Pré requis:

Angle au centre

3D Diamond

Unité d’angle  (wrv)

3D Diamond

Cercle

3D Diamond

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index warmaths

Objectif précédent :

)Les unités d’angles

2°) arcs et cordes  Sphère metallique

Objectif suivant Sphère metallique

Angle orienté .

Longueur d’un arc de cercle

Liste des cours sur la trigonométrie .

 

DOSSIER : Le RADIAN    (symbole rd   )

 

TEST

Filescrosoft Officeverte

COURS

FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité

Filescrosoft Officeverte

2°) le mouvement circulaire uniforme.

3°) le cercle trigonométrique

4°) le courant alternatif

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

 

Préambule :

 

          Le mot « radian » a été imprimé pour la première fois en 1873.(les degrés avaient plus de deux mille ans d’ âge )

 

 

 

COURS

Par définition : 

 

le radian est l’angle au centre  qui intercepte sur la circonférence un arc égal au rayon.

 

Arc AB  = rayon OA =  1 rayon = R

 

c26

 

Conséquences.

1°) On sait que : La circonférence à une longueur de  2 ´p ´ R

 

La demi - circonférence a une longueur de  « p R » ou  « 3,14 R »

 

L’angle plat AOE vaut donc :

    3,14 R : R  = 3,14 rd = p rd

 

Donc un demi- cercle a pour mesure  p  radians. (ou  3,14 radians)

 

Radian

On retiendra :

 

Un angle plat = 2 angles droits = 180 degrés = 200 grades = 3,14 radians

Si  l’angle plat vaut p radians (angles ) ; l’angle droit    radians.

2 °) le cercle a pour mesure 2 ´ p radians (arcs)

La lettre  p  (pi) que nous  avons  souvent utilisée comme simple initiale pour désigner l’angle plat , pourra donc être considérée comme valant bien 3, 14159 … puisque l’angle plat p vaut 3,14159…radians.

l y a 2p radians   (2 p rad  ) dans un cercle .

 

 

3°)

Dans un cercle de rayon R , un angle au centre de 1 radian intercepte un arc ab dont la longueur est ab = R ; Donc un angle au centre de « α » radians interceptera un arc dont la longueur est  AB = Rα     

 

Vcir4

 

 

 

4°)  Conversion d’un radian en degré :

Calcul de l’angle , « en degré » ,  au centre d’un arc «ab » dont la longueur est égale au rayon :

Formule :         si l’on pose  l’arc ab = R  on obtient    soit

 

p   # 57°18’    ;          ou        57° 17’45’’

 

5°)  Conversion d’un radian en grades :

 

Calcul de l’angle , « en grade »  ,  au centre d’un arc ab dont la longueur est égale au rayon :

Formule :   ,

           si l’on pose  l’arc ab = R  on obtient   soit   p   # 63,662 grades

 

On en déduit que :

180° = p rad  ;

90° =   rad  ;

60° =  rad

45° = rad

30° =  rad

radian

 

 

 

 

 

Niveau IV : Il faut savoir ou savoir retrouver ! ! !

Sur un cercle il faut repérer les valeurs en radians contenues dans ce tableau ( valeurs comprises entre 0 et p  )        

Degrés

Grade

 

Radian

 

 

360°

400 grades

2p

1 tour

180°

200 grades

p

½ tour

90°

100 grades

¼ tour

45°

50 grades

1/8 tour

30°   =

 : 3 =

1/12 tour

120° = 90° + 30°

100+ =

+= =

¼ tour + 1/12 tour =

1/3 tour

 

 

135° = 90° + 45 °

 100 + 50 = 150

+=

¼ tour +1/8 tour =

3/8 tour

 

Repérage des principaux nombres « radians » dans le cercle :

Voir leçon  « le rapporteur »

 

 

rapport2

 

 

Dans certaines questions , notamment en trigonométrie , il est très commode de prendre pour unité d’arc AB  dont la longueur est égale au rayon .(nous venons d’en calculer les mesures en degrés ou en grades.

 

 

En physique : (mouvement circulaire ) il est commode d’utiliser comme unité d’angle, non pas le degré ou le grade , mais le radian.

la longueur ( l )  parcourue par un point tournant autour d’un axe  ( Rayon R) , l = R w     ; w  est l’angle en radian )


 

 

TRAVAUX AUTO _FORMATIFS

 

CONTROLE:

 

Donner la définition du radian :

 

 

EVALUATION:

1°)  Calculez  l’angle , « en degré » ,  au centre d’un arc ab dont la longueur est égale au rayon :

 

2° )  Calculez l’angle , « en grade »  ,  au centre d’un arc ab dont la longueur est égale au rayon :

3°) tracer un demi cercle et reporter les valeurs suivantes :

Radian

 

2p

p

 : 3 =

+= =

+=

 

 

Interdisciplinarité :

En artillerie , on prend pour unité d’angle le millième , il s’agit du millième de radian.

Pour un si petit angle , l’arc mesuré en radians est égal à la tangente , qui vaut aussi 0,001 .Le milliradian est donc l’angle sous lequel  on voit un segment vertical de 1 mètre placé à une distance de  1 000 mètres .

 

 


 

 


CORRIGE

CONTROLE:

 

Donner la définition du radian :

L’ unité d’arc ab  dont la longueur est égale au rayon s ‘ appelle « radian »   ; on appellera aussi « radian » l’angle au centre AOB , que l’on prendra en même temps pour unité d’angle.

 

 

EVALUATION:

1°)  Calculez  l’angle , « en degré » ,  au centre d’un arc ab dont la longueur est égale au rayon :

Formule :  d =  ,

           si l’on pose  l’arc ab = R  on obtient   d =  soit # 57°18’

 

2° )  Calculez l’angle , « en grade »  ,  au centre d’un arc ab dont la longueur est égale au rayon :

Formule :  g =  ,

           si l’on pose  l’arc ab = R  on obtient   g =  soit # 63,66 grades

3°) tracer un demi cercle et reporter les valeurs suivantes :

Radian

 

2p

p

 : 3 =

+= =

+=