectif suivant :

 

Résoudre des équations…

 

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A savoir : les abréviations :

« tg » et « tan » , abréviations :  lire « tangente »

« cotg » et « cotan » , abréviations :  lire « cotangente »

 

 

 

 

 

DOSSIER ::    LES FONCTIONS CIRCULAIRES.

 

 

Chapitre 1 : Définition de sin a ; cos a ; tan a ; cotan a :

1-1 ) Le cercle trigonométrique (rappel)

1-2 ) sinus –cosinus d’un arc.

           Périodicité.

1-3) Tangente et cotangente d’un arc

Chapitre 2  Fonction y = sin x  et y = cos x :

 

Chapitre 3 Fonction y = tan x   et  y = cotan x :

 

Chapitre 4 Fonctions circulaires d’un angle trigonométrique :

 

Chapitre 5 Applications géométriques :

 5-1   Application au triangle rectangle. Et le théorème

 5-2  Application au triangle quelconque.

 5-3  Fonctions circulaires des arcs. :

 5-4   Tableau récapitulatif.

     Chapitre 6 : RELATIONS ENTRE LES FONCTIONS CIRCULAIRES D’UN MEME ARC.

    Chapitre 7 : ARC ASSOCIES ; LEURS EXTREMITES ; LEURS FONCTIONS CIRCULAIRES.

 

 

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COURS

 

Chapitre 1 : DEFINITION   de « sin. a » ; « cos. a », « tan. a » et « cotan. a »

 

Info @

1- 1  le cercle trigonométrique.

 

Le cercle trigonométrique est un cercle orienté ayant pour rayon l’unité de longueur. ( R = 1 u) .

 

Sur un cercle trigonométrique , la mesure d’un arc , en radians, a pour valeur absolue la longueur de cet arc.

Traçons ce cercle :

Choisissons une origine A pour les arcs et prenons :

1°) pour axe X’X des abscisses la droite OA , orientée  de O vers A

2°) pour axe Y’Y des ordonnées l’axe déduit de X’X par une rotation de  autour du point O.

 

Ces axes partagent le cercle en 4 quadrants, numérotés comme l’indique la figue ci-contre.

fonct_circ001

 

 

 

Info sinus @

Info cosinus @

1-2  sinus et cosinus d’un arc.

 

 

Soit M l’extrémité de l’arc AM : noté  par la lettre « a »

 

On appelle :

1°) Cosinus de l’arc a :  l’abscisse du point M ;

cos a = 

2°) Sinus de l’arc a :    l’ordonnée du point M :

sin a =

 

Remarques :

-       le cos a et le sin a sont toujours compris entre  -1 et +1.

-       Le point C est la projection orthogonale de M sur l’axe X’X ; et le point S est la projection orthogonale de M sur l’ax Y’Y.

fonct_circ001

 

Périodicité :

Si « a » augmente de , l’extrémité de revient au même point M ; le cosinus et le sinus ne changent donc pas, on dit que cos a et sin a sont périodiques et de période

 

Aussi :

 

Cos  ( a +) = cos a

Et plus généralement

Cos  ( a +  k.) = cos a

 

 

Sin (a + ) =  sin a

Et plus généralement

Sin (a + k.) =  sin a

 

 

Tg a @ 

1-3   Tangente et cotangente d’un arc.

 

 

Menons par le point A l’axe AZ parallèle à l’axe OY et de même sens ;  Soit T le point où la droite OM (prolongée) , rencontre cet axe   ( sur AZ) ; on appelle :

1°) Tangente de l’arc a l’abscisse du point T sur l’axe AZ ;

2°) Cotangent de l’arc a l’inverse de sa tangente.

 

Ces deux nombres algébriques peuvent prendre n’importe quelle valeur.

fonct_circ002

 

Périodicité.

 

Si « a » varie d’un multiple de π ( pi) , l’extrémité de l’arc est en M ou au point diamétralement opposé, mais sa tangente et sa cotangente ne change pas ; on dit que « tan a » et « cotan a »  sont périodiques et de période pi (π ) :

 

 

tan  ( a + π ) = tan a

Et plus généralement

tan  ( a +  k. π) = tan a

 

 

co tan  (a + π) =  cotan a

Et plus généralement

cotan (a + k. π) =  cotan a

 

 

 

 

Chapitre 2  Fonction y = sin x  et y = cos x

Info @

 

 

Ces fonctions sont périodiques et de période

 

Nous allons faire varier « x » la valeur de l’arc , dans un intervalle d’amplitude  , par exemple de  0 à

 

Le point M tourne dans le sens inverse d’une montre :

Premier quart :

Le sinus est positif ; ( passe de la valeur :  0  à + 1  ) ; on dit que « le sinus croît »

Le cosinus est positif (passe de la valeur : +1   à + 0 )   ; on dit que « le cosinus décroît »

fonct_circ003

Deuxième  quart :

Le sinus est positif  (passe de la valeur : de +1 à O) ;  on dit que « le sinus décroît »

Le cosinus est négatif  (passe de la valeur :  de 0 à -1 )   on dit que « le cosinus décroît »

fonct_circ004

Troisième quart :

Le sinus est négatif   (passe de la valeur :de  O  à -1) on dit que « le sinus décroît »

Le cosinus est négatif  (passe de la valeur :de -1 à 0 )   on dit que « le cosinus croît »

 

Quatrième quart :

Le sinus est négatif   (passe de la valeur :de  -1   à 0 ) on dit que « le sinus croît »

Le cosinus est positif (passe de la valeur : 0   à + 1 )   ; on dit que « le cosinus croît »

fonct_circ006

 

Ce qui est résumé dans le tableau dit « de variation » ; ci contre :

sinus001

 

 

Info @

Courbe construite ,  point par point ,  représentant la fonction cosinus x

fonct_circ008

 

sinus003

 

 

Info @

Courbe représentant la fonction sinus x

fonct_circ008

 

sinus002

 

Si on fait varier « x » de 2 π  et 4 π  , le sin x et le cos x  reprennent les mêmes valeurs.

Sur le graphique, le point M’ d’ abscisse « x + 2 π » se déduit du point M d’abscisse « x » par translation d’amplitude 2 π parallèle à « Ox ».

Les nouveaux arcs de courbe se déduisent donc des précédentes par cette translation.,

 

Obtention de la sinusoïde

fonct_circ014

Il en est de même si l’on fait varier « x » de 4 π  à 6 π , de 6 π  à 8 π ;  de k (2 π)   à (k+1 ) (2 π)

 

 

Fonctions  y = tan x  et   y = cotan x

 

 

 

 

En utilisant la même méthode que ci-dessus : on déplace le point M sur le cercle…..

fonct_circ015

fonct_circ016

On fait varier « x » entre 0 et π

On obtient le tableau de variation ci-dessous :

fonct_circ017

 

On obtient la représentation graphique de tan x :  avec 0    x  π

 

fonct_circ018

Si on fait varier « x » π  en  π  , tan x ( et par conséquent cotan x )  reprennent les mêmes valeurs.

,

 

fonct_circ019

 

 

Fonctions circulaires d’un angle trigonométrique.

 

 

 

Supposons cet angle défini par sa mesure algébrique « a » ; ses fonctions circulaires sont les mêmes  que celles de l’arc « a »,autrement dit , les mêmes que celles de l’arc qu’il intercepte quand il est angle au centre.

Voir la figure ci contre. 

fonct_circ020

 

 

 

 

 

5-  APPLICATIONS GEOMETRIQUES.

 

 

 

 

5-1 :  Application au triangle rectangle. Et le théorème :

Info + @

Reprenons la figure ci-dessus.

 

Soit un triangle ABC , rectangle en A .

Mettons en évidence sin B , cos B et tan B en traçant le cercle trigonométrique de centre B ; on a , avec l’orientation voulue :

 

Sin B = KM = BS

Cos B = BK

Tan B = UV

Les triangles semblables donnent:

 

 

et

 

 

d’  

 

ces égalités peuvent s’écrire:

b =  a sin B  ;  c = a cos B  ;  b = c tan B ; c =  b  cotan B

 

fonct_circ020

D’où les formules :

Si « x » est un angle aigu  d’un triangle rectangle :

 

 ;  ; ;

 

Théorème :

Dans un triangle rectangle , un côté de l’angle droit est égal :

1°) A l’hypoténuse multiplié par le sinus de l’angle opposé ou par le cosinus de l’angle adjacent ( au côté de l’angle que l’on calcule) ;

2°) A l’autre côté de l’angle droit multiplié par la tangente de l’angle opposé ou par la co tangente de l’angle adjacent (au côté que l’on calcule.),

 

 

5-2 : Application au triangle quelconque.

Info + @

Nous rappellerons les 3 formules suivantes :   (voir info + @)

1°)     a² = b² + c² - 2 bc cos A

2°)

3°)

 

 

 

5-3 :  «  Fonctions circulaires des arcs. :

Info + @

 

Les angles de 30° et de 60° s’obtiennent l’un de l’autre dans un demi triangle équilatéral.

 

Rappelons la formule importante :

 

 

fonct_circ022

 

 

Les formules ci- dessus donnent 

 

D’où ; après calculs

 

sin

cos

tan

cotan

 

 

sin

cos

tan

cotan

30°

 

30°

60°

 

60°

 

L’angle de 45° s’obtient dans un triangle rectangle isocèle.

Rappelle de la formule importante Lcalcul de la diagonale)

d = a

 

la même méthode donne :

 

 

 

fonct_circ023

 

 

5-4   Tableau récapitulatif.

Info + @

 

a

30°

45°

60°

90°

 

Sin a

1

Cos a

Tan a

1

Cotan a

 

90°

60°

45°

30°

a

 

 

Chapitre 6   :  RELATIONS ENTRE LES FONCTIONS CIRCULAIRES D’UN MEME ARC

 

Théorème : les fonctions circulaires d’un même arc sont liées par les trois relations suivantes :

 

 

25

angle x  = a

 

 

 

 

Relation 1

 

Relation 2

 

Relation 3

 

Cos² a  + sin ² a  = 1

 

 

 ;  ou

 

Explications :

 

 

Relation1 :

Soit M l’extrémité de l’arc .(figure ci contre)

 Nous construisons ses fonctions circulaires.

Dans le triangle rectangle OCM : 

Or    ;  ; OM = 1

D’après Pythagore : OC² + CM² = 1²   ; 1²= 1 ;   soit :       OC² + CM² = 1

Donc : Cos² a  + sin ² a  = 1

Relation 2 :

Dans les triangles homothétiques OCM et OAT,on a

 

ou enfin (après transformation ) :

 

Relation 3 :

 

La troisième relation résulte de la définition : 

 

fonct_circ024

 

 

Activités :

 

Activité 1 : Vérifier que les fonctions circulaires de    satisfont aux trois relations précédentes.

 

Activité  :  Des rois relations précédentes , déduire les relations :

 

 

 

 

 

Activités 3 : Relations entre les fonctions circulaires d’un même arc.

 

Application :Un arc « x » compris entre 0  et   est tel que tan x = 2 - .  Calculer le sin x et le cosinus x.

 

Réponse :

Les deux inconnues sin x et cos x sont données par les deux équations

la deuxième relation se transforme pour s’écrire :

 

Nous élevons au carré et nous opérons par combinaison proportionnelle :

 

 ;    

 

d’où puisque sin x et cos x sont positifs :

 

 

 

 

 

 

 

(info @)   Chapitre 7 : ARC ASSOCIES ; LEURS EXTREMITES ; LEURS FONCTIONS CIRCULAIRES.

 

A)   Définition.

Pour abréger le langage, nous appellerons « arcs associés » les arcs :

(arcs opposés)  :   x et – x ; (arcs supplémentaires) : x et  ( - x) ; x et  ( + x)  et les (arcs complémentaires) :  x  et (-x)   ;  x  et (+ x)

 

B) Arcs opposés : x et – x

 

On dit que deux arcs sont opposés quand leurs mesures algébriques sont deux nombres opposés : x et – x

Exemples :

+113°   et – 113°

+ 75 gr  et – 75 gr

 

Soit deux arcs opposés d’origine A ; leurs extrémités sont évidemment sur une droite parallèle à la droite contenant le diamètre OY. Donc :

Nous citons le théorème :

Si deux arcs sont opposés, ils ont le même cosinus , des sinus opposés et des tangentes opposés.

fonct_circ025

 

 

Cos (-x) = cos x

 

Sin (-x) = - sin x

 

 

 

 

Tan (-x) =  - tan x

 

Exemples :

 

 

C)  Arcs supplémentaires : x et   - x

On dit que : deux arcs sont supplémentaires quand la somme de leurs mesures algébriques est    (radians)

 

Exemples :

42°  et 138°

- 103 gr et + 303 gr

 

Soit deux arcs supplémentaires  , x et   - x ,d’origine A , d’extrémités M et M’ , pour décrire le second,on peut décrire d’abord le demi-cercle ABA’ , puis l’arc ( -x) à partir de A’. On a ainsi M’ et M sur une même parallèle à A’A.

On peut donc énoncer le théorème.

Si deux arcs sont supplémentaires, ils ont même sinus, des cosinus opposés et des tangentes opposées.

 

fonct_circ026

 

Sin ( - x)   = sin x

Cos ( - x) =  -  cos x

Tan ( - x) = - tan x

Exemple 

Exemple 

Exemple 

 

D) Arcs  x et  ( + x) :

Exemples :

123° et 323°

335° et  535°

 

Leurs extrémités sont diamétralement opposés.  donc :

 

Tan ( + x) = tan x

 

Sin ( + x) = - sin x

Cos ( + x) = cos x

fonct_circ027

 

 

E ) Arcs complémentaires : x  et (-x) 

On dit que deux arcs sont « complémentaires » quand leurs mesures algébriques ont pour somme  (radians)

Exemples :

32°  et 58°

38 gr et 62 gr

 

 

 

Soit deux arcs complémentaires , x  et (-x)  , d’origine A , d’extrémités M et M’ ; pour décrire le second, on peut décrire d’abord le quadrant AB, puis l’arc ( - x) à partir du point B ; il en résulte que les extrémités de deux arcs complémentaires sont symétriques par rapport à la première bissectrice OZ.

Comme OZ est également axe de symétrie pour OX et OY, les vecteurs OC et OS’ , OC’ et le vecteur OS sont symétriques par rapport à OZ, et ils ont deux à deux des mesures égales :

fonct_circ028

 

C’est à dire

Sin (-x)  = cos x

Cos (-x)  = sin x

 

On en déduit, par division membre à membre:

 

 

 

 

 

Tan (-x) = co tan x                          et                      cotan (-x) = tan x

 

Théorème :

Si deux arcs sont complémentaires , le sinus de l’un est égal au cosinus de l’autre ; la tangente de l’un est égale à la cotangente de l’autre.

 

 

 

Sin (-x)  = cos x

 

Tan (-x) = co tan x

 

 

Cos (-x)  = sin x

 

cotan (-x) = tan x

 

 

 

Activités : vérifiez ce théorème pour les fonctions circulaires des arcs complémentaires :    et 

 

F) Arcs complémentaires : x  et (+ x) 

 

L’arc (+ x)  a pour complément (-x) ; donc

 

Sin (+ x)  = cos (-x) = cos ( +x)

Cos (+ x)  = sin (-x) = - sin (+x)

 

Par division, on obtient tan (+ x)   et cotan (+ x) 

 

 

Sin (+ x)  = cos (+x)

 

Tan (+x) =  -  co tan(+ x)

 

 

Cos (+ x)  = - sin (+x)

 

cotan (+ x) = - tan (+ x)

 

 

 

On aurait pu remarquer aussi que (+ x)    et  (- x)  sont complémentaires.

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO _ FORMATIFS

 

 

CONTROLE:

A compléter…..

On dit que : deux arcs sont supplémentaires quand la somme de leurs mesures algébriques est    (radians)

 

 

EVALUATION:

 

 

 

 

 

 

 

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