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INFORMATIONS PEDAGOGIQUES :

DOSSIER : TRIGO

Matière :  MATHEMATIQUES

 « TRAVAUX »

 

 

-        Leçon :  LES  RELATIONS  TRIGONOMETRIQUES  DANS LE TRIANGLE RECTANGLE.

-        (prolongé au triangle quelconque)

 

 Minimum :    NIVEAU  V BEP

OBJECTIFS :

- connaître les propriétés des lignes trigonométriques

 

 

I ) Pré requis: (pour remédiation ou mise à niveau)

 

 

 

  

Rappel sur les pré requis

 

 

 

 

Les lignes trigonométriques d’un angle aigu.

 

 

 

 

II ) ENVIRONNEMENT du dossier :

 

 

Index  warmaths

Dossier précédent :

1°) Les notions.

2°)  Les lignes trigonométriques d’un angle aigu.

3°) Le triangle rectangle et les relations trigonométrique

Dossier suivant :

1°) Les fonctions circulaires

2°° Relations métriques  dans le triangle quelconque.

 

Info :

  1. Liste des cours disponible en trigo.
  2. Liste des cours en géométrie plane

 

 

III )   INFORMATIONS  «  formation leçon » :

 

 

Test

 Boule verte

COURS  Boule verte

Travaux  auto - formation.

 

Corrigé des travaux  auto - formation.

Contrôle Boule verte

évaluation Boule verte

Boule verteINTERDISCIPLINARITE

Corrigé Contrôle

Corrigé

 évaluation

 

 

Chapitres :

 

 

 

@ info

1°) Définition.

 

 

 

@ info

2°) Théorème

 

 

 

@ info

3°) Rapport trigonométrique des angles  de 45° ; 30°  et  60°

 

 

 

@ info

4°) Constructions types

 

 

 

@ info

5°) Résolution d’un triangle rectangle.

 

 

 

@ info

6°) Résolution d’un triangle quelconque

 

 

 

 

7°) Exercice type résolu .

 

 

 

 

IV )   DEVOIRS  ( écrits):

 

 

Devoir diagnostique L tests.

Devoir  Auto  - formatif  (intégré au cours)

Devoir Formatif  « Contrôle : savoir » ;   (remédiation)

 Devoir  Formatif  «  Evaluatio  savoir faire »  (remédiation)

Devoir sommatif.

Devoir certificatif : (remédiation)

* remédiation : ces documents peuvent être réutilisés ( tout ou partie) pour conclure une formation .

 

Leçon :    LES  RELATIONS  TRIGONOMETRIQUES  DANS LE TRIANGLE RECTANGLE.

 

1°) Définition :

les relations que l’on peut établir entre les mesures  « a » , « b » , et « c »  des côtés d’un triangle ABC et les rapports trigonométriques des angles A , B et C de ce triangle sont appelées « relations trigonométriques » dans le triangle  ABC

 

 

2°) Théorème

Dans tout triangle rectangle , un côté de l’angle droit est égal :

1°) au produit de l’hypoténuse par le sinus de l’angle opposé à ce côté ou par le cosinus de l’angle adjacent à ce côté.

2°)  Au produit du second côté de l’angle droit par la tangente de l’angle opposé à ce côté ou par la cotangente de l’angle adjacent à ce côté.

 

Ce qui se montre  , en comparant  avec ce qui a été vu dans le cours sur les rapports trigonométriques:

: Soit le triangle  ABC , rectangle en A.

On a remplacé OP par  BA  et BC par OM   , nous pouvons établir un parallèle

40

43

 

 

 

 

Soit

      AC = BC sin     ;    AB =  BC cos  ; AC = AB tan  ;   AB =  AC cotan

 

Donc :

 

           b  =  a sin     ;   c = a cos     ;         b = c tan     ;   c =  b cotan

 

en nous situant en l’angle C ; on peut établir les relations suivantes :

 

  c  =  a sin     ;   b = a cos      ;    c = b tan         ; b =  c cotan   

 

 

Soit  finalement

 

b  =  a sin     = a cos      

 

c  =  a sin    =  a cos     

 

 

 

 

 

 

 

b = c tan   =    c cotan    

 

c = b tan   =   b cotan    

 

 

 

 

 

 

Remarques :

a) le théorème précédent permet de retrouver les définitions ? on voit ainsi que dans un triangle rectangle dont un des angles aigus est égal à a  ( l’autre b )    avec :

                                                         a° + b° = 90°

 

 

 

b) D’autre part la comparaison des formules précédentes permet de retrouver le théorème relatif aux angles complémentaires , car on en déduit :

 

                              sin a  =  cos  b       et tan a   = cotan  b

 

3°) Rapport trigonométrique des angles  de 45° ; 30°  et  60°            ( @ info complément)

a) Soit un triangle rectangle isocèle  ABC :           ( @info ++)

 AB = AC  = a et  en A nous avons un angle droit.

Nous sommes en présence d’un demi carré ou BC est une diagonale.

L’angle B = l’angle C = 45° et BC =  

 

Par suite :

 

 

44

Donc   

            et           

 

2°) Soit le triangle équilatéral     BAC     ( @ info + )

La droite i« AH » est à la fois la médiane bissectrice , médiatrice , hauteur .Elle  coupe l’angle A en deux parties égales .

 

Soit le triangle  ABH :

 

L’angle B = 60° ; l’angle A = 30° , l’angle en H = 90° ,

 

et

45

 

    Donc

 

 

 

    Donc

 

    Donc

 

On peut dons dresser le tableau :         ( @ info ++ : « angles remarquables » +)

45a

45b

Il est très utile de savoir ces valeurs ou de pouvoir les retrouver rapidement.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4°) Construire un angle connaissant un de ses rapports trigonométriques :  (@info plus)

On est ramené à construire un triangle rectangle OPM connaissant le rapport de deux de ses côtés.

a) Construire l’angle dont le cosinus est ( 3/5) .               (figure ci dessous)

 

Procédure :

Porter  sur une demi- droite Ox  deux segments  OP = 3 unités  et OA =  5 unités.

Tracer une perpendiculaire en P

Tracer le cercle de centre O et de rayon OA .

Le cercle coupe la perpendiculaire de « P »   en M .

L’angle  a  est tel que :

46

b) Construire  l’angle aigu dont le sinus est 0,65 .   ( figure ci dessous)

Procédure :

- Tracer deux demi droites perpendiculaires Ox et Oy .

- Tracer un cercle  de  centre O , de rayon = a  = 100 mm. (par exemple)

On obtient  OB  =  OA  =  a    .

- Tracer OQ  = 0,65 fois a  = ( 0,65 fois 100)

       Soit OQ = 65 mm

- tracer la parallèle à Ox , elle coupe le cercle en  M .

- tracer OM 

Le cercle de centre O passant par A coupe  , du  côté de Ox  , la perpendiculaire en Q à Oy en M .

L’angle  xOM = a  est tel que

47

 

 

 

 

c) Construire l’angle dont la tangente est  égale  au rapport   (4/7) . (voir figure ci dessous)

Tracer deux demi- droites  perpendiculaires  Oy et Ox .

Porter sur Ox  le segment OP = 7  unités

Tracer une perpendiculaire en « P ».

Tracer  sur la perpendiculaire  à Ox en P , un point  tel que PM = 4 unités.

 

Tracer OM .

 

L’angle a  est donné par l’angle MOx

Est tel que :

 

 

48

Ainsi , après ces trois exemples types : si l’on connaît la mesure   d’un angle aigu , on peut donc à l’ aide de la table déterminer sa tangente et construire cet angle sans rapporteur

 

5°) Résolution d’un triangle rectangle.            ( @info ++notion+)   et ( @résoudre)

Si dans un triangle rectangle on connaît  deux éléments, dont une longueur  au moins , on peut calculer les éléments inconnus.

 

Cette opération est appelée « résolution du triangle »

Exemple 1 :

 

 

 

 

 Dans un triangle ABC , rectangle en A , on donne AB = 5 cm et l’angle C. = 33° .

 

Calculer BC et CA

 

 

49

Résolution : On recherche sur la table :Sin 33°   =  0, 5446 ;Cos 33° = 0,8387 ;Tan 33° = ……….

a)        Calcul de  BC :

On sait que  AB = 5     et   que 

on en déduit que      AB =  BC sin 33°   ,et que   

donc      ;  =  9,18 10 503      soit   BC = 9,18 cm

 

b)        Calcul de CA :    

(Remarque : pour calculer CA ,  on prend comme point de départ AB = 5 cm , on ne passe pas par Pythagore)

On sait que :             soit 

 

On transforme :      soit   AC  = 7,70 cm

 

Exemple 2 :

 

 

Calculer les angles B et C , le côté AB et la hauteur AH du triangle ABC rectangle en A  sachant que  BC = 24, 36 dm et AC = 19,15 dm .

50

 

 

 

a)        Calcul du sinus  de l’angle B :

On sait que :         soit           (valeur arrondie )

 

En degré :  D’après la calculatrice  l’angle B = 51 , 82253 °  ou    52° 41’  10’’    ( voir sur la table)  , on trouve  pour l’angle C  =  90° - 52,82253 °  =   38,17747 °  ( = 38° 18’ 50’’ )

 

En grade :    on trouve : l’angle B = 57,59 gr  et l’angle C = 42,41 gr 

 

b)        Calcul de AB :  

 

c)        Calcul de  AH :

d)         

Remarque :  On connaît la valeur de AB ; nous nous plaçons dans le triangle rectangle  BAH.

 

 

Nota :  Nous verrons dans une autre leçon que l’on peut  trouver la valeur de AH  en passant par  du triangle .en posant l’égalité suivante :

 

 

 

6°) Résolution  d’un triangle quelconque  .  ( scalène)            ( @ info +++)

En menant l’une des hauteurs du triangle ABC , on détermine deux triangles rectangles dans lesquels on peut appliquer les relations suivantes:

 

Exemple 1 :

Dans le triangle ABC on donne : BC = a = 60 cm et les angles : angle B = 65°  et l’angle  C = 43° .

Calculer  AC = b et AB = c 

(Voir figure  ci -contre ).

 

Dans la table ou la calculatrice on relèvera les valeurs des rapports trigonométriques :

 Dont les Sin  B = 0,9063 ; sinus A = 0,9511  et sinus C = 0,6820 

51

a) Calcul de l’angle A :  

on sait que la somme des angles :   A + B + C =  180°

 

donc l’angle A =  180° - ( 65° + 43 ° )   soit l’angle  A  =   72°

b) calcul de « b »   ( CA)

Menons  la hauteur  CC’ :

 

Dans les triangles rectangles  ACC’  et  BCC’  on obtient :

 

   on en déduit que :

 

donc :  b =  57,174 dm

c) calcul de    AB :

Menons  la hauteur  BB’ :

 

Dans les triangles rectangles  ACC’  et  BCC’  on obtient :

 

   on en déduit que :

 

donc  c = 43,024 dm.

 

 

 

 

 

Exemple 2 :

 

Calculer la longueur du côté BC du triangle ABC sachant que AB = 15 m , AC = 20 m  et l’angle  A = 60°

 

( figure ci contre )

 

nota : nous savons que sin 60° =   ou 0,8666….

 

52

 

Résolution :

a)  Calcul de  BH :

Menons par B la hauteur BH . Dans le triangle ABH rectangle en H :

 

on peut  aussi  écrire que  BH  =  (7,5 )

 

b)  Calcul de AH

c) calcul de CH  (pour appliquer « Pythagore » dans le triangle BHC)

CH = 20 - 7,5  = 12,5

d) Calcul de BC.

 

(BC)²   =  ( BH)²  + (HC)²        ;    ( BC)² =  (7,5    + ( 12,5)² ;   (BC)² = 325

 

BC =   =  18,028 m

 

 

Exemple 3 :

Calculer l’angle A du triangle ABC sachant que  

BC  = a  = 6

AC =  b  = 5 

AB =  c  = 8

53

Résolution :   Nous menons par « C » la hauteur CK .

On obtient CK =  b sin    et   AK = b cos     

 

D’où  K B =  AB - AK       soit    KB  =   c  -  b cos     

 

Nous savons que  ( BC) ²   =   (KB)² + ( KC)² 

Nous remplaçons :         =  (c  -  b cos  ) ²  +    (b sin  

( à faire sur feuille )

D’où après développement :      = b ² + c ²  - 2 bc cos 

 

 

 

 

 

Soit :   cos   = 0,6625   d’où d’après   la table    = 48 ° 30 ‘

 

 D’après la calculatrice : 48,509183°   ou  48° 30’ 33’’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7°) EXERCICE   « type »  résolu :

 

 

Dans un triangle isocèle  ABC on donne  AB = AC = 2a  et l’angle  = 45°.

 

On mène par « B » la hauteur BH .

On demande : Calculer les segments BH  et HC et en déduire :

tan  22° 30’ et cotan 22°30’

54

Résolution :

Le triangle ABH est rectangle isocèle et AH = BH = 2 a sin 45°   =  a

 

D’où :

HC = 2a - a      =  a ( 2 -   ) ;

Dans le triangle ABC on a   l’angle B =  l’angle c  = ( 180° - 45°)  / 2 .

D’où l’angle B = l’angle C = 67°30’

 

Et  a  = l’angle HBC =  22° 30’ .

Dans le triangle rectangle BHC :

 

    

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CONTROLE :

1°)Citer les 4 rapports trigonométriques.

2°) Dessiner un triangle rectangle nommer les sommets et établir tous les rapports.

EVALUATION :

 

1°)  Donner avec la table et la calculatrice  les rapports trigonométriques des angles suivants :

 

25° =

31°=

43°=

57°=

81°=

83°=

 

2°) Déterminer l’angle aigu « x » tel que :

Sin x =  0,48

Cos x = 0,1550

Tan x = 0,3

Sin x = 0,84

Cos x = 0,9515

Tan x = 1,5

 

 

 

 

3°) Soit un angle aigu  xOy  tel que sin xOy  = 3/5

a)        sans se servir de la table, calculer cos xOy et tan xOy

b)        construire géométriquement  cet angle .

 

Voir les exercices :  ci @ info

Les travaux ci dessous sont corrigés dans le cours ?

4°)  Construire un angle connaissant un de ses rapports trigonométriques :  (@info plus)

 

a) Construire l’angle dont le cosinus est ( 3/5) .              

 

b) Construire  l’angle aigu dont le sinus est 0,65 .

  

c) Construire l’angle dont la tangente est  égale  au rapport   (4/7) . (voir figure ci dessous)

 

5°) Résolution d’un triangle rectangle.            ( @info ++notion+)   et ( @résoudre)

 

 

PB 1 :

 

 

 

 

 Dans un triangle ABC , rectangle en A , on donne AB = 5 cm et l’angle C. = 33° .

 

Calculer BC et CA

 

 

49

 

PB2 :

 

 

Calculer les angles B et C , le côté AB et la hauteur AH du triangle ABC rectangle en A  sachant que  BC = 24, 36 dm et AC = 19,15 dm .

50

 

 

6°) Résolution  d’un triangle quelconque  .  ( scalène)

PB  3 :

Dans le triangle ABC on donne : BC = a = 60 cm et les angles : angle B = 65°  et l’angle  C = 43° .

Calculer  AC = b et AB = c 

(Voir figure  ci -contre ).

 

Dans la table ou la calculatrice on relèvera les valeurs des rapports trigonométriques :

 Dont les Sin  B = 0,9063 ; sinus A = 0,9511  et sinus C = 0,6820 

51

 

PB 4  :

 

Calculer la longueur du côté BC du triangle ABC sachant que AB = 15 m , AC = 20 m  et l’angle  A = 60°

 

( figure ci contre )

 

nota : nous savons que sin 60° =   ou 0,8666….

 

52

 

PB 5:

Calculer l’angle A du triangle ABC sachant que  

BC  = a  = 6

AC =  b  = 5 

AB =  c  = 8

53

 

PB 6:

 

Dans un triangle isocèle  ABC on donne  AB = AC = 2a  et l’angle  = 45°.

 

On mène par « B » la hauteur BH .

On demande : Calculer les segments BH  et HC et en déduire :

tan  22° 30’ et cotan 22°30’

54